7 Phép phản chứng trong mệnh đề phản đảo: Mệnh đề “A B” cùng nghĩa với “B A” có A thì phải có B, cũng nghĩa với nếu không có B thì sẽ không bao giờ có A.. * Tập con A khác rỗng của đượ
Trang 1GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG
Trang 22
§0 NHẮC LẠI VÀI QUI TẮC TRONG PHÉP LÝ LUẬN 1) Mệnh đề “ x D T x ” (tất cả x thuộc D đều có tính chất T(x)) , ( ) được phủ định thành “ x D T x, ( )” (có một x thuộc D không có tính chất T(x))
2) Mệnh đề “ A B” (cả hai A và B đều như thế) được phủ định
thành “A B” (có một trong hai A hay B không phải như thế)
3) Mệnh đề “ x D T x, ( )” (có một x thuộc D mang tính chất T(x))
được phủ định thành “ x D T x, ( )” (tất cả x thuộc D đều không có tính chất T(x))
4) Mệnh đề “A B” (có một trong hai A hay B là như thế) được phủ
định thành “ A B” (cả hai A và B không phải như thế)
5) Mệnh đề “ A B ” (có A thì phải có B) được phủ định thành
“A B” (có A nhưng vẫn không có B)
6) Phép chứng minh qui nạp:
Giả sử rằng:
* mệnh đề T n( )0 đúng
* mệnh đề T(k) luôn suy ra được mệnh đề T(k + 1) (ý nói với
mọi k n0, mệnh đề kéo theo “ ( )T k T k( 1)” luôn đúng)
Khi đó mệnh đề T(n) sẽ đúng với mọi n n0
7) Phép phản chứng trong mệnh đề phản đảo:
Mệnh đề “A B” cùng nghĩa với “B A” (có A thì phải có B, cũng nghĩa với nếu không có B thì sẽ không bao giờ có A)
Áp dụng: khi người ta cho điều A và yêu cầu ta chứng minh
điều B, ta có thể giả sử phản chứng rằng không có điều B rồi ta lý luận không có điều A, trái với giả thiết người ta cho Vậy phải có điều B
Trang 31
8) Phép phản chứng trực tiếp: Khi người ta yêu cầu chứng minh điều
A, ta có thể giả thiết tạm rằng không có A rồi suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết tạm
Bài tập
1 a) Cho số tự nhiên m và m2 là số chẵn Chứng minh m cũng là
số chẵn
b) Chứng minh rằng nếu một số chính phương là chẵn thì số chính phương đó chia hết cho 4
2 Chứng minh rằng không tồn tại một phân số m
n (với m và n là các số tự nhiên, đương nhiên n khác 0) sao cho
2 2
m
n
3 Cho 1 và n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 1 Dùng phép qui
nạp, hãy chứng minh bất đẳng thức Bernouli sau đây:
1 n 1 n
5 Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương:
Mệnh đề 1 là “ 0, a ”; mệnh đề 2 là “ 0,a ”
6 Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương:
Mệnh đề 1 là “ 0, a ”; mệnh đề 2 là “ 0,
2
7 Chứng minh các bất đẳng thức sau đây (bất đẳng thức tam giác)
a) x y x y b) x y x y c) a b a b
§1 TIÊN ĐỀ VỀ SUPREMUM; INFREMUM
1) Các định nghĩa và ký hiệu:
* Các tập hợp số thực, hữu tỉ, số nguyên, số tự nhiên lần lượt được ký hiệu là , , , (sinh viên đã có khái niệm về các số này ở phổ thông Nếu thích tìm hiểu thêm, sinh viên có thể tham khảo
Giáo trình Giải Tích Hàm Một Biến, N.Đ.Phư, N.C.Tâm, Đ.N.Thanh
& Đặng Đức Trọng; hoặc Giải Tích Nhập Môn, Đặng Đình Áng)
Trang 44
* Với số thực x, ta ký hiệu [x] là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn x, nghĩa là [ ] x x [ ] 1x và
[x] là số nguyên
* Số thực được gọi là chặn trên của tập con A khác rỗng
trong nghĩa là x A x,
* Số thực được gọi là phần tử lớn nhất của tập con A khác
rỗng trong nghĩa là A và x A x, Lúc đó ta ký hiệu
max A
* Số thực được gọi là chặn dưới của tập con A khác rỗng
trong nghĩa là x A x,
* Số thực được gọi là phần tử nhỏ nhất của tập con A khác
rỗng trong nghĩa là A và x A x, Lúc đó ta ký hiệu
min A
* Tập con A khác rỗng của được gọi là bị chặn trên nghĩa
là có một số là chặn trên của A
* Tập con A khác rỗng của được gọi là bị chặn dưới nghĩa
là có một số là chặn dưới của A
* Tập con A khác rỗng của được gọi là bị chặn nghĩa là A
vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
2) Tiên đề về sup:
Mọi tập con A khác rỗng của nếu bị chặn trên thì sẽ có
chặn trên nhỏ nhất
Chặn trên nhỏ nhất trong số các chặn trên của tập A được ký hiệu là sup A
Hệ quả: (sinh viên tự chứng minh) Mọi tập con A khác rỗng của
nếu bị chặn dưới thì sẽ có chặn dưới lớn nhất
Chặn dưới lớn nhất trong số các chặn dưới của tập A được ký hiệu là inf A
3) Tính chất Archimède:
Cho số dương , ta có: r , n ,n r
Trang 51
(ii) 0, n ,1
n
4) Đặc trưng của sup và inf:
* sup A khi và chỉ khi “ là chặn trên của A và
0, x A x, ”
* inf A khi và chỉ khi “ là chặn dưới của A và
0, x A x, ”
Bài tập
1 - Số không phải là chặn trên của tập A nghĩa là sao?
- Số không phải là phần tử lớn nhất của A nghĩa là sao?
- Cho A [0;1) Số 2009
2010 có phải là chặn trên của A không?
- Chứng minh không tồn tại max A và supA = 1
- Số 0 là gì đối với A?
2 - Số không phải là chặn dưới của tập A nghĩa là sao?
- Số không phải là phần tử nhỏ nhất của A nghĩa là sao?
- Cho A (1;2] Số 2010
2009 có phải là chặn dưới của A không?
- Chứng minh không tồn tại min A và infA = 1
- Số 2 là gì đối với A?
3 Dùng tiên đề sup, hãy chứng minh tính chất Archimède
4 Chứng minh tính chất đặc trưng của sup và của inf
5 - Cho hai số thực x, y thỏa y x 1 Chứng minh rằng có số
nguyên m sao cho x < m < y
- Cho hai số thực a, b tùy ý và a < b Chứng minh rằng có số hữu
tỉ q m,m ,n *,
n sao cho a < q < b
Hdẫn: có số tự nhiên n đủ lớn để cho ( n b a) 1 (tính chất Archimède) Sau đó dùng câu trên
6 Hãy chứng minh phương trình x2 2 có nghiệm dương duy nhất là số thực và không có nghiệm là số hữu tỉ
Hdẫn: Đặt L s /s2 2 và R s /s2 2
Trang 66
a) Chứng minh L và R khác rỗng, L bị chặn trên, R bị chặn
dưới Từ đó chứng minh supL inf R
b) Chứng minh L không có phần tử lớn nhất và R không có phần tử nhỏ nhất Suy ra, với số x thỏa sup L x infR thì
2 2,
x đồng thời supR inf L
c) x thỏa x2 2 thì x không phải là số hữu tỉ
§2 TÍNH TRÙ MẬT CỦA TRONG
Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số hữu tỉ (đã được chứng minh trong bài tập 5 ở bài học §1)
Hệ quả: Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số vô tỉ
Chứng minh Giả sử a < b thì có số hữu tỉ q sao cho
a q b Suy ra a q 2 b Ta đã chứng minh trong bài tập 1.6 rằng 2 là số vô tỉ, do đó q 2 là số vô tỉ (sinh viên tự suy luận) Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập
n Tập A có bị chặn trên không, vì sao?
Chứng minh A có phần tử nhỏ nhất
1
n
n Chứng minh A không có phần tử lớn nhất Tìm supA và chứng minh A có phần tử nhỏ nhất
n Chứng minh tồn tại maxA và minA
4 Cho A n( 1)n n * Tập A có bị chặn trên không, vì sao?
Có tồn tại maxA, minA không, vì sao?