CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC

Dạng 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức: 1.. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng

CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN THỨC

 Căn bậc hai của số 0 là 0

 Số âm (a0) không có căn bậc hai

Ví dụ 1.1 Căn bậc hai của 9 là 9 3 và  9 3; Căn bậc hai của 5 là 5 và  5

2 Căn bậc hai số học: Với số thực a không âm thì số a được gọi là căn bậc hai số học của a

Ví dụ 1.2 Căn bậc hai số học của 9 là 9 3 ; Căn bậc hai số học của 5 là 5

(Như vậy, trong máy tính cầm tay khi ta tính đó chính là căn bậc hai số học, và khi ta tính 4 2

chính là đang tính căn bậc hai số học Học sinh cần lưu ý để phân biệt, tránh sai lầm tính 4 bằng 2 và

Dạng 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số

Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức:

1 Nếu a0 thì:

 Các căn bậc hai của a là a và  a

 Căn bậc hai số học của a là a

2 Nếu a0 thì căn bậc hai và căn bậc hai số học của a đều bằng 0

3 Nếu a0 thì không có căn bậc hai và do đó không có căn bậc hai số học

Bài 1.1 Tìm các căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

a) 16; b) 0; c) 25 ; d) 0, 64

Bài 1.9 Chứng minh 3 và 7 là các số vô tỉ

Bài 1.10 Cho biểu thức A x 2 x2

a) Đặt y x2 Hãy biểu thị A theo y;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

2 Điều kiện xác định của căn thức bậc hai:

Ví dụ 2.2 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

x 2x 1



1B

a) Điều kiện xác định của A là:

2 2

2 2

16 x

x 8x 142x 1

Bài 2.3 Cho biểu thức: A x26x 9  x26x 9

a) Tìm điều kiện xác định của A

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức 2 A khi A 0

d)  2

6 2 5  5 1 ; e)  2

5 2 27 10 2 ; f) 9 4 5  9 4 5 4; g) 11 6 2  11 6 2 6; h) 8 2 7  8 2 7  2; i) 28 10 3  28 10 3 10

Bài 2.8 Thực hiện các phép tính sau:

a) 5 2 6  5 2 6 ; b) 41 12 5  41 12 5 ; c) 21 12 3  21 12 3 ; d) 31 12 3  31 12 3 ; e) 17 12 2  17 12 2 ; f) 11 6 2  11 6 2

Bài 2.9 Thực hiện các phép tính sau:

a) 5 3 29 12 5 ; b) 13 30 2  9 4 2 ; c)  3 2 5 2 6  ;

d) 5 13 4 3  3 13 4 3 ; e) 1 3 13 4 3  1 3 13 4 3

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu có)

Bước 2: Khai căn một biểu thức hoặc phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử

Bước 3: Thu gọn (Có thể bằng cách giản ước cho nhân tử chung)

Bước 4: Kết luận

Bài 2.10 Rút gọn các biểu thức sau:

a) M3 a2 5a, a0; b) 64a2 3a, a0; c).Q3 4a6 3a 3

2x 1



d)

2

4(3x 1)Q

x 4(x 4)

x 8x 16

Bài 2.19 Cho biểu thức A x22 x2 1 x22 x21

a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp giải: Một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

x

x (KTM)9

28

x 8x 16 9x 1

80x 10x 15 0

1

x (TM)2

VẤN ĐỀ 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA

VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khai phương một tích:

Với A 0,B 0  ta có: A.B A B

Mở rộng: Với A10,A2 0, ,An0 ta có: A A A1 2 n  A A A1 2 n

2 Khai phương một thương:

Bài 3.8 Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau:

Phương pháp giải: Xem dạng 4 của vấn đề 2

Ví dụ 3.5 Giải các phương trình sau:

VẤN ĐỀ 4 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

CHỨA CĂN BẬC HAI

B2(1 a) 2(1 a) 1 a , a 2

2x 2 x 4E

VẤN ĐỀ 6 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC

VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn biểu thức, cần thực hiện tốt các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm mẫu thức chung

 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 1 1

x

5 2 5 2

c) Tính giá trị của biểu thức A khi x 7 2 6

d) Tính giá trị của biểu thức A khi 1 1 1 1

Dạng 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Ví dụ 6.2 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:

Nhận xét: Với bài toán tìm số tự nhiên x để biểu thức nhận giá trị nguyên được thực hiện tương tự như ví

dụ trên, tuy nhiên chỉ nhận các giá trị là số tự nhiên

Bài 5.3 Cho biểu thức A 1 x : x 1 ,x 0,x 1

b) Tìm x nguyên để C A.(B 2)  có giá trị nguyên

Ví dụ 6.3 Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:

Nhận xét: Với bài toán tìm x hữu tỉ để biểu thức nhận giá trị nguyên chúng ta thực hiện tương tự như ví

dụ trên, tuy nhiên chỉ nhận các giá trị x là số hữu tỉ (số vô tỉ bị loại)

Dễ suy ra được 1 P 6 Do P nhận giá trị nguyên nên P {2;3; 4;5; 6}

Giải từng trường hợp ta tìm được x 16; ; ;9 4 1 ;0

b) Tìm x để A = B

c) Tìm x để A nhận giá trị nguyên dương

2 Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chú ý: Bất đẳng thức Cô-si:

Với hai số a0, b0, ta có: a b 2 ab

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 6.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P x 1

Ví dụ 6.7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Q x 3

Vậy minQ = 2 khi x = 1



P A

x

1:

a) Tính giá trị của A khi x 3 2 2  

b) Rút gọn B

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = A:B

a) Tìm x để P 1

3

 ; b) Tìm x để P x

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 x 1 là nghiệm của bài toán

Bài 5.23 Cho biểu thức N x 2 1 .4 x,x 0

   với x0, x4 1) Rút gọn B và tính P A

3) Tính giá trị biểu thức PA : B Tìm x thỏa mãn: P x(2 5 1) x 3x2 x 4 3

Bài 5.32 Cho biểu thức: P= x+2

ừ÷

ừ÷:

3

x+3

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết : x=5+3 7

c) Tìm x để : P<1

3

Dạng 6: Biểu thức chứa tham số

3) Chứng minh rằng với mọi m0, luôn có một giá trị của x thoả mãn P = m

2) Rút gọn biểu thức B= 15- x

x-25 + 2

x+5

æè

ø

÷: x+1

x -5 3) Với giá trị của A, B nói trên Hãy tìm m để phương trình A –B = m có nghiệm

x Tính giá trị của A khi x2 3  74 3

3) Với các biểu thức A và P nói trên Hãy tìm m để phương trình A + P = có nghiệm

b) Tính giá trị của P biết 2 3

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được    x y x y hay x y 0

Nhận xét: Đôi khi bài toán được ra dưới dạng khái quát và phức tạp hơn, chẳng hạn:

Khi đó ta chứng minh được x   y 0 P 1000

Bài 5.5 (Chuyên ĐHSP Hà Nội – 2008) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn b c, a  b  c và

A    , B 

Bài 5.20 Cho biểu thức

 f) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của A h) Tìm m để 2mA x m có hai nghiệm phân biệt

Bài 7.2 Cho hai biểu thức A 2 x x 1 3 11 x

x 1





 với x0,x 9 a) Tính giá trị của B khi x = 36 b) Rút gọn A

c) Tìm x để B = 1 d) Tìm x để B x 2

e) Tìm x để B 2 f) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = A.B h) Tìm m để mB x có hai nghiệm phân biệt

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 16

c) Tính giá trị của P khi x 8 2 7   d) Tính giá trị của P khi  

i) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên j) Tìm x để P nhận giá trị nguyên

k) Tìm giá trị nhỏ nhất của P l) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q P x 

3x 9x 3 x 1 x 2Q

x x 2 x 2 1 x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q b) Tính giá trị của Q khi x 4 2 3  

c) Tìm x để Q 3 d) Tìm x để Q1

2 e) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên f) So sánh Q với 1

g) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3: Q h) Tìm x để A nhận giá trị nguyên

Bài 7.12 Cho các biểu thức: 2 x 5 x 5 1

c) Khi P có nghĩa tìm GTNN của P

b) Tính giá trị của P biết x19 8 3

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên



c) Chứng minh 2

P3

P  P 1 min

Bài 7.17 Cho các biểu thức:  2 3 2: 1 1 

 x    x     

P

b) Tính giá trị của P biết x 7 4 3

c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của P là số nguyên dương

Bài 7.18 Cho biểu thức A= x

x+2+ 1

x-4

æè

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x 6 2 5 c) Tìm GTNN của P

Bài 7.24 Cho biểu thức : A= x +3

÷ với y >0; y¹1 a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị của Q khi y=3-2 2

Bài 7.31 Cho biểu thức: P= 4 x

x+2+ 8x

4-x

æè

b) Tính giá trị của x biết P = 5

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là một số tự nhiên

Bài 7.33 Cho biểu thức: M = x-4

x-2 x + 3

x-2

æè

3) Với các biểu thức A và B ở trên, tìm x để A +B = 6

Bài 7.36 (Hà Nội – 2004) Cho biểu thức P x 1 : x 1 1 x

Bài 7.37 (Hà Nội – 2003) Cho biểu thức P 4 x 8x : x 1 2

b) Tính các giá trị của P biết x 6 2 5

c) Tìm các giá trị của n để x thoả mãn  x 1 P   x n

MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

VÀ THI HỌC SINH GIỎI

Bài 7.46 (Chu Văn An – 2005) Cho biểu thức P x x 1 x x 1 x 1

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1

b) Tính giá trị của biểu thức S a 2 a4  a 1

Bài 7.60 (Chuyên ĐHNN – 2006) Cho biểu thức

2 2

P          1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P

a) Tìm điều kiện xác định của M sau đó rút gọn M

b) Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 7.62 (Chuyên Lam Sơn TH – 2004) Cho biểu thức

c) Tính giá trị của P khi x 4 2 3

Bài 7.65 (Chuyên ĐHNN – 2003) Cho biểu thức A x 2 x 1 1

Bài 7.68 (Chuyên ĐHSP HN – 2009) Các số thực x, y thoả mãn xy 32, xy 3 2 Chứng minh rằng biểu

thức sau không phụ thuộc vào x, y:

3 3

3 3

Vậy x là một nghiệm của phương trình đã cho 0

Bài 7.75 Rút gọn các biểu thức sau:

P x 2 2 x 3 x 1 4 x 3 ;

a 1 1 Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của P khi a 2 2  3

33x 2 3x 4 1 3x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài 7.84 (ĐHSP-2018) Cho biểu thức:

Bài 7.85 (HSG Hà Nam – 2017) Cho biểu thức

1 x xy 1 y yz 1 z zx Đáp số: T = 2018

a) Rút gọn biểu thức A và chứng minh A nhận giá trị âm

b) Tính giá trị của x khi A 1

72) Cho a32 33 2 3 Chứng minh

2) Cho biểu thức P x 3y33 x y 1993   Tính giá trị của biểu thức P với: