CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI HỆ THỨC GIỮA KHÔNG ĐỐI XỨNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trường hợp 1 Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm nghiệm được + Nhẩm nghiệm của phương trình hoành độ được ra vở nháp + Đưa phương trình hoành độ về phương trình tích dạng + Tìm được hai nghiệm của phương trình hoành độ là + Khẳng định phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số + Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt (Nếu cần) + Xét 2 trường hợp và với yêu cầu của bài toán + Giải 2 trư.
Trang 1HỆ THỨC GIỮA X , X KHÔNG ĐỐI XỨNG1 2
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trường hợp 1. Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm nghiệm được
+ Nhẩm nghiệm của phương trình hoành độ được x1=m, x2 =n ra vở nháp
+ Đưa phương trình hoành độ về phương trình tích dạng a(x m).(x n) 0− − =
+ Tìm được hai nghiệm của phương trình hoành độ là x m, x n= =
+ Khẳng định phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số
+ Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt (Nếu cần)
+ Xét 2 trường hợp x1=m, x2 =nvà x1=n, x2 =mvới yêu cầu của bài toán
+ Giải 2 trường hợp để tìm giá trị của tham số
+ Đối chiếu điều kiện, kết luận
Trường hợp 2. Phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm nghiệm được
Bước 1 Tính ∆ =b2−4ac hoặc ∆ =' (b')2−ac
Bước 2 Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 2 nghiệm hoặc 2 nghiệm phân biệt
Bước 3 Viết các hệ thức Vi-et của phương trình hoành độ 1 2
Bước 5 Giải hệ phương trình tìm x , x1 theo tham số m2
Bước 6 Thay x , x1 vừa tìm được vào 2 1 2
c
x x
a
=
, giải tiếp tìm giá trị của tham số
Bước 7 Đối chiếu với điều kiện của ∆hoặc '∆ chọn các giá trị thỏa mãn và kết luận.
II VÍ DỤ
Ví dụ 1 Cho Parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 2(m 1)x 4m= + − , m là tham số
a) Chứng minh ( )d và ( )P luôn có điểm chung với mọi giá trị của m
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ x , x1 thoả mãn 2 x1+3x2 =0
Cho phương trình x2−2 m 1 x 4m 0( + ) + = , với m là tham số Tìm m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 x1= −3x2
Lời giải
Hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là nghiệm của phương trình:
( )2
x −2 m 1 x 4m 0 (1)+ + =
Ta có:
Phương trình (1) có 2 nghiệm x 2, x 2m= = với mọi m
Trang 2 ( )d và ( )P luôn có điểm chung với mọi giá trị của m
Vì x , x1 là hoành độ giao điểm của 2 ( )P và ( )d Nên x , x1 là nghiệm của phương trình 2 ( )1
( )d cắt ( )P Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔2m 2≠ ⇔ ≠m 1
Trường hợp 1: Xét x1=2, x2 =2m thay vào x1= −3x2 ta được:
Ví dụ 2 Cho Parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 2mx m= − 2+4, m là tham số
a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( )P với mọi giá trị của m
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ x , x1 thoả mãn 2 1 2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x m 2= ± .
( )d luôn cắt ( )P với mọi giá trị của m
Vì x , x1 là hoành độ giao điểm của 2 ( )P
Trang 3Ví dụ 3 Cho Parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 4x m= + 2 +1, m là tham số
a) Chứng minh ( )d luôn cắt ( )P với mọi giá trị của m
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ x , x1 thoả mãn 2 x2 = −5x1
Vì 4m2 ≥0với mọi m nên ∆ =4m2+20 20 0≥ > với mọi m
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
( )d luôn cắt ( )P với mọi giá trị của m
Vì x , x là hoành độ giao điểm của 1 2 ( )P và ( )d Nên x , x là nghiệm của phương trình 1 2 ( )1
Ví dụ 4 Cho Parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 2(k 1)x 4k= − + , k là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ x , x1 thoả mãn 2 3x1− =x2 2
Trang 4Vậy k=0,k = −4 là giá trị cần tìm.
III BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Cho parabol (P) : y x= 2và đường thẳng ( )d : y 2mx 2m 1= − + ( với m là tham số)
a) Chứng minh( )d và ( )P luôn có điểm chung.
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm có hoành độ x , x thoả mãn 1 2 2
b) Theo phần a) ta có: ( )d và ( )P luôn có điểm chung với mọi m.
( )d cắt ( )P tại hai điểm có hoành độ x , x pt (*) có 2 nghiệm phân biệt1 2
Trang 5Bài 2 Cho Parabol ( )P : y x= 2và đường thẳng ( )d : y 2mx m= − 2+4 , m là tham số
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ( )d và parabol ( )P khi m 1= .
b) Gọi x ; 1 x là hoành độ giao điểm của 2 ( )d và ( )P : y x= 2 Tìm m để hoành độ
giao điểm của ( )d và ( )P thỏa mãn x1+2x2 =3.
Lời giải
a) Thay m 1= vào đường thẳng ( )d ta được: ( )d : y 2x 3= +
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d :
2
x =2x 3+ ⇔ x2−2x 3 0− = ⇔ x1= −1 và x2 =3
Thay x1= −1 vào ( )d : 2x 3+ , ta có: y1= − + =2 3 1
Thay x2 =3 vào ( )d : 2x 3+ , ta có: y1= + =6 3 9
Vậy tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d là: (−1;1) ; ( )3;9
b) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d :
=
hoặc
5m3
=
là giá trị cần tìm
Trang 6Bài 3 Cho đường thẳng (d) : y=(m 3 x m 2− ) + −
a) Tìm m để khoảng cách từ điểm I 1; 0(− ) đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol ( )P : y x= 2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x , x sao cho 1 2 2
Dấu “=” xảy ra khi m 3 0− = ⇔ =m 3.
Vậy m 3= thì khoảng cách từ điểm I 1; 0(− ) đến đường thẳng ( )d là lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( )d cắt Parabol ( )P : y x= 2 tại hai điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x , x sao cho 1 2 2
x =4x .Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P : x2 =(m 3 x m 2− ) + −
x
4x
Trang 7( ) ( 2 )
3 1
9m
4
=
là giá trị cần tìm
Bài 4 Cho parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y mx m 1= + + Tìm giá trị của m để
đường thẳng ( )d cắt Parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có
⇒phương trình ( )1 có 1 nghiệm x= −1 và nghiệm còn lại x m 1= +
Để đường thẳng ( )d cắt Parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung thì
Vậy với m 0= là giá trị cần tìm.
Bài 5 Cho hàm số y mx= −2m+2 có đồ thị là đường thẳng d Tìm m để đường thẳng d
cắt ( )P
:
2
12
=
tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , 1 x sao cho 2 x1=8x2
Trang 81 2
29169
mx
998
Bài 6 Cho parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 2x m 1= − + , m là tham số Tìm giá
trị của m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn 2 2x x1− 2 =7.
Trang 9.Thay vào x x1 2 = −m 1 ⇔3.( )− = −1 m 1 ⇔ = −m 2( )tm .
Vậy với m= −2 là giá trị cần tìm
Bài 7 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y (2m 1)x m= + − 2−1 với m là tham số
Tìm giá trị của m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn 2 x1 =2x 2
Bài 8 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y= − −5x m với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn 2 9x1 +2x2 =18
Trang 10Bài 9 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y= − −2x m với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn 2 x1+2x2 =1
35
ta được:m=3.( )− = −5 15
(nhận)
Vậy m= −15 là giá trị cần tìm.
Bài 10 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y= − −5x 3m 1+ với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn 2 3 3
1− 2+3 1 2 =75
Lời giải
Trang 11Hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là nghiệm của phương trình:
Bài 11 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 10mx 9m= − với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 x1−9x2 =0
Cho phương trình
2−10 +9 =0
(m là tham số)
Trang 12Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa2
Với m=1 ta có ∆ =' 25m2−9m=16 0> thỏa mãn điều kiện
Kết luận: Vậy với m=1 là giá trị cần tìm.
Bài 12 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 2(m 1)x m= − − 2+3 với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 x1=3x2
Trang 13thế vào phương trình (2) ta có
2 2
Bài 13 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 2 m 2 x 2m= ( − ) + với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 x2− =x1 x12
Nên ( )d cắt ( )P tại 2 điểm với mọi giá trị của m.
Vì x , x1 là hoành độ giao điểm của 2 ( )P và ( )d
Nên x , x1 là nghiệm của phương trình 2 ( )1
Trang 14Bài 14 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 2x 2m= + 2 với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 x12 =4x22
Nên ( )d cắt ( )P tại 2 điểm với mọi giá trị của m.
Vì x , x1 là hoành độ giao điểm của 2 ( )P
và ( )d
Nên x , x1 là nghiệm của phương trình 2 ( )1
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
( ) ( )
Trang 15Bài 15 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y= −(2m 1)x m 1− − + với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 3x1−4x2 =11
1 2
1 2
12
1
22
Trang 16Vậy
332
Bài 16 Cho parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y (2m 3)x m= + − 2−3m 2− với m là
tham số Xác định m để (P) cắt (d) tại 2 điểm có hoành độ điểm này bằng bình phươnghoành độ điểm kia kia
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Nên ( )d cắt ( )P tại 2 điểm với mọi giá trị của m.
Vì x , x1 là hoành độ giao điểm của 2 ( )P và ( )d Nên x , x1 là nghiệm của phương trình 2 ( )1
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt :
1
12
Bài 17 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 2 m 1 x 4m= ( + ) − với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 2x x1− 2 = −2
Lời giải
Trang 17Hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là nghiệm của phương trình:
23
mx
Thay vào phương trình (3) ta có:
Vậy với m = 0 hoặc m=3 là giá trị cần tìm
Bài 18 Cho parabol ( )P : y x= 2 và dường thảng ( )d : y 6x m= − với m là tham số
Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm có hoành độ là x ; 1 x thỏa mãn: 2 x1−x2 =4
Lời giải
Hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là nghiệm của phương trình: x2−6x m 0.+ =
( )d cắt ( )P tại 2 điểm khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
Trang 18Theo yêu cầu của bài ra x1−x2 =4 (3)
Từ (1) và (3) x1 =5, thay vào (1) x2 =1
Suy ra m x x= 1 2 =5(thoả mãn)
Vậy m 5 = là giá trị cần tìm.
Bài 19 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol ( )P y x: = 2 và đường thẳng ( )d y: =3mx+4
a) Vớim= −1, tìm tọa độ các giao điểm của ( )d và ( )P
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độx x1 ; 2, thỏa mãn điều kiện:x1 = − 4x2
tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2
⇔pt ( )1 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 (Với a= ≠ 1 0)
4
m x
Trang 19⇔ = ±
Vậy
5 3
a) Chứng minh rằng ( )d luôn cắt ( )P với mọi giá trị của m
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là nghiệm của phương trình:
46
2 11
m x m
Trang 20Thay vào ( )2 ta được: x x1 2 =m2− 2m− 8
m
t m m
m m
Bài 21 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ( )d : y= −(2 m x m) + −1 và parabol ( )P : y x= 2
a) Tìm m để đường thẳng ( )d tiếp xúc với parabol ( )P , khi đó hãy tìm tọa độ tiếp
điểm
b) Tìm m để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại 2 điểm phân biệt nằm ở bên phải
trục tung mà hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia
Do đó: m 0= thì thì ( )d tiếp xúc ( )P , tiếp điểm là A 1;1 ( )
b) Tìm m để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại 2 điểm phân biệt nằm ở bên phải
trục tung mà hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia
Hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là nghiệm của phương trình:
Trang 21Để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì phương trình (1)
có hai nghiệm phân biệt dương
Vậy m 1< và m 0≠ hì ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
=
(thỏa mãn)Vậy
Bài 22 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol ( )P :y x= 2 và đường thẳng ( )d :y 3mx 4= +
a) Vớim= −1, tìm tọa độ các giao điểm của ( )d và ( )P
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độx ; x , thỏa mãn điều 1 2
Vậy với m 1= , tọa độ giao điểm của ( )d và ( )P là: (−4;16)và( )1;1
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độx ; x , thỏa mãn điều1 2
kiện:x1= −4 x2.
Trang 22Để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x1 2
⇔pt ( )1 có hai nghiệm phân biệt x ; x (Với a 1 01 2 = ≠ )
3mx
= ±
là giá trị cần tìm
Bài 23 Trên mặt phẳng Oxy , cho parabol (P) : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y= −mx 4+ .
a) Với m 3= , tìm tọa độ các giao điểm của ( )d và ( )P
b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ;1 x , thỏa mãn điều2
kiệnx1= −2x2.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d là: x2+mx 4 0− = .
a) Với m 3= , tìm tọa độ các giao điểm của ( )d và ( )P
Trang 23b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ;1 x , thỏa mãn điều2
3mx
2mx2
m m
Trang 24a) Với m= −3, tìm tọa độ giao điểm của ( )d
và ( )P
b) Tìm m để ( )d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏamãnx12− 2x x1 2 + 3x2 = 1.
x x
m
⇔ <
Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:
( ) ( )
Trang 25t m m
m m
Trang 262 1
46
2 11
m x m
m
t m m
m m
Bài 27 Cho Parabol ( )P :y x= 2 và đường thẳng ( )d :y mx 2= +
a) Với m 1= Tìm tọa độ giao điểm của ( )d và ( )P
b) Tìm các giá trị của m để ( )d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành
Thay x1= −1 vào y x= 2 ta được: y1= ⇒1 A 1,1(− )
Thay x2 =2 vào y x= 2 ta được: y2 = ⇒4 B 2, 4(− )
Vậy với m 1= thì tọa độ giao điểm của ( )d và ( )P là A 1,1(− ) và B 2,4(− )
b) Tìm các giá trị của m để ( )d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành
Trang 272m 5x
3
m 5x
Bài 28 Cho parabol ( )P : y x= 2 và đường thẳng ( )d : y 2mx m= − 2+1 ( m là tham số)
a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt parabol( )P tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị của m Tìm tọa độ giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng (d) khi
Trang 282 2
x =2mx m− +1⇔x2−2mx m+ 2− =1 0(*)
a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt parabol( )P tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị củam Tìm tọa giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng (d) khi m 3.=
Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Vậy đường thẳng ( )d luôn cắt parabol( )P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
Vậy với m< −1 hoặc m 1> thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 29 Cho parabol ( ) 1 2
Trang 29<
)
Vậy
1m2
=
là giá trị cần tìm
Bài 30 Cho parabol ( )P : y 2x= 2 và đường thẳng d : y 3x m= −
Tìm m để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ
Trang 30b) Tìm m để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại 2 điểm phân biệt nằm ở bên phải
trục tung mà hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia
Thay m 0= vào (1) ta được : x2−2x 1 0+ = ⇔ =x 1 ⇒ = =y 12 1
Vậy m 0= thì đường thẳng ( )d tiếp xúc với parabol ( )P tại điểm có tọa độ ( )1;1b) Tìm m để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm ở bên
phải trục tung mà hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia
Để đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại 2 điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung
mà hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x ;x1 2 >0 và hoành độ điểm này gấpđôi hoành độ điểm kia