Chuyên đề 2_hệ PT

Cho hệ phương trình : a Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất b Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m  thay vào 2 ta có:... T́m hệ thức liên hệ giữa x, Với m  ± 1 th

Tài liệu luyện thi vào 10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

10 3

y

x

y x

2

8 2 3

y x

4 2

y x

y x

7 2

y x

5 2

y x

2 2

y x

y x

18 5

7 3 5

y x

0 2 2 3

y x

y x

2

6 3

3 2

y x

2 2

y x

y x

3

3 3 2

y

x

y x y

2

y x

4 2

y x

y x

3 4

2

y x

5 2

y x

y x

y x

7

) 1 ( 2

y x y

x

x y

12 2 3

y x

0

y x

y x

6

) ( 5

2

y y

x

y x y

10 2

y x

0 2

y x

y x

9

2 3

y x

10 2 5

y x

3

y x

y x

2

7 5

4

8 2 3

y x

2

y x

y x

10 3

20 3 2

y x y x

x y

2 3

y x

y x

3

2 3

1 5

y x

6 3 2

y x

y x

3 2

) ( 5

2 3

y x y

x

x y

6 2 3

y x

y x

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PT

7 2

y x

1 5 2

y x

2 2

y x

y x

3

5 2

5 2

y x

5 2

y x

y x

4

12 2

) 1 ( 4 2

y x y x

x y

8 2 3

y x

y x

3

22 3

1

y x

5 3 2

y x

y x

0 3

3 0

y x

5 3 2

y x

y x

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

2

1 1

3 1 1

y x y x

y x y

1 3

2 2

2 1

y x

y x

2

1

3 1

2

y x

1 , 1 6 2

y x y x

y x y

5 3

y x y x x

y x y x x

3 2

2

2 1

1 2

1

y x

3 1

3 1 1

2

y

y x

x y

y x

10 4

2 2

2 3

y x y x

y x y x

3 2

2

2 1

2 2

2

y x

1 6 1

4

3 1 1

y x

1 12

y

x x

x y

x y x

Bài 3. Cho hệ phương trình:

1 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 4. Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duynhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

Vậy với m  - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

3x

2 m

4 my

+) Với m = - 2 thì hệ phương trình vô nghiệm

+) Với m  - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

3 x

2 m

4 m y

b) Nếu m = - 2 => Phương trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p

Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 <=> p = - 14

Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm

c) Nếu m = - 2 và p  14 thì phương trình(1) vô nghiệm nên hệ vônghiệm

Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (1) và giải

Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (2) và giải

Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phương trình và giải hệ phương trình chứa ẩn là tham số

Bài 8. Cho hệ phương trình

3 – 2.(- 2) = 7  3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n)

Vậy (2; 1) là nghiệm của (1)

Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Bài 9. Cho hệ phương trình

Từ (I) và (II)  Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3)

Bài 10. Cho hệ phương trình :

Bài 11. Cho hệ phương trình

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:

3(m + 5) + 6m 0  m

53

)Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6

Bài 12. Cho hệ phương trình

mx y 5 (1) 2mx 3y 6 (2)

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.32.m  m  0

Từ (1)  y = 5 – mx Thay vào (2) ta có:

2mx + 3(5 - mx) = 6  x =

9

m (m0)Thay x =

9

m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 -

9m

m = - 4Vậy với m0 hệ (I) có nghiệm x =

9

m ; y = - 4 Thay x =

)  x = 

7

Thay vào y = mx – 1  y = 

7 3m 2.m – 1  y =



 4m 2 3m 2

Để xZ  

7 3m 2 Z  3m + 2  Ư(7) = 7; 7;1; 1   

+) 3m + 2 = - 7  m = - 3

+) 3m + 2 = 7  m =

5

3  Z (loại)+) 3m + 2 = 1  m =

13

Z

Thay m = - 1 vào y =





4m 2 3m 2  y = 6 (t/m)Kết luận: mZ để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1

Bài 14. Cho hệ phương trình :

24 6m

6 m



  y = 0 (t/m)Thay m = 8 vào y =

24 6m

6 m



  y = 17 (t/m)Thay m = 2 vào y =

24 6m

6 m



  y = 3 (t/m)Thay m = 10 vào y =

6 m



  y = 9 (t/m)Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m  5;7;4;8;2;10

Bài 15. Cho hệ phương trình :

2 2

Hay m2 + 2  0 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

 khi m =

5 2



Bài 16. Cho hệ phương trình :

2 2

Vậy MaxA = 16 khi m = 2

Bài 17. Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình

Vậy MinP = - 4 <=> m = - 1 (thỏa mãn  2  m  2)

Bài 18. Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình

4  2 <=> a =

2 2

2



và Max(xy) =

3 2 11

4  2 <=> a =

2 2

2 2

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Thay m = 2 vào hệ phương trình

1 2

y x

y x

( x ; y) = ( 0 ; 1)b) Giải hệ phương trình theo tham số m

Ta có hệ phương trình

1 2

m x

m

m m x



2 2

2

2 1

1 2

1

m m y

m m x

y

m m x

m y

m m x

Nếu m =  1 thì hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m   1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận)

Vậy với m = 0 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện:

x - y = 1d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Xét hệ phương trình

1 2

Từ phương trình  1

 mx  1 y 

1 y

m x

x



 x2 y y2 2x

 x2 y y2 2x0, đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụthuộc vào m.

Bài 21. Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duynhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

x

m m

m x m m

m x m y m

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) =

m  nhận giá trị nguyên

m m m m

Bài 22. Cho hệ phương trình :

a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

 thay vào (2) ta có:

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.

Bài 23. Cho hệ phương trình :

2 2

a Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

b Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ T́m hệ thức liên hệ giữa x,

Với m  ± 1 th́ hệ phương trỡnh có nghiệm duy nhất

b/ Rút m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ thức

Vậy (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1

Bài 25. Cho hai hệ phương trình

a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tơng đơng

b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình không tơng đơng

Hướng dẫn:

a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ = 

=> Hai hệ phương trình tơng đơng

b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S = 

Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ =   4 ; 1  

3 3

Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phương trình trên không tơng đơng

Bài 26. Tìm giá trị của m, n để hai hệ phương trình sau tơng đơng

Hai hệ phương trình trên tương đươngkhi hệ (II) cũng có nghiệm duynhất

(x = 3 ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II)

1

y x

y mx

Đáp án: Hệ phương trình vô nghiệm  m =23

Bài 28. Cho phương trình

1 2 ) 1 (

ay x

y x a

(I)

a Giải hệ (I) với a = 3 1 

b Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm

1 2 3

y x

y x

0 ] 3 )[

3 1

(

y x

y x

b Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = 4

Bài 29. Cho hệ phương trình:  

1 3 1

m y x

m my x m

2

1

y

x y

Lay (2) trừ đi (1) ta được: m 1xm 12

+ Khi m = -1 thì hệ có vô số nghiệm , không thoả mãn ĐK bài toán

+ Khi m  -1 thì hệ có nghiệm duy nhat

1

m y

m x

 12  32 2 2 4 10 2 12 8 8

2 2

b ay x

a, Có nghiệm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm

22

b a

Bài 31. Cho hệ phương trình 2 2

a Giải hệ phương trình với m 1

b Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Đáp án: a Khi m = - 1 hệ có 2 nghiệm ( 1 ; 3 ) và ( - 1 ; - 1 )

my

mx

myx

yx

mxm

yx

yx2

0

hệ này vô nghiệm khi y = m  2 (**)

Từ (*) và (**) , hệ đã cho vô nghiệm thì phải có m > 2

Bài 32. Cho hệ phương trình x my m mx y 1 1   2



a Giải và biện luận hệ phương trình

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Đáp án: a Từ (1) ta có y = mx - 1 thế vào (2) ta được:

x + m(mx - 1) = m

1 m

m 2 x m 2 x ) 1 m

1 m

2 2





b Với mọi m hệ luôn có nghiệm

2 2

2 1

1

m x

m m y

m y mx

a Với giỏ trị nào của m thì hệ cú nghiệm duy nhat thoả món điều kiện y  x + 2

b Với cỏc gớa trị m tìm được hóy tìm giỏ trị lớn nhat của biểu thức

+ 2 =

1

3 2 3

2 2



1

4 2 2

2 2

2 2





m

m m

= 2 1



m m

1

a ay ax

ay x

Đáp án: Từ phương trình x + ay = 1 ta thế x = 1 – ay vào phương trình ax

Hệ vô nghiệm  phương trình (1) vô nghiệm 

0 ) 3 ( 2

a

a a

0

a a

 a=0

Bài 35. Cho hệ phương trình: ax2x y a 2y a 1

   



a, Giải hệ phương trình khi a  2 b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x - y = 1.

Đáp án: a Thay a = 2 vào hệ phương trình được:

2 2 2

y x

y x



4 2

2 2 3

2 3 2

1 ( 2

) 1 ( 2

a x

x

a x

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m  2

b) Tìm giỏ trị của m để hệ phương trình đó cho cú nghiệm (x; y)

thỏa món hệ thức

3 m

m 1 y

2 y x

5

5 2 2 x

b) Giải theo m được: x m2m2 35; y 5mm2 63

Thay vào hệ thức

3 m

m 1 y

m 1 3 m

6 m 5 3 m

5 m 2

2

2 2

m my x

x y x

a Giải hệ phương trình khi m = 1

b Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

c Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là nghiệm của hệ đã cho CMR: (x2- x1 )2 + (

) 1 ( 0

2 2

m my x

x y x

1

1 0

b Từ x = m - my  mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x

 Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt

2

m

 m( 4-3m) > 0  0 < m < 34

Vậy với m  (0;34) thì hệ có 2 nghiệm phân biệt.

c Với m  (0;34) thì phương trình (3)có 2 nghiệm phân biệt y1, y2 thoã

1 1

my m x

my m x

) 1 2 (

2 2

Bài 38. Cho hệ phương trình:

4

2 2

y x

y x

0

y x

b Để hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình: x2 + (m – x)2 = 4 có nghiệm 2 2 2 2 4 0

Bài 39. Với giá trị nào của a thì hệ sau có nghiệm

1 1

a y x

a y

x

Đáp án: Điều kiện x  1; y  - 1 Đặt x 1u, y1v u0, v0

0 ,

2

u

v u a v

0 , 1

2 2

0 ,

2 2

a a uv

v u a v u a

uv v

u

v u a v u

Khi đó để hệ có nghiệm khi và chỉ khi a  0,

a2 – 2a – 1  0 và phương trình :  2 1 0

2

1 2 2

1 0 1 2 2

0 1 2 0

2 2

a a

a

Bài 40. Cho hệ phương trình: 2

3 2

a Giải hệ phương trình với m = 2;

b Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m thì hệ phương trình luụn

cú nghiệm duy nhat

Vậy với m = 2 thì nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x ; y) = (1 ; 1)

b Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :

Vậy với mọi m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhat (x ; y)thoả món 2x + y ≤ 3

Bài 42. Cho hệ phương trình:  

a Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi

đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhat

x R

3 - 2m 3 - 2m 3 - 2m