Bài 5 Các hàm số trên R sau đây có hàm ngược không?. Hoặc có hàm số ngược trong những khoảng nào?. Xác định hàm số ngược và đồ thị của chúng: 3 2 sinx ; tan.. a Khảo sát và vẽ đồ thị c
Trang 1BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Bài 1 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số siêu việt, đại số (vô
tỉ, hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân):
4 2
2
2 1
2 1
a
x
x
+
−
Giải:
a - Là hàm số đại số hữu tỷ nguyên
b - Là hàm số đại số vô tỷ
c - Là hàm số đại số hữu tỷ phân
d, e, f - Là hàm số siêu việt
Bài 3 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau đây:
4 2
3 5 5 3
) sin tan ;
Giải:
a) ∀ ∈x R ⇒ − ∈x R và y= 5x4 + 3x2 − 2 , ta có:
( ) 5( ) 3( ) 2 5 3 2
y x− = −x + −x − = x + x −
Suy ra y= −y x( ) ∀ ∈x R
Vậy y= 5x4 + 3x2 − 2 là hàm số chẵn
b) 3 5 5 3
y= x − x
và
3 5 5 3 3 5 5 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y x y x
Vậy y= 3 x5 − 5 x3 là hàm số lẻ
c) y= sinx+ tanx
sin( ) ( ) sin( ) tan( ) sin( )
cos( )
x
x
−
−
( ) ( )
y x y x
Vậy hàm số y= sinx+ tanx là hàm số lẻ.
d) y= cos 2x− cosx
Trang 2\{0} \{0}
( ) cos 2( ) cos( ) cos( 2 ) cos( ) cos 2 cos
y x− = − −x − =x − x − − =x x− x=y
( ) ( )
y x y x
Vậy hàm số y= cos 2x− cosx là hàm số chẵn.
e) y= tan 2x+ cot 2x
sin( 2 ) cos( 2 ) ( ) tan( 2 ) cot( 2 )
cos( 2 ) sin( 2 ) sin 2 cos 2
(tan 2 cot 2 ) cos 2 sin 2
( ) ( )
y x y x
Vậy hàm số y= tan 2x+ cot 2x là hàm số lẻ.
Bài 5 Các hàm số trên R sau đây có hàm ngược không? Hoặc có hàm số ngược trong những khoảng nào? Xác định hàm số ngược và đồ thị của chúng:
3 2
) sinx ; ) tan
x
Bài 7/Tìm miền xác định của các hàm số:
2
3 2
3
1
4 ) ( 3)
a
x
x
x
e y x
π
−
+
= −
Giải:
a,
b, x2 − ≥ 4 0 ⇒ x∈ −∞ − ∪ − + ∞ ( ; 2) ( 2; )
c, x− > 1 0 ⇒ x> 1 hay x∈ (1; + ∞ )
d, sin( ) 0
4
x−π ≠
nên tập xác định là 3 ( )
4 2
k
e, x− > 3 0 ⇒ x> 3 hay x∈ (3; + ∞ )
Bài 8/Xét hàm số y= 2x+ 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số theo các bước của phương pháp sơ cấp b) Dùng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị phải tìm từ đường phân giác y x=
Giải:
a Khảo sát
+) Miền xác định: ∀ ∈x R
+) Sự biến thiên: Ta có
Trang 32 1 2 1
1 2 1 2
(2 3) (2 3)
x x R x x
Nên hàm số đồng biến
+) Vẽ đồ thị
- Đồ thị cắt trục Ox tại 3, 0
2
−
- Đồ thị cắt trục tung tại (0, 3)
b Đồ thị hàm số y= 2x+ 3 được suy ra từ đường phân giác y x= bằng những phép biến đối sau:
Cách 1:
- Phép dãn tỉ số k = 2 dọc theo trục tung
- Phép tịnh tiến dọc theo trục hoành một đoạn bằng 3
Cách 2: Hàm số y= 2x+ 3 cũng có thể viết là y= 2(x+ + 1) 1 nên có thể suy ra
đồ thị của y= 2(x+ + 1) 1 bằng các phép biến đổi sau:
- Tịnh tiến đường phân giác y x= theo trục hoành một đoạn bằng -1.
- Dãn theo trục tung với tỉ số k = 2
- Tịnh tiến theo trục tung một đoạn bằng 1
Bài 10 Xét hàm số phân tuyến tính: 3 2
2 4
x y x
+
= + . a) Khảo sát và vẽ đồ thị theo các bước của phương pháp sơ cấp
b) Từ hypebol y 1
x
= có thể suy ra đồ thị của hàm số đã cho bằng những phép biến đổi đồ thị nào?
Giải:
a) *) TXĐ: D= −∞ − ∪ − ( ; 2) ( 2 ; + ∞ )
x
y
+
*) Sự biến thiên
x −∞ -2 +∞
2
x+
1
2
x+
2
2
x
−
+
3 2
2 −x 2
+
*) Vẽ đồ thị
Với 0 1 (0 ; )1
Trang 4Với x= ⇒ 2 y= 1. B (2 ; 1)
Ta có
2
3 2 3( 2) 2
2 4 2( 2) 4
lim
x
x x
→
+ = − + = −∞
Suy ra đồ thị của hàm số nhận x= − 2 làm tiệm cận ngang
limx→∞ x x+ =limx→∞ −x ÷=
2
b) Đồ thị hàm số 3 2
2 4
x y x
+
= + được suy ra từ đồ thị hàm số
1
y x
= bằng những phép biến đổi sau:
+) Tịnh tiến song song vơi trục hoành một đoạn bằng -2 ta được đồ thị hàm
2
y
x
=
+ .
+) Thực hiện một phép dãn theo trục tung tỉ số k = 2 ta được đồ thị hàm số
2
2
y
x
=
+ .
+) Thực hiện phép đối xứng trục qua trục Ox ta được đồ thị hàm số 2
2
y x
−
= + . +) Tịnh tiến song song vơi trục tung một đoạn bằng 3
2
−
ta được đồ thị hàm
2 4
x
y
x
+
=
+ .
Bài 12 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ tọa độ, bằng phương pháp sơ cấp:
từ đó tổng quát hóa cho hàm số 22 1
m n
y x= + .
Giải:
2
3
)
a y x=
*) TXĐ: R
*) Chiều biến thiên
Hàm số y x= 23 đồng biến trong khoảng (0 ;+ ∞)
*) Đồ thị
Đồ thị luôn đi qua A(1 ; 1) và O(0 ; 0)
4
3
)
b y x=
Cách khảo sát tương tự:
Đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
Trang 5Tổng quát hóa hàm số 22 1
m n
y x= +
Với hàm số 22 1
m n
y x= + thì khi m n= hoặc m n≠ hàm số luôn đồng biến trong
khoảng (0 ; + ∞ ) và đồ thị hàm số luôn đi qua A(1 ; 1) và O(0 ; 0)
Bài 14 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x= −23, hàm số 22 1
m n
y x= − + .
Bài 15 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x= −53, hàm số 22 11
m n
y x
+
− +