Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 6 potx

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là... 2 0 So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là ,... 2So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là... Vậy, nghiệm của p

CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VI.1 1) 3 sinx−cosx= 2

k k

43

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là

5) cosx−sinx+3sin 2x− =1 0

2cos( )

6)2sin 2x−3 3 sin( x+cosx)+3 3 0=

Vì cosx=0 không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x≠ 0

ta nhận được của phương trình

ππ

cos sincos sin cos sincos sin

cos sincos sin

−

(cos sin ) 1 1 0

cos sincos sin 0

ℤ (Thỏa điều kiện)

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , 2 , 2 , ( )

sin cos sin sin cos cos 1 sin cos

sin cos 1 sin cos 1 sin cos

2

1sin

Điều kiện: cos 0

tan 1

x x

x x

4) tan 3x−tanx=s in2 1x( )

Điều kiện: cos 3 0

cos 0

x x

sin 2 sin 2 cos 3 cos

sin 2 1 cos 3 cos 0

sin 2 0sin 2 0

1cos 3 cos 1 0 cos 4 cos 2 1 0

2sin 2 0sin 2 0

3cos 2 1 cos 2

x x

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6

k

ππππ

7) sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x

2

2cos 0

22

2

cos 4 3cos 1 tan 2 0

1cos 4 3cos 2 2 0

coscos 4 6cos 3 2 0

x k

πππππ

k

π

ππ

Kết hợp với điều kiện 0 x< <π ta được điều kiện:

0

(*)234

x x x

πππ

t

t t

cos

tan tan 3 tan 3 0

tan 1 tan 3 0

tan 1tan 1

Kết hợp với điều kiện 3 ,

sin 3 sin 5 sin 3 sin 5 cos 4 cos 6 cos 4 cos 6

2sin 4 cos 2 cos 4 sin 2 cos 5 cos 2sin 5 sin

cos sin sin 4 cos 4 cos 5 sin 5 0

cos sin sin 8 sin10 0

cos sin sin 9 cos 0

cos sin sin 9 0

x

x x

x x

x x

Điều kiện: cos 0 ,( )(*)

(1) 2 cos cos 2 8cos 7 cos 1

2 cos 2 cos 1 8cos 7 cos 1 0

1

2cos

32

x k x

k

x

πππ

ππππ

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

sin 2sin sin 2 cos 3 sin 3

1 2sin 2

x x

x=





Vì cosx ≤1 nên ta chọn trường hợp cos 1

k

ππππ

x x

⇔ = + ∈ ℤ (Vì phương trình cot2x−cotx+ = vô nghiệm) 2 0

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là ,( )

4

π

4)sin 4 sin 2x x+sin 9 sin 3x x=cos2 x 1 1 2

(cos 2 cos 6 ) (cos 6 cos12 ) cos

cos sin cos 2 2 cos sin 2cos 1

cos sin cos 2 2 cos sin cos 2

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là ,( ).

2

k

6) 3 cos 4 sin 4 2 cos 3 0

3 cos 4 sin 4 2 cos 3

1 2sin cos 2sin

coscos 2sin cos 2sin cos sin 0

x

x x

x x

sin cos 2sin cos sin cos 0

sin cos 1 sin 2 0

cos

44

10) 2sin 1 2cos sin sin 2 cos

2sin 1 2cos sin 2sin cos cos

2sin 1 2cos sin cos 2sin 1 0

2sin 1 cos sin 0

cos sin 0

42

6

5

26

4

x x

ππ

(1) 3 cos 5 sin 5 sin sin 0

3 cos 5 sin 5 2sin

(Vì phương trình sin 22 x= vô nghiệm) 2

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là

Điều kiện: sin 2 0 2 ,( ).

2

4 cos 2 20cos 2 9 0

1cos 2

(1 sin 2x) sinx cosx cos 2x 0

k

k x

x x

k

ππππ

24

ππππ

(1) 2(cos sin ) sin cos 0

2(1 3cos sin ) sin cos 0

6cos sin sin cos 2 0

31

sin 2 1 sin cos

2

x x

7) cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0

2

4 cos 3cos 2 cos 1 cos 1 0

4 cos 2 cos 4cos 2 0

9) cos4 x−sin4x= cosx +sin (1)x

Ta có VT =cos4x−sin4 x=cos2x−sin2x=cos 2x≤ ∀ ∈ ℝ 1, x

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x=kπ,(k∈ ℤ ).

k x

x

πππ

VI.6 1) tanx=cotx+4cos 2 2 x

Điều kiện: sin cos 0 ,( )

x

x x

Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2 3 1 sin 3 cos 2 3 3sin 2 cos sin 0

2 3 sin 3 cos 3sin 2cos sin 0

3 cos 3 sin 2sin cos 3 sin 0

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 ,( ).

1 2sin 4sin 0

23

24sin 8sin 3 0

3

2sin

2 3 2cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin

21

10) sin 3x+ 3 cos 3x+cos 2x− 3 sin 2x=sinx+ 3 cos x

Phương trình đã cho tương đương với

2cos 2 sinx x−2 3 sin 2 sinx x+cos 2x− 3 sin 2x= 0

(1 2sinx) (cos 2x 3 sin 2x) 0

k x

πππ

ππ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là

sin sin cos 3cos sin cos

sin cos 3cos sin 0

sin 2 cos 2 sin cos

sin 2 sin cos 2 cos sin cos

ππ

π

ππ

14) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcos (1)x

+ cosx=0 : Phương trình (1) không thỏa

cos 0

2

π+ ≠ ⇔ ≠ + Chia hai vế của (1) cho cos3x≠ ta được phương trình 0

tan 3 tan 3 tan

tan 3 tan tan 3 0

4tan 1

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , , ,( ).

(1) 4sin cos 2sin cos 1 2cos 0

2 cos 2sin cos 1 2sin cos 1 0

k x

ππππ

2

6sin 1

22

ππ

(1) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin

cos 3 sin sin 2 3 cos 2

VI.7 1) cos 11 5 sin 7 2 sin 3

k x

ππ

ℤ thoả điều kiện (*)

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là ; ,( )

4

3) sin3x+cos3x=cos 2 2cosx( x−sinx) (1)

(1)⇔(sinx+cosx)(1 sin cos− x x)=(cos2 x−sin2x) (2 cosx−sinx)

(sinx cosx)1 sin cosx x (cosx sinx)(2 cosx sinx) 0

4) 2sin2 2sin2 tan

ℤ thoả điều kiện (*)

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( )

( )

33

62

k

π

ππ

ππ

1sin 2

ℤ thoả điều kiện (*)

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( )

3

7) 3 tan2x+4 tanx+4cotx+3cot2x+ = (1) 2 0

(1)⇔3 tan x+cot x +4 tanx+cotx + = 2 0

Đặt t=tanx+cot ,x điều kiện t ≥2 (1) trở thành

3(t −2) 4+ t+ = ⇔2 0 3t +4t− = 4 0

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là ,( ).

( 2 ) ( 2 )

(1) tan 1 sin cot 1 cos sin 2 1 0

tan cos cot sin 2sin cos 1 0

sin cos sin cos sin 2 1 0

2sin cos sin 2 1 0

π

ππ

(1) sin 2 cos 2 2 sin 4 sin 6

sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2 sin 4 sin 6

1 2sin 2 cos 2 sin 4 sin 6 2sin 6

1sin 6 sin2

sin 4 1 0

sin 4 2( )2

x

x

x x

(1) 2 3 cos 3 cos 2 3 3sin 2sin cos 0

2 3 1 sin 3 cos 2 3 3sin 2sin cos 0

2 3 2 3 sin 3 cos 2 3 3sin 2sin cos 0

2 3 sin 3 cos 3sin 2sin cos 0

x x

Điều kiện: 3 ,( ).

23

k

ππππ

2

sin 3 sin +sin2 do tan3

sin cos sin2 cos sin cos 3 0

sin (cos 2cos cos 3 ) 0

sin (4cos 2cos 2 cos ) 0

12)(1 tan− x)(1 sin 2+ x)=cosx+sinx(1)

cos sin 1 sin 2 cos sin

( ) ( )( )

cos sin cos 2 1 0

ππ

cos 3 cos sin

sin cos sin cos

x

πππ

3cos 2 3 sin cos sin cos sin 1 3 3 cos sin

3 cos sin 3 3 cos sin 0

3 cos sin 3 cos sin 3 0

Đặt t=tanx+cot x Điều kiện: t ≥2.

Bài toán trở thành: “Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thuộc (−∞ − ∪; 2] [2;+∞)".Xét ( ) 2 2,( 2)

2) m(sinx+cosx)+s in2x+m− =1 0 1( )

2; 2

t∈ − 

 

Vậy, với mọi m∈ ℝ thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

3) 6(cosx−sin ) sin 2x + x=m(1)

Đặt t=cosx−sin x Điều kiện: t ≤ 2

Từ bảng biến thiên, suy ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi 6 2 1− − ≤m≤6 2 1.−

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm khi m∈ − 6 2 1;6 2 1 − − 

VI.9.cos2 x−2 cosm x+4(m−1)=0.(1)

Đặt t=cos ,x điều kiện: t ≤1 (1) trở thành

(1) sin 2sin cos 2cos 1 2sin cos 3cos 0

cos 2sin 3cos 0

+ Khi m≠ ⇒1 cosx≠0 Chia hai vế của (1) cho cos2 x≠0,ta được

< ∨ > thì phương trình đã cho vô nghiệm

VI.11 mcos 22 x−2sin 2x+m− = (1) 2 0

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đặng Hùng Thắng 1998 Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Hà Nội:

NXB Giáo dục

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm –

Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông 2008 Đại số 10 (Nâng cao) Hà Nội: NXB

Giáo dục

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm –

Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng 2008 Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung –

Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng) 2008 Giải tích 12 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục

Hoàng Huy Sơn 2009 Đại số sơ cấp Đại học An Giang Lưu hành nội bộ

Hoàng Kỳ 1999 Đại số sơ cấp Hà Nội: NXB Giáo dục

Hoàng Kỳ 2007 Giáo trình căn số và toán vô tỉ Hà Nội: NXB Giáo dục

Nguyễn Thái Hòe 2001 Dùng ẩn phụ để giải toán Hà Nội: NXB Giáo dục

Nguyễn Văn Mậu 2001 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình Hà Nội:

NXB Giáo dục

Phan Đức Chính 1999 Bất đẳng thức Hà Nội: NXB Giáo dục

Phan Đức Chính – Nguyễn Dương Thụy – Tạ Mân – Đào Tam – Lê Thống Nhất 1996 Các bài giảng luyện thi môn Toán – Tập 2 Hà Nội: NXB Giáo dục

Phan Huy Khải 2001 Phương pháp đồ thị để biện luận hệ phương trình chứa tham số

V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập 1 Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy

Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục

V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập 2 Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy

Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục