Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 3 ppsx

BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH... 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với... 2 Đặt vế trái của bất đẳng thức đã cho là A và ta đặt... Như vậy, bất phương trình 1 nghiệm đúng với mọi x∈

CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Với x+ + = ⇒y z 0 x3+y3+z3 =3xyz Với x= −a b y; = −b c z; = −c a.

(*) được viết lại (a b− ) (2 c+ −a b) (+ b c− ) (2 a+ −b c) (+ c−a) (2 b+ −c a)≥0 (**)

Do , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên (**) đúng Vậy, ta có điều phải chứng minh

(2) (3) (4)

Tương tự, ta có các bất đẳng thức b+ ≥c 2 bc(2), c+ ≥a 2 ca (3)

Nhân các bất đẳng thức (1),(2),(3) vế theo vế ta được

2 2 2(a b b+ )( +c c)( +a) 8≥ a b c =8abc(Đpcm)

(3)4

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta được điều phải chứng minh

III.4 1) a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai cặp số (u x; ) và (v y; )ta được

2) Từ giả thiết abc ab bc ca 1 1 1 1.

Mặt khác ta luôn có tính chất u + v + w ≥ u+ +v w,từ đó suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

2 2

2 2

( )

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= =z 1

III.8 1) x2(1 sin+ 2 y)+2 sinx( y+cosy)+ +1 cos2 y> 0 (1)

(1) tương đương với (xsiny+1)2 +(cosy+x)2 > 0

Như vậy ta luôn có

x + y + x y+ y + + y= x y+ + y+x ≥ 0, ∀x y∈ ℝ

Ta chứng minh dấu “=” không xảy ra

Thật vậy, giả sử dấu “=” xảy ra Khi đó

( ) ( )

Lấy (1) trừ cho (2) theo vế ta được xsiny−cosy+ − =1 x 0( )∗

Phương trình ( )∗ có nghiệm y khi và chỉ khi

( )2

x + ≥ x− ⇔x + ≥x − x+ ⇔ x≥

Lấy (1) cộng với (2) theo vế ta được sinx y+cosy+ + =1 x 0 ( )∗∗

Phương trình (**) có nghiệm y khi và chỉ khix2+ ≥1 (x+1)2 ⇔2x≤ ⇔0 x≤0

Suy ra x=0, thay x=0 vào (1) ta được 1 0= (Vô lý ) Suy ra dấu '' ''= không thể xảy ra Vậy, x2(1 sin+ 2 y)+2 sinx( y+cosy)+ +1 cos2 y> 0, ∀x y, ∈ ℝ

2) Bất đẳng thức đã cho tương đương với

4) Xét hàm số ( )f x = −x sin ,x x>0 Ta có ( ) 1 cosf x′ = − x≥ ⇒0 f x( ) đồng biến trên khoảng (0;+∞) Từ đó ( )f x > f(0) 0= hay sinx< x,∀ >x 0(1).

Vậy, bất đẳng thức ( )1 luôn đúng với mọi , ,a b c không âm

2) Đặt vế trái của bất đẳng thức đã cho là A và ta đặt

Bất đẳng thức (1) tương đương với a3+b3+3abc≤5 (2)c2 Ta có

n n

n= + nghĩa là phải chứng minh k

21

x x x x

x x

x x x x

x

x

x x

x x

01

Như vậy, bất phương trình ( )1 nghiệm đúng với mọi x∈ ℝ.

Trường hợp này a<0 nên x2 <x1.

Nghiệm của bất phương trình ( )1 là x≤x2∨ ≥x x1

Kết luận:

m=3 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là 1.

2

x≥ −

m≤2 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là ∀ ∈ ℝx

2<m<3 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x≤x2∨ ≥x x1

m>3 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x1≤ ≤x x2

Như vậy bất phương trình ( )2 vô nghiệm

Trường hợp này a<0 nên x1 >x2

Nghiệm của bất phương trình ( )2 là x2≤ ≤x x1

Nghiệm của bất phương trình ( )2 là x≤x1∨ ≥x x2

Kết luận:

4 : 3

4

m= x≤

m<0: Bất phương trình đã cho vô nghiệm

m=0 : Bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 1

2

x=

0<m<4 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x2 ≤ ≤x x1

m>4 : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x≤x1∨ ≥x x2

Như vậy ( )3 vô nghiệm

Như vậy ( )3 vô nghiệm

x< Suy ra m= −1 không thỏa đề bài

· m+ ≠ ⇔1 0 m≠ −1 Bất phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

2

(m+1)x −2(m−1)x+3m− ≥3 0,∀ ∈ ℝ x

x≥ Suy ra m= −1 thỏa đề bài

· m+ ≠ ⇔1 0 m≠ −1 Khi đó (2) là bất phương trình bậc hai Bất phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy, khi m≥ −2 thì bất phương trình ( ) 0f x ≥ có nghiệm

Chú ý. Ta cũng có thể giải Câu b) như sau:

Trước hết ta giải bài toán ngược, tức là tìm tham số m để bất phương trình (2) vô nghiệm Khi đó các giá trị m còn lại trên trục số là các giá trị cần tìm để bất phương trình ( ) 0 f x ≥

Từ đó các giá trị cần tìm của tham số m là m≥ −2

III.16 1) Ta có tam thức bậc hai 2x2− + >x 1 0,∀ ∈ ℝ x

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với

Vậy, với 0<m≤5 thì bất phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là ℝ

2) Vì x2+ >1 0, ∀ ∈ ℝ nên bất phương trình đã cho tương đương với x

( ) ( )

Bất phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là ℝ khi và chỉ khi các bất phương trình ( )1 và

( )2 đều có tập hợp nghiệm là ℝ Điều này được thỏa khi và chỉ khi

∆ − và dựa vào định lý đảo dấu tam thức bậc hai ta

có kết quả như sau:

< < , thì phương trình ( )1 vô nghiệm

+ Nếu m=2, thì phương trình ( )1 có nghiệm kép x= − <1 1

m= , thì phương trình( )1 có hai nghiệmx1= −1 2,x2 = +1 2⇒x1< <1 x2

+ Nếum=3 , thì phương trình( )1 có nghiệm 1 1

thức bậc hai ta có kết quả như sau:

+ Nếu m< − thì phương trình (1) vô nghiệm 1,

III 21 2x2+(2m−1)x+m− = (1) Phương trình (1) có một nghiệm nằm trong 1 0

khoảng(−1;3)nghiệm kia nhỏ hơn −1, nghĩa là x1 < − <1 x2 <3

m m

Khi đó phương trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2 nằm trong các trường hợp: Hoặc

là cả hai nghiệm đều lớn hơn 2, hoặc chỉ có một nghiệm lớn hơn 2 Điều này được thỏa khi

và chỉ khi

m m

− < ≤ thì phương trình trên có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2

III.23 f x( )=mx2−2(m+1)x−m+5 Kí hiệu D= −∞( ;1),S là tập hợp nghiệm của bất phương trình ( ) 0.f x > Ta đã biết ( ) 0f x > đúng với mọi x∈D khi và chỉ khi D⊆S.+ Xét m=0 Khi đó f x( )>0 khi và chỉ khi −2x+ >5 0 5

2

x

⇔ < Như vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình f x( )>0 là ( ; ).5

2

S = −∞ Rõ ràng D⊆S Vậy, m=0 thỏa yêu cầu bài toán

+ Xét m≠0 Ta có

(m 1)2m( m 5)

′

∆ = + − + =m2+2m+ +1 m2−5m =2m2−3m+ Tập hợp nghiệm của bất 1.phương trình ( ) 0f x > tùy thuộc vào dấu của hệ số a và biệt số ∆′ của ( ).f x

Lập bảng xét dấu chung hệ số a và biệt số ∆′ của ( ).f x Ta xét các trường hợp sau

m m

 , tập hợp nghiệm của bất phương trình f x( )>0là S = ℝ do ,

đó bài toán thỏa

S =ℝ S=ℝ Suy ra bài toán được thỏa

Vậy, giá trị của tham số m cần tìm là 0 3

Vậy, m≤ −1 là giá trị cần tìm

Chú ý. Có thể đặt ẩn số phụ t=x2 +6x+ =8 (x+3)2− ≥ − Khi đó ta có hàm số 1 1

f t =t t+ =t + t t≥ − Như vậy, (1) đúng với mọi x∈ ℝ khi và chỉ khi t2+2t ≥m

đúng với mọi t≥ −1, khi và chỉ khi 2

Đặt t=cos ,x x∈[0; ]π ⇒ ∈ −t [ 1;1 ] Bất phương trình 2cos2x+3 cosm x+ ≥ (1) trở 1 0thành 2t2+3mt+ ≥ (2) Khi đó (1) nghiệm đúng với 1 0 ∀ ∈x [0;π] khi và chỉ khi (2)

t m

t

(2)

2

.3

t m

m t

m

m f

2 2

III.31 x x( −2)(x+2)(x+4)<2m( )1

( )1 ⇔(x2+2x)(x2+2x−8)<2m

Đặt t=x2+2 x Khi đó ta được (1) trở thành t2−8t<2m(2)

Xét t x( )=x2+2x⇒t x′( )=2x+2

t x′ = ⇔ x= −

Ta có bảng biến thiên

Như vậy, với x>0 thì t>0

Bất phương trình (1) có nghiệm x>0 khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm t>0.Điều này được thỏa khi và chỉ khi 2

Phương trình (*) có biệt thức ∆ >′ 0 nên có đúng hai nghiệm phân biệt

Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x và từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình ( )f x = 0

có không quá ba nghiệm phân biệt