Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 2 pot

+ Xét m≠0, phương trình 1 có đúng một nghiệm dương trong các trường hợp sau · Phương trình 1 có một nghiệm kép dương: Điều kiện là 9... 1 vô nghiệm khi và chỉ khi 2 hoặc vô nghiệm hoặc

CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH

.m= phương trình (*) trở thành 1, 0x= ⇒0 phương trình (1) có nghiệm tùy ý

.m= − phương trình (*) trở thành 1, 0x= ⇒8 phương trình (1) vô nghiệm

1 0

1

m m

+ Nếu m=1 thì phương trình (1) có nghiệm tùy ý

+ Nếu m= −1 thì phương trình (1) vô nghiệm

−

=+

· a=b thì (*) trở thành 0x=0 suy ra phương trình (1) có nghiệm tùy ý

· a= −b thì (*) trở thành 0x=4 b2 Nếu b=0 thì phương trình (1) có nghiệm tùy ý Nếu 0

b≠ thì phương trình (1) vô nghiệm

5 0

5

b b

.4

+ Nếu

40

5

5

a a

b b

b b

m x m

m x

m

=+

(Trường hợp 1

2

m= − thì hai nghiệm này bằng nhau và bằng 0)

+ Nếu

11

20

m

−2( 1)

0

m m

m m

m m

· b=0: Phương trình ( )1 có nghiệm tùy ý

· b≠0: Phương trình ( )1 có một nghiệm duy nhất x=0

Kết luận:

· Nếu a= =b 0 thì phương trình ( )1 có nghiệm tùy ý

· Nếu a= − ≠b 0thì phương trình ( )1 có một nghiệm duy nhấtx=0

· Nếu a≠ −bthì phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x1 2ab

a b

=+ ; x2 = + a b

II.5 Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình x2+ax+bc=0(1) x x1, 3 là nghiệm của phương trình x2+bx+ca=0.(2) (x1 là nghiệm chung của các phương trình (1) và (2))

Ta chứng minh x x2, 3 thỏa mãn phương trình x2+cx+ab=0(3)

(Do , ,a b c khác nhau đôi một và khác 0)

Thay x1 = vào (*) và (**) ta được c

⇒ là nghiệm của phương trình ( )3

Thay giá trị x3 = = − − vào vế trái phương trình a b c ( )3 ta được

⇒ là nghiệm của phương trình ( )3

Vậy, x x2, 3 là nghiệm của phương trình x2+cx+ab=0.(Đpcm)

II.6 mx2−2(m−3)x+m− = (1) 4 0

+ Xét m=0, (1) trở thành 6 4 0 2 0

3

x− = ⇔ x= ⇒m= thỏa đề bài

+ Xét m≠0, phương trình (1) có đúng một nghiệm dương trong các trường hợp sau

· Phương trình (1) có một nghiệm kép dương:

Điều kiện là ( )

9

20

m

m m

4

0

m P m

m m

Như vậy m=1 không thỏa yêu cầu đề bài

+ Xét m≠1 khi đó ( )2 là phương trình bậc II

( )1 vô nghiệm khi và chỉ khi (2) hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm

2 2

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm không âm Ta giải

bài toán ngược tức là tìm các giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm Phương trình

(1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) hoặc là vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều

âm Điều này xảy ra khi và chỉ khi

2 2 2

Vậy, giá trị cần tìm của m là 1 2 3.

2

1 1

Các Parabol ( ),( )P1 P2 và đường thẳng y=a được vẽ ở hình sau

y = a

y

x

43 4

4

5 2 4 1

Vậy, nghiệm của phương trình là x= − ±1 5+ 34

2

t t

Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia hai vế của phương trình cho

x

+ = − ⇔ + + =

· Với t= ⇒6 5 1

6

5

x x

x x

=

+ = ⇔ 

2

x= x= x= x=5) 2x4+5x3+x2+5x+ = 2 0

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình chox2 ≠0,ta được phương trình tương đương

· t< − phương trình (*) vô nghiệm 4, x

· t > − phương trình (*) có hai nghiệm x phân biệt 4,

Vậy, ta có số nghiệm của phương trình đã cho như sau

y x

2 1 1

32

Thế x=2 vào phương trình (3) ta được y= − Cặp giá trị (2; 1)1 − thỏa điều kiện (*) nên

là nghiệm của hệ phương trình đã cho

115

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm là (1;1)

S S P

7878

16978

2 2

325

( )

9

S P

u v

u v

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( 1;84),(79; 4).−

· y=0 : Hệ phương trình đã cho vô nghiệm

· y≠0 : Hệ phương trình đã cho tương đương với

2

14

14

( )12

1

1212

VN y

y y

x y

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 2; 3 , 1;1 ( )

4(1)

(Do x≠0,y≠ nên (*) vô nghiệm) 0

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là 1 1;

t t

y y

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )1;1 và (2;2 )

Chú ý. Có thể giải bằng cách khác như sau:

Trừ từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được

Xét hàm số f t( )=t2−2t+ t−1,t∈[1;+∞) Hàm số này đồng biến trên tập xác định, do đó

ta có (*)⇔x=y Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )1;1 ,(2;2 )

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là (1;1)

2

2 2

2

2 2

· Với t=3 ta được 3= + ⇔x 3 x=0 (Loại)

· Với t= −1 ta được − = + ⇔1 x 3 x= −4 (Nhận), thay x= −4 vào (2) ta được

2 2 3

2 2 3

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (1;0); (−1;0)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1;2 )

219

Như vậy, nghiệm của hệ là (0;0 , 0; 1 ) ( − )

· y=0, suy ra x= do đó ta được nghiệm 1, (1;0 )

· y= − suy ra 1, x= do đó ta được nghiệm 1, (1; 1 − )

⇔ = ⇔ = ⇔ = (Thỏa điều kiện)

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là ( )1;1

Suy ra hàm số ( )g u luôn luôn đồng biến trên ℝ Do đó( )∗ nếu có nghiệm thì có một nghiệm duy nhất

Ta thấy u=0 thỏa( )∗ , như vậy u= =v 0 Từ đó ta được x= y=1

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( )1;1

Phương trình trên vô nghiệm

· x+y= − ⇔5 x= − − Thay 5 y x= − − vào (1), ta được 5 y

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (− +3 3 ; 2− − 3 ,) (− −3 3; 2− + 3 )

· Trường hợp xy= ta được các nghiệm 1, ( ) (1;1 , 1; 1 − − )

Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) (1;1 , 1; 1 ,− − ) 2 3 3 2 3 3

+ Thay xy= vào (1) ta được 1 2 1

1 0

1

x x

Các giá trị của x y, đều thỏa điều kiện

Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (2;5 ,) (5;2)

2 2

2

( )2

a

y I a

2

' 6 2 ,

y = x − x y' 0= ⇔6x2 −2x=0

013

x x

y y

Với x= thế vào 1,

2 3

x y x

y x y

y x y

Phương trình trùng phương 2y4−(40 9 )− k y2−16 0= (3) có các hệ số a c, trái dấu nên chắc chắn có nghiệm y≠ với mọi 0 k.

Vậy, hệ phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của k

u chính là v và ngược lại Từ đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương

trình (*) có hai nghiệm u u1, 2đều không âm

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

2 37

Ta có nhận xét rằng nếu (x y0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì (y x0; 0)

cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 Khi đó ta có

x= y= thỏa hệ phương trình nên là nghiệm và là nghiệm duy nhất của hệ Vậy, khi m=1thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

2) Hệ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm(x y; )thỏa mãnx>0;y> khi và chỉ khi 0phương trình( )a hoặc phương trình( )b có hai nghiệm dương

+ Phương trình ( )a có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

(1 m2)y2 1 m

· Xét 1−m2 =0 ⇔m= ∨1 m= −1

Với m= hệ phương trình ( )1, I có vô số nghiệm Tập hợp nghiệm của hệ phương trình ( )I

là { (x y; )/x2+y2 =1 } Với m= − (3) trở thành 1, 0y2 =2⇒ phương trình (3) vô nghiệm

từ đó hệ phương trình ( )I vô nghiệm

1

y

m m

Chú ý Chúng ta có thể giải cách khác như sau

· m=1 Hệ phương trình ( )II có vô số nghiệm nên hệ phương trình ( )I có vô số nghiệm

· m= −1 Hệ phương trình ( )II vô nghiệm nên hệ phương trình ( )I vô nghiệm

+ D≠ ⇔0 m≠ ±1

Hệ phương trình ( )I có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình ( )II có nghiệm

( ; ) /X Y X >0,Y >0

10

101

m u m m v m

m

−

Hệ phương trình ( )I có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình ( )II có nghiệm

Theo định lí Viet thì u v, là hai nghiệm của phương trình f X( )= X2−mX + =9 0.(*) Như vậy hệ phương trình ( )I có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng −1

Yêu cầu của bài toán được thỏa khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm X X1, 2 thỏa

x y m