ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng.... Phương trình tuyến tính cấp 2hệ số hằng .... 113 b Tính chất tập nghiệm của phương trình tuyến tính cấp k ..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA: HTTTKT&TMĐT

Mục lục

Mục lục 1

CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN 4

A LÝ THUYẾT 4

1 Các khái niệm 4

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số 4

Dạng 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 5

Dạng 3 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 5

Dạng 4 Tính gần đúng 6

2 Cực trị của hàm 2 biến 7

Dạng 5 Tìm cực trị của hàm số 7

Dạng 6 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số 9

B GIẢI BÀI TẬP 10

CHƯƠNG 8: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 31

A LÝ THUYẾT 31

I Tích phân bất định 31

1.1 Các khái niệm cơ bản 31

1.2 Các tính chất 31

1.3 Bảng tích phân căn bản 31

1.4 Phương pháp giải 32

II Tích phân xác định 33

2.1 Các khái niệm cơ bản 33

2.2 Các tính chất 33

2.3 Phương pháp giải 34

III Tích phân suy rộng 34

3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn 34

3.1.1 Các khái niệm 34

3.1.2 Các định lí so sánh 35

3.1.2 Các định lí so sánh 36

3.2 Trường hợp hàm có điểm gián đoạn vô cực 37

B BÀI TẬP 38

CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 67

A LÝ THUYẾT 67

I Một số khái niệm cơ bản 67

1.1 Phương trình vi phân 67

1.2 Cấp của phương trình vi phân 67

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân 67

II Phương trình vi phân cấp 1 68

2.1 Dạng phương trình 68

2.2 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng 68

2.3 Bài toán Cauchy ( Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) 68

III Phương trình vi phân cấp 2 69

3.1 Dạng phương trình 69

3.2 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng 69

B DẠNG BÀI TẬP 71

I Phương trình vi phân cấp 1 71

1.1 Phương trình biến số phân li: 71

1.2 Phương trình đẳng cấp 72

1.3 Phương trình 1 1 1 ' a x b y c y f ax by c            74

1.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 75

1.5 Phương trình Bernoulli 76

II Phương trình vi phân cấp 2 77

2.1 Phương trình giảm cấp được 77

2.1.1 TH vế phải khuyết y, y’: 77

2.1.2 TH vế phải khuyết y : 77

2.1.3 TH vế phải khuyết x: 78

2.2 Phương trình tuyến tính cấp 2(hệ số hằng) 79

C BÀI TẬP 82

CHƯƠNG 10: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 112

A LÝ THUYẾT 112

1 Sai phân 112

a) Lưới và bước lưới 112

b) Sai phân 112

2 Phương trình sai phân 113

a) Định nghĩa 113

b) Nghiệm, nghiệm tổng quát và nghiệm riêng 113

3 Phương trình sai phân tuyến tính 113

a) Định nghĩa 113

b) Tính chất tập nghiệm của phương trình tuyến tính cấp k 114

B DẠNG BÀI TẬP 115

1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 115

1.1 Phương trình hệ số hằng 115

1.2 Phương trình hệ số biến thiên 118

2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 119

C BÀI TẬP 122

CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN

: , ,

o z"xx: (  z' ) 'x x ; z"xy: (  z' ) 'x y ( các đạo hàm riêng của 𝑧′𝑥 )

o z"yx: (  z' ) 'y x ; z"yy: (  z' ) 'y y ( các đạo hàm riêng của 𝑧′𝑦 )

Ghi chú:

• Tương tự, ta cũng có các đạo hàm riêng cấp n tùy ý

• Với “ một số điều kiện “ ta luôn có : 𝑧"𝑥𝑦 = 𝑧"𝑦𝑥 ( Đinh lý Schwarz)

• Giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi chung là cực trị

• Giá trị cực đại hoặc cực tiểu chỉ mang tính địa phương

Định lí 1:Nếu hàm z  z x y ,  đạt cực trị tại điểm M0x y0, 0 và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì x y0, 0 thỏa mãn hệ

− Bài toán tìm cực trị chia làm 2 bước:

Bước 1: Tìm điểm tới hạn;

Bước 2: Xét dấu 2

B AC − Khi 2

Bài toán: Tìm cực trị của hàm: z  f x y,  với ràng buộc: g x y ,   0 (1)

Ghi chú Để đơn giản, ta luôn giả thiết các hàm f , g có đạo hàm riêng đến cấp cần thiết

Phương pháp nhân tử Lagrange:

Kí hiệu Hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) (λ gọi là nhân tử Langrange)

|

Khi đó:

• Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) > 0 thì 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là điểm cực đại của bài toán (1)

• Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) < 0 thì 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là điểm cực tiểu của bài toán (1)

• Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) = 0 thì không có kết luận

Ghi chú

• Có thể thay ( 𝑥0, 𝑦0, λ0) vào A trước khi tính |A|

• Nếu từ ràng buộc g(x, y) = 0 có thể rút ra x (hoặc y), ta thay vào hàm f , đưa

về tìm cực trị hàm 1 biến (không cần dùng phương pháp nhân tử Lagrange)

Dạng 6 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

Ví dụ : Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

𝑥 < 0{−𝑥 + 23 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 − 23

𝑥 > 0 Biểu diễn hình học

𝑥 < 0𝑥

2≤ 𝑦 ≤

−𝑥24𝑥 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 4𝑥 + 1Biểu diễn hình học

Tập xác định là miền gạch chéo kể cả các đường biên trừ điểm O(0;0)

𝑥 ≤ 2

𝑦 ≥ −3Biểu diễn hình học

Tập xác định là miền gạch chéo kể cả các đường biên

Bài 7.2 Tính đạo hàm riêng cấp 1

2√𝑥2+ 𝑦2− 1) (√𝑥2+ 𝑦2 + 𝑥) − ( 2𝑥

2√𝑥2+ 𝑦2+ 1) (√𝑥2+ 𝑦2− 𝑥)(√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥)2

2√𝑥2+ 𝑦2 √𝑥2− 𝑦2

2+ 𝑦22𝑥2

1)  2 23

3

1

y x

2 2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 3 2

2 2 2 2

2

2 2 2 3 2 2 2

2

'

2 2

2 3 '

2 2

2 2 '

3 2 2

2 2 2 '

3 2 2

2 2 2

"

23

33

2

2

y x y

xy x x y x y x y

x

y x

x xy

x y x y

x

y x

xy x y

x

y x x y

x

y x x y

x

x y x

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2 3 2 2 2 2 2 '

2 2

2 2 '

3 2 2

2 2 2

"

2 3

3 2

2 3

.

3

1

y x

y x y

x y x

y x y y x

y

x

y x

y x

y y

y x y x y x y

x

y x y y

x

y y x

z

y y

"

2 2

2 2

2 ln

2 2

2 ln

2 2

x y x

x y

x

x y x

x

z

y xy

 2

2 '

2

"

y x

x y

x

x

z

y yy

x z

22

xx

x x

x

x

xy y

22

yy

y y

y

x y x

z

x y x

Bài 7.4 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần:

1 5 , 050

996 , 0

C   , biết 3  1 , 72 ;  3 , 14

31cos98,22

Ta có:

05,0

;505

,

5

004,0

;1996

,

0

0 0

0 0

y y

x x

x x

 

 

 1;5 ln1 0ln

51.55

;1

4 '

y

x y

x

z x

x

z

z yx

;1697

,

15

02,0

;2702

,

27

0 0

0 0

y y

x x

x x

;274

4

1

27

116

;274

3

14

ln

041627ln

16

;

27

' 4

3

'

' 4

3

' 4

3

'

4 3

x x

x

z y

x

y

z

z y

x x y

10.16

;27

16

;2716

, 1

e x y

x z

C ,  arcsin 

Ta có:

01,0

;001

,

0

02,0

;5,152

,

1

0 0

0 0

y y

x x

x x

6 5

, 1 arcsin

320

;5,11

3

320

;5,11

1

' 2 '

' 2 '

y y

x y

x

z e

x

e

z

z e

72 , 1 2 02 , 0 3

72 , 1 2 6

14

,

3

01 , 0 3

3 2 02 , 0 3

3 2 6 0

; 5 , 1 0

; 5 , 1 0

; 5 , 1

y x z

;63031

02,0

;398

,

2

0 0

0 0

y y

x x

x x

1 6

; 3 cos

2 2

1

sin

2

3 4

1 6

; 3 cos

2 2

1

1

3 6 cos 3 2 arctan

6

;

3

' 2 '

' 2 '

x x

z y x

y z

z y

x x

14,3.4

102,0.72,1.4

13

102,0.34

13

.6

;3

6

;36

;3

x z

z y x

Giải

xy x ye

y

x

xy x ye

x y xe

xy x ye

xy y xe

F

F

y

y x

y x x

y

y x

y x y

x

y x

y

x

x

cos cos

cos

cos cos

2 2

cos 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

x

x

y x

y x y

x

y x

y

x

x

e x

e y y

y

e y

e x e

y

e x F

F

y

5 4

5 4 1

'

'

5 4

5 4 5

4

5 4 '

'

'

4cos

5sin3

5sin3

4cos5

sin3

4cos

'

x y

2 Cho e x  y2 5  0, tính  

2

; 0

'



x y

Giải

1) Cho e xy x y  1 e, tính  

1

; 1

'

x y

Đặt F ;y e xy x y1e

x x xe

yx ye F

F

y xy

e

1ln1.1

1.1.1

1 1

1 1 1 1

'



x y

Đặt F x;y e xy25

y

e F

Bài 7.7 Tính các đạo hàm riêng của z theo x và y:

1 2 3  4  5  6  0

z y x

e x y z

63

52

63

4

3 2

3 2 '

'

'

3 2

3 2 '

z y x

z

y

y

z y x

z y x

F

z

e

e F

xz xze F

F

z

x

z xy xye

yz yze

F

F

z

xyz xyz

z

y

y

xyz xyz

; 1

; 1

'



x z

2 Cho xyzx2y2 z2  2, tính  

1

; 1

; 0

; 0

'



x z

Giải:

1 Cho 3x2 2y2 z2  9, tính  

2

; 1

; 1

; 1

'



x z

Đặt Fx;y;z 3x2 2y2z2 9

x y

x z

y x F

z y x F z

z

x x

32

; 0

; 0

'



x z

Đặt Fx;y;zxyzx2 y2z2  2

x yz z

y x F

z y x F z

z

x x

0 2 1 1

0 2 1 1

z  

4

y x xy

1 2

0 1 2

'

'

y

x y

x z

y x z

; 0

2

1

; 2

1

; 0 0

4 4

0 2 8

3 '

3 '

y y

y

x x

x y

y z

x x z

; 2

; 2

; 2

;0

;2

 4 16

32 8 4

; 2

; 2

; 2

32 8 4

; 2



 z

z CT

 4 16

; 2

32 8 4

; 2

32 8 4

; 2

; 2

; 2

1

0 1

'

'

y

x xe

z

e z

y y

y x

Vậy hàm số đã cho có điểm dừng là M0 1 ; 0

- Ta có:

y yy

y xy

50 0 20

2 '

2 '

y x y

x z

x y z

;

40

y z z

100 5

;

z yy C

3 5

4 5

12

Hàm số có cực trị tại M0 2;5

Vì A = 5 > 0 nên M0 2;5 là điểm cực tiểu và z CT  z 2 ; 5  30

Bài 7.10 Tìm cực trị có điều kiện

0 8

0 2 1

0 2 1 0

0 0

2 2 '

y x y x



y x

8 2 0

2

0 2 2

2 2 0 0

y x y

x

y x

L L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

 Điểm 2 ; 2 là điểm cực tiểu, z CT  z 2 ;  2  4

Vậy hàm số đã cho có cực đại tại (2;2) và z CD  4; có cực tiểu tại 2 ; 2 và z CT 4

0 2

0 3

3

0 3

3 0 0

0

2 2

y x

x y

y x

3 6 1

1 1 0 0

L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

- Tại  1;1;0  A 18<0  Điểm  1;1 là điểm cực tiểu, z CT  z 1 ; 1   1

Vậy hàm số đã cho có cực tiểu tại  1;1 và z CT 1

0 3

3

0 3

3 0 0

0

2 2

y x

x y

y x



y x

y

x L

L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

3 6 1

1 1 0 0

+ Tại (0;0;0) A 6>0  Điểm (0;0) là điểm cực đại, z CD  z 0 ; 0  0

+ Tại  1;1;0  A 6<0  Điểm  1;1 là điểm cực tiểu, z CT  z 1 ; 1   1

Vậy hàm số đã cho có cực đại tại (0;0) và z CD  0; có cực tiểu tại  1;1 và z CT 1

0 7 2

0 2 2 2

0 2 2 2 0

0 0

2 2

y x x

y y

x x



y x

2 2 0 2

0 2

2 2 2

2 2 2 0 0

2 2

y x

L L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

 A <0  Điểm 1;2 là điểm cực tiểu, z CT  z 1 ; 2 2

Vậy hàm số đã cho có cực đại tại (3;-2) và z CD  18; có cực tiểu tại 1;2 và z CT 2

0 8

0 2 2

0 2 1 0

0 0

2 2 '

y x y x



y x

8 2 0

2

0 2 2

2 2 0 0

y x y

x

y x

L L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

A <0  Điểm 1 ; 2 là điểm cực tiểu, z CT  z 1 ;  2  4

Vậy hàm số đã cho có cực đại tại (1;2) và z CD  6; có cực tiểu tại 1 ; 2 và z CT 4

y x

'

'

211

02

02

02

00

0

2 2

2 2

e y x

y x ye xe L

L

L

y x

y x

1

4 2

1 2

1

1 1

0 0

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

y e

xye

xye x

e L

L g

L L g

g g

y x y

x

y x y

x

yy yx y

xy xx x

y x

42

z   với x  y 2

- Ta có: g x;y xy2

- Hàm Lagrange  ; ;   2 2    2

y x e

y x

'

'

211

02

02

02

00

0

2 2

2 2

e y x

y x ye xe L

L

L

y x

y x

0 2

0 4

0 4

0 0

0

3 3

y x y x

12 12

0 1

0 12

1

1 1

0 0

y x y

x L

L g

L L g

g g A

yy yx y

xy xx x

y x

+ Tại 1 ;  1 ; 4 A   24<0  Điểm  1 ; 1 là điểm cực tiểu, z CT  z 1 ;  1  2

Vậy hàm số đã cho có có cực tiểu tại  1 ; 1 và z CT 2

CHƯƠNG 8: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

A LÝ THUYẾT

I Tích phân bất định

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 0: Cho hàm số y f x( )xác định trên khoảng ( ; )a b Hàm F x( )được gọi

là nguyên hàm của f x( ) trên ( ; )a b nếu:

5) sin cos

x x

x C x

2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa Cho hàm số f x  xác định trên  a b; Chia tùy ý  a b; thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: ax0    x1 x i x n b

Kí hiệu   x i x i x i1 và lấy tùy ý c ix i1;x i , i 1,n

(Được gọi là định lí cơ bản của giải tích)

Định lí cơ bản thứ hai của giải tích ( Công thức Newton Leibnitz )

Nếu hàm f x  liên tục trên đoạn  a b; và F x  làm một nguyên hàm của

a f x dxF b F a F x



2 0

= 4 ∫ sin22tdt = ∫ (1 − cos 4t)dt = 2t …

π 2 0

π 2 0

III Tích phân suy rộng

3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn

nhất một trong hai Tích phân suy rộng a

2

t t

dx x

10 10



 là hội tụ Vậy theo Định lý 2  10

3.2 Trường hợp hàm có điểm gián đoạn vô cực

Đinh nghĩa 1 (gián đoạn vô cực tại b ): Cho hàm f x khả tích trên mọi đoạn  a t;với a t b và f x    khi xb

 



x x dx

2 4

sin x

dx cos x 

𝐼2 = ∫ √𝑥

4

1+√𝑥 Đặt a = √𝑥4

= 4

3𝑎3+ 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑎 − 4𝑎 + 𝑐 = 4

34√𝑥3− 4√𝑥4 + 4arctan√𝑥 4 + c

 𝐼 = 𝐼1+ 𝐼2 = 2√𝑥 − 2 ln(√𝑥 + 1) + 43√𝑥4 3− 4√𝑥4 + 4arctan4√𝑥+ 𝑐

x x

c t t

t

t

t

dt dt

t

t

dt t

t dt t

t t dx

3

5

2 2

4

2 6 2

5

3

6

arctan662

5

6

arctan663

6

5

6

16)1(

6

1

116

1

61

4 2

2 4

2 2

2 2

x x

c t

t dt t t

dt t

t dt t t t I

45

44

3

454

44

2 2

2 2

2

3 5 2

4

2 2 2

dx

c x

x

x d x

x

dt x

1 2 2

11

11

d x

x x

d x I

x x

d x

x I

11

111

11

111

tansin cos

Bài 8.2 Tính các tích phân sau:

∫cossin 𝑥5𝑥dx = ∫cos4sin 𝑥𝑥.cos 𝑥dx = ∫(1−sinsin 𝑥2𝑥)2dsin 𝑥

= ∫1−2 sinsin 𝑥2𝑥+sin4𝑥dsin 𝑥 = ln|sin 𝑥| - sin2𝑥+ sin4𝑥

∫sin𝑑𝑥6𝑥 dx = -∫𝑑(cot 𝑥)sin4𝑥 = ∫(1 + cot−1𝑥)2d(cotx)

= - ∫(1 + 2 cot2𝑥 + cot4𝑥)dcotx = - cotx - 2

Đặt cosx = t → dt = -sinxdx

→ − ∫(1−𝑡2)

2

𝑡2 dt = − ∫𝑡4−2𝑡𝑡52+1dt =- ∫(𝑡−1− 2𝑡−3+ 𝑡−5)𝑑𝑡 = 𝑡

−4

4 + 𝑡−2-ln|𝑡| = 1

4 cos4𝑥 + 1

cos2𝑥 - ln|𝑐𝑜𝑠𝑥|

cos2𝑎 da ; t tan a nên a= arc tant

 I = ∫cos2𝑎(1+ tan𝑑𝑎 2𝑎)2 = ∫ cos2𝑎 da =1

2a + 1

2

tan 𝑎 tan2𝑎+1 + C = 1

2 arctant + 1

2

𝑡

𝑡2+1 + C = 1

√(1−sin 2 𝑡) 3 = ∫cos 𝑡 𝑑𝑡√cos6

𝑡 = ∫cos 𝑡 𝑑𝑡cos3𝑡 = ∫cos𝑑𝑡2𝑡 = = tan t + C = √ 𝑥2

𝑥 2 +1+1𝑥2

= ∫(1+

1 𝑥2 )𝑑𝑥 (1−1

𝑥 )2+3 = ∫ 𝑑(𝑥−

1

𝑥 ) (𝑥−1

𝑥 )2+(√3)2 = 1

√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥−

1 𝑥

√3) + 𝑐

= 1

√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥2−1

𝑥√3) + 𝑐

Bài 8.3: Tính các tích phân sau:

(1 )

x

xe

dx x

Y = t sin t − ∫ sin t dt = t sin t + cos t + C

I = −3t2cos t + 6t sin t + 6 cos t + C

I = -3 3√x2cos √x3 + 6 √x3 sin √x3 + 6 cos √x3 + C

= x sin(ln x ) − x cos(ln x) − ∫ sin(ln x )dx

Bài 8.4: Tính các tích phân sau:

1

0 10 ∫ 𝑥√1−𝑥𝑑𝑥 2

√3 2 1 2

2 1

1 0

𝑡 1 𝑒 Khi đó: ∫ 𝑒𝑥

√𝑒 2𝑥 +1= ∫ 𝑑𝑡

√𝑡 2 +1 = ln|𝑡 + √𝑡2+ 1| |𝑒1 = ln (𝑒+√𝑒2+1

1+√2

𝑒 1

1 + 13𝑡 3|

√2 2

2 0

𝑑𝑥 Đặt √1 − 𝑥2 = 𝑡

2

12Khi đó

√3 2

𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡

1−𝑡2

√3 2 1 2

+ 1

2ln |1 + 𝑡||

√3 2 1 2

𝑎√7 0

2sin 2x e2x− ∫ e2xsin 2x dx

π 2

=( x

2cos 2 x−1

2tan x)|

π 4 0

= −√1 − x2(arcsinx)3|

0.5

1

+ 3I2VớiI2 = ∫ (arcsinx)0.50 2dx

= (−1

x √1 + x2+ ln |x + √1 + x2)|√3

1

+ ∫ 1

nsinx.

π 2 0

cosnxdx +1

2∫ cos nx

π 2 0

cosn−1x sin nx sin x dx

cosnxdx +1

2∫ cos nx

π 2 0

cosn−1x sin nx sin x dx

cosn−1x sin nx sin x dx

Mà theo (1), In = 0 + ∫ sinx

π 2

4+ 0 − 0 − 0 =

π4Tương tự, ta có:

I2 = ∫ cos2x

π 2 0

cos 2x dx = π

42

I3 = ∫ cos3x

π 2 0

= 3π − π

3Tương tự A2 = 2π − 2√3

A = 5π − 2√3

Bài 8.6: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng

4 ∫−∞+∞𝑥2+2𝑥+5𝑑𝑥 15 ∫ 𝑑𝑥

√𝑥−𝑥 2

1 0

5 ∫+∞𝑥 𝑒−𝑥2𝑑𝑥

(1+𝑥 2 )

3 2𝑑𝑥

a - ∫ ea0 xdx = ea(1 − a) − 1

I = lim

a→−∞I(a) = lim

a→−∞(ea(1 − a) − 1) = -1 → Tích phân hội tụ

2) ∫0+∞𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥

Xét I(a) = ∫ cos xdx04 → I(a) = sin x |40 = sin a

I = lim

a→+∞I(a) = lim

a→+∞( sin a ) → Không xác định →Tích phân phân kì

= t|arctanb

0 + ln(tan2t + 1)|arc tan b0

a→+∞I(1) = lim

a + π

4 + ln a - ln √1 + a2 + ln √2 = π

+∞

cos2 t = ∫ cos2t

π 2

−π2

π 2

−π2

−π2

1

0

=∫ coscost dt2t+2cost

π 2 0 =∫ cost+2dt

π 2 0Đặt u = tant

dx

b 0

dx

b 0

√2 |0t

=1

√2(arc tant−

1 t

= 1

3ln(1 + t) −1

6B +1

2D Với B= ∫ 2x−1

t 0

b a

t→+∞( −2

√t − 1− 2) = −2

Vậy tích phân suy rộng trên là hội tụ

CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A LÝ THUYẾT

I Một số khái niệm cơ bản

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm

chưa biết ( phải tìm ) và các đạo hàm ( hoặc vi phân ) của hàm số đó

1.2 Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số cần tìm xuất hiện trong phương trình đó

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Định nghĩa: Khi giải phương trình vi phân, được kết quả ở dạng yx C, 1,,C n ( trong đó C1,,C n là các hằng số tùy ý) thì ta gọi nó là nghiệm tổng quát

Khi thay các giá trị cụ thể 0 0

y x C C gọi là một nghiệm riêng

Nghiệm kì dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát dù cho C bất kỳ giá

Phương trình có thể có nghiệm ngoại lai ( nghiệm kì dị ), sinh ra khi xét điều kiện

II Phương trình vi phân cấp 1

2.2 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng

Định nghĩa: Họ hàm số y( , )x C được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp 1 nếu với một hằng số C thì hàm số ( , )x C tương ứng là một nghiệm của phương trình Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho

C một giá trị xác định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình

Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân dưới dạng hàm ẩn