1 Tích của 2 đơn ánh là 1 đơn ánh 2 Tích của 2 toàn ánh là 1 toàn ánh 3 Tích của 2 song ánh là 1 song ánh Chương 2 MA TRẬN-ĐỊNH THỨC-HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phần đầu chương này
Trang 1Chương I KHÁI QUÁT CHUNG VỀ ÁNH XẠ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược về các tính chất của ánh xạ để sử dụng cho các chương sau
1.1 Các định nghĩa
1.1.1 Định nghĩa 1 - Ánh xạ
Cho 2 tập X, Y Một ánh xạ từ tập X tới tập Y là một quy tắc ƒ cho tương ứng mỗi phần tử x∈X với một và chỉ một phần tử y∈Y Khi đó X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích; y gọi là ảnh của x, x gọi là tạo ảnh (nghịch ảnh) của y qua ánh xạ ƒ
Ví dụ
Cho X = {a, b, c, d}; Y = {1, 4} Quy tắc f: a a1;b,c,d a 4là một ánh xạ
1.1.2 Định nghĩa 2 - Ảnh và nghịch ảnh của một tập con
Cho ánh xạ
)x(fy
f A( )={f x x A( ) : ∈ } gọi là ảnh của A qua ánh xạ f
f− 1( )B ={x X f x∈ : ( )∈B} gọi là nghịch ảnh của B qua ánh xạ f
x
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu f(X) = Y, tức là ∀y∈Y,∃x∈X: (x)= y
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó là đơn ánh và toàn ánh Tức là
Trang 2Ánh xạ g không phải là đơn ánh vì g(-1) = g(1) = 0
Ánh xạ g là toàn ánh vì ∀ ∈ − + ∞ ∃ =y [ 1, ), x y+ sao cho g(x) = y 1
Do đó ánh xạ g không phải là toàn ánh
Trang 31) Tích của 2 đơn ánh là 1 đơn ánh
2) Tích của 2 toàn ánh là 1 toàn ánh
3) Tích của 2 song ánh là 1 song ánh
Chương 2
MA TRẬN-ĐỊNH THỨC-HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Phần đầu chương này được dành để trình bày các khái niệm, các dạng ma trận cơ bản, cũng như các phép toán và những tính chất cơ bản thường gặp về ma trận Các khái niệm, tính chất, cách tính về định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận cũng được đưa ra Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát được trình bày ở cuối chương
2 1
2 22
21
1 12
11
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
n
n
n
a a
a a
a a
a
a a
::::
2 1
2 22
21
1 12
11
Trang 4
Các phần tử a ij ∀i+ j =n+1 nằm trên đường chéo phụ của A
, ma trận không cấp n là ma trận chéo đặc biệt
3 Ma trận đơn vị: là ma trận chéo mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều
Trang 56 Ma trận bậc thang: là ma trận thỏa mãn 2 điều sau
* Các hàng không (có các phần tử đều bằng 0) nằm phía duới các hàng
* Hai ma trận cùng cỡ hay cùng cấp được gọi là bằng nhau nếu các phần
tử tương ứng đều bằng nhau
Trang 62 Nhân 1 số với 1 ma trận
a Định nghĩa
Cho ma trận A = (aij)mxn và 1 số k Tích của số k và ma trận A là một ma trận, ký hiệu
kA, có mỗi số hạng bằng tích của số k với số hạng tương ứng của ma trận A
3 , 3 0
5
4 2
1
B
A ⇒ AB=[− 3 15]
b Tính chất
* AB chỉ được khi số cột của A bằng số hàng của B
* Phép nhân ma trận không có tính giao hoán
* (AB)C = A(BC) (Tính kết hợp)
* (A + B)C = AC + BC
* C(A+B) = CA + CB (Tính phân bố của phép nh ân đối với phép cộng)
* k(AB) = (kA)B = A(kB) ∀k ∈ R
4 Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
* Nhân các phần tử của hàng (cột ) r với một số λ khác 0
r
λ ( hayλC r →C S)
Trang 7r s
L ↔ L (hay C r ↔C S)
* Cộngλlần hàng (cột) r vào hàng (cột) s
S S
) (
) 3 ( ) 2 ( )
1
n i
n i
σ σ
σ σ
n i
3
32
1
σ là phép thế của S3
Chú ý
)( ,),2
5 4 3 2 1 ) 5 , 2 (
Trang 8a Nghịch thế
Giả sử σ là phép thế của Xn Nếu với i,j∈ ,X i< j mà σ(i)>σ(j)thì cặp (σ(i),σ(j )
được gọi là 1 nghịch thế gây bởi σ ( hay là của σ)
5 4 3 2 1
j i
j σ σ tuỳ theo số nghịch thế là số
chẵn (hay số lẻ) trong đó { }i, chạy khắp tập hợp các tập con gồm 2 phần tử của X j n
c Định nghĩa dấu của phép thế
Dấu của phép thế σ, ký hiệu sgn σ, được tính theo công thức:
, ( ) ( )
sgn
σσσ
d Phép thế chẳn, phép thế lẻ
Phép thế chẵn là phép thế có dấu bằng 1( nghĩa là gây ra 1 số chẵn nghịch thế )
Phép thế lẻ là phép thế có dấu bằng –1 ( nghĩa là gây ra 1 số lẻ nghịch thế)
e Mệnh đề
* Mọi phép chuyển trí đều là phép thế lẻ
* Dấu của tích 2 phép thế của X n bằng tích các dấu của hai phép thế đó
i
n i
i
1
1
1
−
+
−+
−
=
n j
i j i
j i
n j
j j
i i i
11
11
1
11
11
Trang 9τστσ
σσ
σσ
τστσ
σ
σσ
σ
τστσ
σ
σσ
στσ
))(
())(
(
)()(
)()()
)(
())(
(
)()()
()
(
))(
())(
(
)()()
()()
)(
())(
, ( )
,
(
) , ( )
j i
j i
j i j
i
j i
j i
j i
j i
j i
j i
j i j
i
j i
j
i
j i j
i j
i
j i j
4321
3 2 1
3 33
31 31
2 23
22 21
1 13
12 11
sgn
n n
n n n
a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
N
σ σ
Tổng này gồm n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của ma trận A mà trong đó không có 2 phần tử nào nằm trên cùng 1 hàng hay 1 cột Do số phép thế chẵn và lẻ của Sn
bằng nhau nên detA có n!/2 số hạng mang dấu cộng (+) và n!/2 số hạng mang dấu trừ (-)
2 1
; 2 1
2 1
2 1
S
12 21 22 11 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 2 )
2 ( 1 ) 1 ( 1 1 22
21
12
11
2 2 1
Trang 1032 23 11 33 21 12 31 22 13 32
21
13
31 23 12 33 22 11 ) ( ) 3 ( 3 ) 2 2 ) 1 ( 1 33
32
31
23 22
21
13 12
a
a
a a a a a a a
a a a a
a
a
a a
a
a a
a
n n S
−
−
−+
++
31
23 22
21
13 12
11
−
−
−+
++
=
a a
a
a a
a
a a
a
Hay một sơ đồ khác
+ + +
32 31
22 21
12 11
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a a
a a a a
a
a a
a
a a
a
- - -
c Ví dụ
0225225
487210596844598
7
65
4
32
1
)
2
24284)8(3)1(41
=
=+
n
n n
nn n
n
n
n t
a a
a b
b b
b b
b
b b
b
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
12
1 21
11
sgn
sgn
.
.
Trang 11ij a
b = i ∀i, j=1,n; τ(k)=i k với k =1,n
A a
a a
a a
a a
a a
A
n
n n
n N
i i
t
det
sgn
sgn
sgn det
1
1 1
1
1 1
1 1
2 1 2 1 1 1
) ( )
2 ( 2 ) 1 ( 1 1
) ( )
2 ( 2 ) 1 ( 1 )
( )
( ) (
i in
i
Trang 12Gọi D và D’lần lượt là các định thức ở vế trái và vế phải
/
1 (1) 2 ( 2) ( ) ( )
1 (1) 2 ( 2) ( ) ( )
sgnsgn
i i n n S
n n
Trang 13sgn
n h h k k n n S D aν a ν aν aν aν D ν ν ∈ = − ∑ = − 6 Tính chất 6 Nếu một định thức có 2 hàng giống nhau thì bằng 0 Chứng minh: Suy từ tính chất 5 7 Tính chất 7 Nếu một định thức có 2 hàng tỷ lệ (Các phần tử tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau) thì nó bằng 0 Chứng minh: Suy từ tính chất 3 và tính chất 4 8 Tính chất 8 Nếu cộng λ lần hàng r vào hàng s thì định thức không thay đổi (r ≠ s), nghĩa là .
.
.
.
S r r s L L L L λ + = Chứng minh Suy từ tính chất 2 và tính chất 7 9 Tính chất 9 Nếu 1 hàng nào đó của định thức là tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại thì định thức đó bằng 0, nghĩa là .
0
Chứng minh Suy từ tính chất 2 và tính chất 7
Ví dụ
Không tính định thức, hãy chứng tỏ
5 5 2
7 2 5
4 0 2
=
D chia hết cho 17
Giải
17 15
5 2
31 2 5
12 0 2 17 255 5 2
527 2 5
204 0 2 10
100
5
5
2
7
2
5
4
0
2
3 3 2
`
Bài tập
Trang 143 3
3
a c c b b a c b a c b
a
c b
c b a
c b a
c b a b
a a c c
b
b a a c c
b
b a a c c
b
= + +
+
+ +
+
+ +
1
1
n n n
n
n n
x x
x
x x
x
x x
x
)(
)
) (
(1) (
1
3 3 3
2 2
z y
x
z y
b)
(a b c ab bc ca)(a b)(b c)(c a)
c c
b b
a a
−
−
−+
++++
4 4 4
c)
(a b c)(a b)(b c)(c a)
c b
a
c b
11
1
3 3
3
Trang 15d)
c c
b b
a a
sincos
1
sincos
1
sincos
1
2
sin 2
sin 2 sin
4 a−b b−c c−a
=
6) Không tính định thức, chứng tỏ rằng định thức
2 3 1
2 5 2
0 2 1
Dij = detMij được gọi là định thức con ứng với phần tử aij
Cij = (-1)i+jDij được gọi là phụ đại số ứng với phần tử aij
654
321
M
6 )
1 ( ,
6 2 7 8 1 8 7
2 1 ,
8 7
2 1
23 3 2 23
i I
a A
Trang 16n n
D
S S
nn nn j i nn
nn j i j
i j
i j
n i n
C a D a
D a
D a C
a D
D D D
+ +
+ +
−
− +
−
)1()
1
(
)1()
1()
1()
1()
Trang 17=
.a i1 a i2 a ij a in
D
n
nn nj
n n
in ij
i i
n j
D D
D
a a
a a
a a
a a
a a
a a
+ + +
=
= +
+ + + + + + + + +
+ + + + + +
0 0
0 0
0
0
0 0
0
2 1
1 1
12 11
(Các định thức Di có dạng ở bước 2)
in in ij
ij I
i I
n n
a a a a
a
a a
a a
a a
00
0
0
.0
33 22 11 1
1 , 1
2 22
1 11
)(
(
11
1
2 2
2
a c c b b a c
b
a
c b
Giải
Trang 18)(
())(
)(
(
00
10
1))(
(1
0
10
1))(
(
001
11
111
1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
a c c b b a b
c a c a
b
b c
a b
a a a c a b a c
a b
a a a c a
b
a c a c
a b a b
a a
c c
b b
a a
c
b
a
c b
i i khi
i i khi A C
a C
j j khi
j j khi A C
a C
a
C
2.3 Ma trận nghịch đảo
Trong các phần dưới đây chúng ta sử dụng hai kết quả (không chứng minh) sau:
1) detAB = det detA B (Định thức của ma trận tích bằng tích 2 định thức thành phần)
B A
0 1 4 3
2 1 2 / 1 2 / 3
1 2 ,
1 0
0 1 2 / 1 2 / 3
1 2 4
3
2
1
2 / 1 2 / 3
1 2 ,
4
3
2
1
3 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Giả sử B và C đều là các ma trận nghịch đảo của A, ta cần chứng minh B= C
Thật vậy, ta có
Trang 19CI AB
A A
A C
C C
C C
C
C C
C
a a
a
a a
a
a a
a A
C
A
A
nn n
n
n n
nn n
0
0
.
.
det 0
0
0 det
det 1
.
.
.
det
1 )
det
1
(
2 1
2 22
12
1 21
11
2 1
2 22
21
1 12
11
I A
A A
A a
a a
a a
a
a a
a
C C
C
C C
C
C C
C A A
C
A
nn n
n
n n
nn n
0
0
.
.
det 0
0
0 det
det 1
.
.
.
.
det
1 ).
det
1
(
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
12
1 21
3 5 2
3 2 1
A
Giải
Trang 203 1 0
3 2 1 5 2 0
3 1 0
3 2 1 8 0 1
3 5 2
3 2 1
1 5 2
2 1 ) 1 ( ,
2 0 1
2 1 ) 1 ( ,
5 0 1
5 2 )
1
(
3 3 2
3 1 ) 1 ( ,
5 8 1
3 1 ) 1 ( ,
13 8 1
3 2 )
1
(
9 3 5
3 2 ) 1 ( ,
16 8 0
3 2 ) 1 ( ,
40 8 0
3 5 )
1
(
3 3 33
3 2 23
3 1
13
2 3 32
2 2 22
2 1
12
1 3 31
1 2 21
1 1
+
+ +
+
+ +
+
C C
C
C C
C
C C
3 5 13
9 16 40 1
2 5
3 5 13
9 16 40
0
0
01
0
00.01
Nhân F(r,λ)bên trái (phải) ma trận cùng cấpA ⇔ Nhân hàng (cột)rcủa A với λ
*P(r,s): (r ≠ s) suy từ ma trận đơn vị cùng cấp bằng cách hoán vị 2 cột r v às
00.10
0.1.0
01.00
00001
Trang 21010
00
10
00
01
- Nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho BA=I thì A khả đảo và B=A -1
- Nếu tồn tại ma trận C cấp n sao cho BA=I thì A khả đảo và C=A -1
Chứng minh:
Nếu tồn tại ma trận B cấp n sao cho BA=I thì A khả đảo và B=A -1
BA=I => det BA = 1 => det A≠0 => A khả đảo
Hơn nữa, ta có
1 1
1 1
1 1 1
AA
B
A IA A
3 5 2
3 2 1
A
Giải:
Trang 223 5 13
9 16 40
2 1 0
3 2 1
1 2 1
1 1 2
A
2.4 Hạng của một ma trận
2.4.1 Định nghĩa
Trang 23Giả sử A=[a ij]m×n , nếu trích từ A, k hàng và k cột nào đó thì ta được 1 ma trận con cấp
k của A và định thức của nó được gọi là định thức con cấp k của A
6 5 4
3 2 1
3 1 , 5 4
2
* cấp 3 :
9 8 7
6 5 4
3 2 1
D r
038554
21,
98
7
65
4
32
Nếu dùng định nghĩa tìm hạng ma trận, nói chung ta phải liệt kê một số khá lớn các
định thức con của nó, Điều này là rất phức tạp khi n khá lớn Phương pháp sau đây giúp ta
tránh được điều này, ngoài ra nó còn giúp ta tìm được hạng mà không phỉa tính một định
Trang 242.4.2 Phương pháp tìm hạng nhờ các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
1 Cơ sở của phương pháp
Dựa vào 2 nhận xét sau
- Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận đó
- Hạng của 1 ma trận bậc thang bằng đúng số hàng khác không của nó
2 Nội dung
Để tìm hạng của 1 ma trận A cho trước, trước hết ta dùng các phép biến đổi sơ cấp
hàng và cột đưa A về ma trận bậc thang A’ và số hàng khác không của A’ chính là hạng
7
6 5
4
3 2
1
A
Giải
2 )
(
0 0 0
6 3 0
3 2 1 2
12 6 0
6 3 0
3 2 1 7
4 9 8
7
6 5
4
3 2
1
3 3 2 3
3 1
1 2
−
→ +
L L
L L L A
1
5 1
2
2 1 1
−
→ +
−
→ +
−
→ +
3 2
) ( 3
9 3 0
0
2 1 2 1
0
1 2
1
10 5 1 0
2 1 2 1 0
1 2
1 2
10 6 1 1
1 5
2
1 2 1 1
6 10 1
5 1
2
2 1 1
3 3 2 3
3 1
2 2 1 4
2
m khi
m khi A
m m
m m
m
L L L m
m m
m L
L L
L L L m
m C
C m
m A
Trang 251 1
1
1 1
++
=+
++
=+
++
n nn
nn n
n n
n
n n
n n
b x
a x
a
x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2 1
1
2 2
2 2
22 1
21
1 1
1 12
12 1
gọi là ma trận vế phải (cột vế phải)
(I) ⇔ Ax=b Dạng ma trận của hệ (I)
* b ≠ 0 Hệ (I) được gọi là hệ không thuần nhất
* b = 0 Hệ (I) được gọi là hệ thuần nhất
Trang 26det
10
det ≠ ⇒∃ − 1 =
b A x b A Ix b A x A A b A Ax A b
+ + +
+ + +
n
n n
n n
n nn n
n
n
n t
C b C
b C b
C b C
b C b
b
b b
C C
C
C C
C
C C
C A b
C A x
:
: :
det
1 det
1 :
2 1 1 1
2 21
2 12 1
1 21
2 11 1 2
1
2 1
2 22
12
1 21
11 2
1
n j A
A C
b C
b C b A
det
det)
(det
1
2 2 1
/ 1
+
−
=
− +
= +
+
7 7
11
4
2 2
3
4 3
4
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
0 29 29 29
11 10 1 29 0 29
2 1 3
11 0 10 11
4 7 11
4
2 1
3
3 4
2
3 3 2
1 1
−
→ +
−
−
=
L L L
L L L D
29 29 29
11 12 1 29 0 29
2 1 2
11 0 12 11
4 7 11
7
2 1 2
3 4 4
3 3 2
1 1 2
→ +
−
→ +
L L L D
29 ) 8 21 ( 7 4
2 3 1 7 0 4
2 0 3
3 1 2 7
7
4
2 2
3
3 4
2
2 2 3
2 = − − −C +C →C − = − − = − + = −
D
12 10 12
0 10 4
4 4
2
−
−
→ +
Trang 27= +
+ +
n n
n
n n
n n
b x
a
b x
a x
a
b x
a x
a x
a
1
2 2
2 22
1 1
2 12 1
11
: :
:
Giải từ dưới lên
- Phương trình cuối cho xn
- Phương trình liền trên cho xn-1…
- Phương trình đầu cho x1
+
−
=
− +
= +
+
7 7
11
4
2 2
3
4 3
4
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
4
2 2 1 3
4 3 4 2
2 2 1 3
6 5 3 1
3 3 1
2 2 1
4
3
L L L
L L L
Trang 2816 13 10
0
6 5 3
3 1 1 3 0
16 13 10 0
6 5 3 1
L L L
0
19 10
1
0
6 5 3
19 10 1 0
6 5 3 1
1 1 2
x x x
2 Nghiệm tầm thường và không tầm thường
Hệ (II) luôn luôn có nghiệm
1
0 0 :
:
2
1
mà ∃x j≠0 với 1≤ j≤nđược gọi là nghiệm không tầm thường
3 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường
Trang 290 0 0 0 0 0 0 0
: 0 0 0 0 : : :
0
0 0
:
: : : : 0 :
0
0
0
/ /
1 /
/ 2
/ 1 2
/ 2
/ 22
/ 1
/ 1 1
/ 1
/ 12
/ 11
/
rn rr
rr
n r
r
n r
r
a a
a
a a
a a
a a
a a
⇒ A a a a nn A ( trái với giả thiết)
* r < ⇒n Hệ thuần nhất sau có số phương trình ít hơn số ẩn nên có vô số nghiệm, trong đó chỉ có 1 nghiệm tầm thường, còn lại là vô số nghiệm không tầm thường
Các nghiệm được tìm như sau
Các ẩn x r+1,x r+2, ,x n(ứng với hệ cuối cùng A/x=0) mang giá trị tùy ý
Các ẩn x x1, , ,2 x r(ứng với hệ cuối cùng A/x=0) được giải từ hệ tam giác trên
−
=+
+
=+
−
05
02
02
3 2
1
3 2
1
3 2
1
ax x
x
x x
x
x x
0
2 1 1
3 3 0 0 1
5
2 1 1
1 1 2
4 12
3 0 18 ) 10 ( 3 0
10 6
3 3
Trang 302 5
=+
+
=
−+
25
4
3
52
2
43
2
)
1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x
x
x x x
+
=+
+
=+
+
93
33
13
z y
x
z y
x
z y
=++
−
=+
19
3
27
2
12
y x
z y
x
y x
2.6 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
2.6.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
++
=+
++
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2
2 2
22 1
21
1 1
1 12
12 1
11
(I)
Trang 31gọi là ma trận vế phải (cột vế phải)
(I) ⇔ Ax=b Dạng ma trận của hệ (I)
* b ≠ 0 Hệ (I) được gọi là hệ không thuần nhất
* b = 0 Hệ (I) được gọi là hệ thuần nhất
- Hệ không xác định; Có vô số nghiệm
- Hệ không tương thích; Hệ vô nghiệm
Trang 32* Nếu r < n;ρ(A) = r⇒∃định thức con D r ≠ 0, định thức này được gọi là định thức
con chính của hệ Hệ tương đương với hệ con chỉ gồm r phương trình chứa định thức D r
này r ẩn có các hệ số trong định thức con chính gọi là các ẩn chính của hệ, các ẩn còn lại
là các ẩn phụ Trong nghiệm tổng quát các ẩn phụ mang giá trị tuỳ ý, còn các ẩn chính tính theo các ẩn phụ và đươc giải nhờ hệ Cramer có định thức làD r ≠ 0 nói trên
Nếu ta đưa hệ về dạng bậc thang như trên thì nên chọnD r ≠ 0 là định thức tam giác
trên tạo bởi r hàng đầu và r cột đầu của hệ bậc thang
++
⇔
+ +
+ +
+ +
/ / /
1
/ 1 /
/ /
/ / 2
/ 1
/ 1 2
/ 2 /
/ 2
/ 2
/ 22
/ / 1
/ 1
/ 1 1
/ 1 /
/ 1
/ 2
/ 12
/ 1
/ 11
rr r rr
rr
n n r
r r
r x
n n r
r r
r
x a x
a b x
a
x a x
a b x
a x
a
x a x
a b x
a x
a x a
Nghiệm tổng quát của hệ là
Cramer x
Cramer x
R t x
R t x
R t x
r
n n
* Nếu r = n; Hệ (I) là hệ Cramer có duy nhất nghiệm
Tóm lại, hệ luôn luôn tương thích
2 Các ví dụ
Trang 33A A
ρρ
1 0 1 7
2
2 1 2 3 1
−
7 2 5 13 0
5 2 5 13 0
2 1 2 3 1
3 3 1
41 2 2
2
L L L L L L
Trang 345 2 5 13
0
2 1 2 3
`
1
1 1 1
1 1 1
m m
`
1 1 1
1 1
1
m m
−
1
3 3 1
2 2 1
L L mL
L L L
m
m m
m
1 1
1 0
0 1
1 0
1 1
m
m m
m
L L
L
1 2 0
0
0 1
1 0
1 1
1
2
3 3
1 ) 1 (
−
m m y
2
y m
⇒ =
1 2 2
1 1
+
= +
− +
−
=
m m
m m
= +
* P = 0 ⇔ m= 1 hay m= − 2
Khi m= 1
⎧x 1= −s−t
3)(2
)
(A = < ρ A =
ρ