ðịnh nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay ñổi khoảng cách giữa 2 ñiểm bất kì.. - Biến ñoạn thẳng thành ñoạn thẳng bằng nó.. PHÉP DỜI HÌNH : là phép biến hình bảo toàn k
Trang 1I Tóm tắt lý thuyết :
1 Phép dời hình :
a ðịnh nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay ñổi khoảng cách giữa 2 ñiểm bất kì
b Tính chất :
- Biến 3 ñiểm thẳng hàng thành 3 ñiểm thẳng hàng
- Biến ñường thẳng thành ñường thẳng
- Biến tia thành tia
- Biến ñoạn thẳng thành ñoạn thẳng bằng nó
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó
- Biến ñường tròn thành ñường tròn có cùng bán kính
- Biến góc thành góc bằng nó
c Bài toán thường gặp :
Chứng minh f là một phép biến hình
Phương pháp :
Lấy 2 ñiểm M N, bất kì Giả sử
, , , ,
f N x y N x y
→ Ta chứng minh MN =M N' '
A PHÉP DỜI HÌNH : (là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai ñiểm bất kỳ)
1 Phép tịnh tiến
'
v
=
- Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua ( ; )
phép tịnh tiến theo ( ; )v a b
Khi ñó: '
'
x x a
y y b
= +
= +
2 Phép ñối xứng trục Ox
ð Ox(M)=M' Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Ox Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép ñối ( ; ) xứng trục Ox
Khi ñó: '
'
x x
=
= −
3 Phép ñối xứng trục Oy
Oy
Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Oy
Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép ( ; )
ñối xứng trục Oy Khi ñó: '
'
y y
= −
=
4 Phép ñối xứng trục d ax by: + + =c 0 bất kỳ B1: Viết phương trình ñường thẳng ∆ñi qua ñiểm M
và vuông góc với ñường thẳng d:
0
b x x a y y
bx ay bx ay
⇔ − + + − =
B2: Giải hệ phương trình sau ñể tìm giao ñiểm
K x y( ; )của d và ∆:
Chuyên ñề : Phép Biến Hình
Trang 2( )
0 0
ax by c
B3: Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép ñối ( ; ) xứng trục d
Khi ñó: ' 2
' 2
k
k
ñược M’
5 Phép ñối xứng tâm O
O
Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua gốc tọa ñộ O
Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép ( ; )
ñối xứng tâm O
Khi ñó: '
'
= −
= −
6 Phép ñối xứng tâm H x( H ; y H)bất kỳ
H
ð M =M Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua tâm H Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép ñối ( ; ) xứng tâm H
Khi ñó: ' 2
' 2
H
H
7 Phép quay tâm O, góc α
( , )( ) ' '
( ' ; )
O
α
α
=
=
=
Xây dựng biểu thức tọa ñộ như sau :
+ ðặt OM =r Góc lượng giác (Ox OM, )=α
và (Ox OM, ')= +α ϕ
+ Ta có
⇔ ' cos .sin
8 Phép quay tâm I, góc α
''
→
= − +
, ,
'
o o
o
Q I
I x y
o
→
, ,
''
o o
o
Q I
I x y
o
− − = − + −
→
− = − − + −
Trang 3B PHÉP ðỒNG DẠNG :
9 Phép vị tự tâm O (tỉ số k)
( , )( ) '
O k
OM k OM
=
⇔=
Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép vị tự ( ; )
tâm O
Khi ñó: ' .
x k x
y k y
=
=
10 Phép vị tự tâm H x( H,y H)bất kỳ (tỉ số k)
( , )( ) '
H k
HM k HM
=
⇔=
Gọi M x'( ' ; ')y là ảnh của M x y qua phép vị ( ; )
tự tâm H x( H,y H)
' ( )
11 Phép ñồng dạng (tỉ số k >0)
- Phép dời hình là phép ñồng dạng tỉ số 1
- Phép vị tự tỉ số k là phép ñồng dạng tỉ số k
* Chú ý:
- Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến
hình này thành hình kia
- Hai hình ñồng dạng với nhau khi có phép ñồng dạng biến hình này thành hình kia
II Bài Tập :
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñiểm ( 2;1)A − và ñường thẳng d: x+3y− =1 0
1 Hãy tìm ảnh của A và d qua phép tịnh tiến theo vectơ v=(3; 2)−
2 Tìm ñiểm B sao cho A là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vectơ u = −( 5; 7)
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình 2 2
(x−3) + +(y 1) =8 Hãy
viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số 1
2
−
Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng về phía bên ngoài tam giác ñó các hình vuông ABEF và ACIK Gọi
M là trung ñiểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và 1
2
AM = FK
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho phép tịnh tiến T theo vectơ u(−3;1) và ñiểm M(1;1)
1 Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến T
2 Viết phương trình ảnh của ðường thẳng ∆: 3x−5y+ =1 0 qua phép tịnh tiến T
3 Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O góc α= + 900, và ảnh của ñường thẳng
∆: 3x−5y+ =1 0
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1
1 Tìm ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3
2 Tìm ảnh ñường tròn tâm I bán kính R = 1 qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3
3.Tìm ảnh của I qua phép ñồng dạng là kết quả của phép vị tự tâm O tỉ số k = 3 và phép tịnh
Trang 4tiến u(0; 3− )
4 Tìm ảnh của ñường tròn tâm I bán kính R=1 qua phép ñồng dạng là kết quả của phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3 và phép tịnh tiến u(0; 3− )
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f : M x, y( )→M ' x 3; y 1( + + ) Chứng minh rằng f
là một phép dời hình ?
Bài 7: Cho hình vuông ABCD, I là trung ñiểm của AB, O là giao ñiểm của AC và BD Hãy tìm ảnh
của tam giác OAI
1 Qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1
2
v= BC
2 Qua phép quay tâm O góc 900
3 Qua phép vị tự tâm A tỉ số k = 2
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy Cho ñiểm M(-1;-2), ñường thẳng d: 2x – 3y – 4 = 0 và ñường
tròn (C’): ( x − 2)2 + + ( y 1)2 = 9
1 Tìm tọa ñộ ñiểm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ (3; 4)v
2 Viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo véc tơ (3; 4)v
3 Viết phương trình ñường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng ( )∆ : x 2y 5 0 + − = Tìm ñường thẳng ( )d , biết rằng qua phép tịnh tiến theo vectơ ( − )
u 3; 1 thì ( )d biến thành ( )∆
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng ( )d có phương trình 3x 2y 1 0 − − = Tìm ảnh của ñường thẳng ( )d qua phép ñối xứng tâm I(− 1; 2)
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm I(1,2) và ñường tròn tâm I, bán kính 2 Viết phương trình
ñường tròn là ảnh của ñường tròn trên qua phép ñồng dạng có ñược bằng cách thực hiện liên tiếp :
1 Phép quay tâm O, góc 0
45 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2
2 Phép ñối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O tỉ số 2
3 Phép ñối xứng tâm O và phép vị tự tâm O tỉ số -2
Bài 12: Trong mp Oxy cho phép biến hình F biến M x y thành ( ; ) M x y thỏa '( ;' ')
' '
x x y
y x y
= − +
= + +
1 Tìm ảnh của (2; 3)A − qua F
2 Tìm I sao cho F(I) = I Chứng minh F không phải là phép dời hình
3 Tìm ảnh của ( ) : x + 3y 2 = 0 qua phép biến hình F ∆ −
Trang 5Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn 2 2
( ) :C x +y +4x−2y− =11 0
1 Viết phương trình ảnh của ( )C qua phép vị tự V(O, 2−)
2 Cho ( ) (2 )2
( ') :C x−1 + y+3 =4 Xác ñịnh tâm vị tự ngoài của phép vị tự biến ( )C thành
( ')C
Bài 14: Cho hai ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, lần lượt có bán kính là R = 2 và
R’ = 5 Xác ñịnh tâm và tỉ số vị tự của các phép vị tự biến (O) thành (O’)
Bài 15: Trong mp với hệ trục toạ ñộ Oxy cho →v = −( 2, 3) và hai ñiểm A(4;-2), B( 1;3) và ñiểm D( 2;-1)
1 Xác ñịnh toạ ñộ của A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay α =600
2 Xác ñịnh toạ ñộ của C sao cho B là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo
→
v
3 Xác ñịnh ảnh của ñiểm D qua phép dời hình có ñược bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay
tâm O góc quay 600 và phép tịnh tiến theo →v
================= HẾT =================