Tìm phương trình đường thẳng d1 và phương trình đường tròn C1 sao cho d và C là ảnh của d1 và C1 qua phép tịnh tiến vectơ vur... Có vô số vectơ vur biến đường thẳng d thành d’ song song
Trang 11 PHÉP TỊNH TIẾN:
Định nghĩa:
Cho đểm M(x;y) và v = (a;b)ur Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến vectơ v
ur
T (M) = M'v
y' = y + b y = y'- b
uur
Từ đó: Để xác định ‘‘NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn
(C) qua phép tịnh tiến vectơ vur Ta thay x bằng x – a và thay y bằng y – b vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ vur
VD1: Tìm ảnh của A(3;-2), đường thẳng (d): 2x – 3y + 9 = 0 và đường tròn (C):
x -5) + (y +1) = 4
( qua phép tịnh tiến v = (4;-7)ur .
Giải: + T (A) = A'v ⇒x' = x + a = 3+ 4 = 7y' = y + b = -2-7 = -9⇒A'(7;-9)
uur
+ T (d) = (d')v ⇒x' = x + ay' = y + b⇒x = x'-ay = y'- b
uur
⇒ phương trình (d’): 2(x – 4) – 3(y + 7) + 9 = 0 ⇔ 2x – 3y – 20 = 0
+ T (C) = (C')v ⇒x' = x + ay' = y + b⇒x = x'-ay = y'- b
uur
⇒ phương trình (C’): (x - 4-5) + (y + 7 +1) = 42 2 ⇔(x -9) + (y +8) = 42 2
Trong trường hợp tìm phương trình đường thẳng (d1) và phương trình đường tròn (C1) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d1) và (C1) qua phép tịnh tiến vectơ vur Để xác
định ”NHANH” ta thay x và y bằng x + a và y + b vào phương trình của (d) và (C)
rồi rút gọn ta được phương trình của (d1) và (C1) theo yêu cầu bài toán
VD2: Cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 9 = 0 và đường tròn (C): (x -5) + (y +1) = 42 2 .
Tìm phương trình đường thẳng (d1) và phương trình đường tròn (C1) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d1) và (C1) qua phép tịnh tiến vectơ vur
Giải: +
x = x + a1
T (d ) = (d)v 1 y = y + b
1
⇒
uur
Trang 2+
x = x + a1
T (C ) = (C)v 1 y = y + b
1
⇒
uur
⇒ phương trình (C’): (x + 4-5) + (y -7 +1) = 42 2 ⇔(x -1) + (y -6) = 42 2
Lưu ý:
1 Có vô số vectơ vur biến đường thẳng (d) thành (d’) song song với nhau Cách xác định một vectơ vur, ta lấy 1 điểm A bất kỳ trên (d) và B trên (d’) Khi đó vectơ
v = ABuuuur
ur
2 Có vô số vectơ vur biến đường thẳng (d) thành chính nó Trong đó có vectơ 0r
và vô số vectơ là các vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Ảnh của điểm M(3;-2) qua phép tịnh tiến vectơ v = (2;-5)ur là:
Câu 2: Ảnh của đường thẳng (d): 3x – 4y + 1 = 0 qua phép tịnh tiến vectơ v = (1;2)ur
là:
A –3x + 4y + 6 = 0 B 3x – 4y – 4 = 0
C 3x – 4y + 6 = 0 D 3x – 4y + 12 = 0
Câu 3: Ảnh của đường tròn (C): (x - 2) + (y +1) =102 2 qua phép tịnh tiến vectơ
v = (-2;-1)
ur
là:
C (x - 4) + y =102 2 D x + y =102 2
Câu 4: Cho hai điểm A(3;-2) và B(1;0) Qua phép tịnh tiến vur có tọa độ bao nhiêu biến B thành A:
A v = (2;-2)ur B v = (-2;2)ur
C v = (-2;0)ur D v = (2;0)ur
Câu 5: Cho hai đường tròn (C): (x - 2) + (y +1) =162 2 và đường tròn (C’):
(x -5) + (y +5) =16 Qua phép tịnh tiến vectơ vur có tọa độ bao nhiêu biến (C) thành (C’):
Trang 3A v = (3;4)ur B v = (-3;4)ur
C v = (-3;-4)ur D v = (3;-4)ur
2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
2.1 Phép đối xứng trục Ox:
Định nghĩa:
Cho đểm M(x;y) Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox:
Công thức: ĐOx(M) = M' x' = xy' = -y x = x'y = -y'
Từ đó: Để xác định ”NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn
(C) qua phép đối xứng trục Ox Ta thay “y” bằng “- y” vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox
VD3: Tìm ảnh của A(3;-2), đường thẳng (d): 3x – 5y + 8 = 0 và đường tròn (C):
(x +3) + (y - 2) = 9 qua phép đối xứng trục Ox.
Giải: + ĐOx(A) = A'⇒x' = x = 3y' = -y = 2⇒A'(3;2)
+ ĐOx(d) = (d') x' = xy' = -y x = x'y = -y'
⇒ phương trình (d’): 3x – 5(-y) + 8 = 0 ⇔ 3x + 5y + 8 = 0
+ ĐOx(C) = (C') x' = xy' = -y x = x'y = -y'
⇒ phương trình (C’): (x + 3) + (-y - 2) = 92 2 ⇔(x + 3) + (y + 2) = 92 2
Bài tập áp dụng:
Câu 6: Ảnh của điểm M(7;-2) qua phép đối xứng trục Ox:
Câu 7: Ảnh của đường thẳng (d): 4x – 9y + 1 = 0 qua phép đối xứng trục Ox:
A 4x + 9y + 1 = 0 B –4x + 9y + 1 = 0
C –4x – 9y + 1 = 0 D 4x – 9y + 1 = 0
Câu 8: Ảnh của đường tròn (C): x + y - 4x + 2y - 4 = 02 2 qua phép đối xứng trục
Trang 4A x + y - 4x - 2y - 4 = 02 2 B x + y + 4x + 2y - 4 = 02 2
C (x - 2) + (y -1) = 32 2 ` D (x - 2) + (y -1) = 92 2
2.2 Phép đối xứng trục Oy:
Định nghĩa:
Cho đểm M(x;y) Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy:
Công thức: ĐOy(M) = M' x' = -xy' = y x = -x'y = y'
Từ đó: Để xác định ”NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn
(C) qua phép đối xứng trục Oy Ta thay “x” bằng “–x” vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy
VD4: Tìm ảnh của A(5;-3), đường thẳng (d): 5x – 2y + 4 = 0 và đường tròn (C):
x + y - 6x + 4y -12 = 0 qua phép đối xứng trục Oy
Giải: + ĐOy(A) = A' x' = -x = -5y' = y = -3 A'(-5;-3)
+ ĐOy(d) = (d') x' = -xy' = y x = -x'y = y'
⇒ phương trình (d’): 5(-x) – 2y + 4 = 0 ⇔ –5x – 2y + 4 = 0
+ ĐOy(C) = (C') x' = -xy' = y x = -x'y = y'
⇒ phương trình (C’): (-x) + y -6(-x) + 4y-12 = 02 2 ⇔ x + y +6x + 4y-12 = 02 2
Lưu ý:
1 Do phép đối xứng trục có tính chất Đ (M) = Ma '⇔Đ (M') = Ma Trong trường hợp tìm phương trình đường thẳng (d1) và phương trình đường tròn (C1) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d1) và (C1) qua phép đối xứng trục Ox hay Oy thì ta vẫn làm tương tự VD 3 và VD 4 ta được phương trình của (d1) và (C1) theo yêu cầu bài toán
Trang 52 Phép đối xứng trục đường thẳng a biến đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 thành (d’) Ax + By + C’ = 0 song song với nhau khi đường thẳng a song song
và cách đều (d) và (d’), khi đó đường thẳng a có phương trình: Ax + By + C + C'2 = 0
3 Có vô số đường thẳng a biến đường thẳng (d) thành chính nó Trong đó có đường thẳng a trùng với (d) và vô số đường thẳng là các đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d)
Bài tập áp dụng:
Câu 9: Ảnh của điểm N(-4;-3) qua phép đối xứng trục Oy:
Câu 10: Ảnh của đường thẳng (d): 2x – 3y + 2 = 0 qua phép đối xứng trục Oy:
A 2x + 3y + 2 = 0 B –2x – 3y + 2 = 0
C –2x – 3y – 2 = 0 D –2x + 3y + 2 = 0
Câu 11: Ảnh của đường tròn (C): (x -5) + (y -2) =162 2 qua phép đối xứng trục Oy:
A (x + 5) + (y - 2) = 162 2 B (x + 5) + (y + 2) =162 2
-(còn tiếp)
• Qua phần trình bày trên với những ví dụ cơ bản mong rằng giúp các em một số phương pháp để giải các bài tập TNKQ về phép dời hình và phép đồng dạng có liên
Trang 6quan đến biểu thức tọa độ một cách nhanh hơn, qua đó hình thành cho các em phương pháp tìm qũy tích của một đường có liên quan đến biểu thức tọa độ