Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt phẳng P qua Atiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ Bđến P là lớn nhất... Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O.. Vậy D

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 5.13 Một số bài toán tổng hợp khác.

MỨC ĐỘ 4

Câu 1 [2H3-5.13-4] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

( )α đi qua M(2;1;2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B , C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Phương trình mặt phẳng ( )α là

Cách 1: Đáp án A, B và C loại do mặt phẳng không đi qua điểm A.

Cách 2: Gọi M là giao điểm của AB và mặt phẳng ( )P , H là hình chiếu của A trên mặt

phẳng ( )P Ta có ·AMH =α là góc tạo bởi AB và mặt phẳng ( )P

Kẻ AI vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q Ta có ·AIH =β là góc tạobởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q Ta dễ dàng chứng minh, góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng ( )P

và ( )Q nhỏ nhất bằng ·AMH là góc tạo bởi AB và mặt phẳng ( )P

Câu 3 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , cho điểm M(1;2;1) Mặt phẳng ( )P thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia

 Lấy hai điểm M(3;1; 2- ) và M0(1;0; 1- ) thay vào bốn đáp án Loại A, C.

 Tính góc tạo bởi mặt phẳng của đáp án B với ( )P và góc tạo bởi đáp án D với ( )P kết quả

 Ta có tam giác MEI vuông tại I ME MI MH MH sin sin

  hay (∆·,( )P )≤( ( ) ( )·Q , P ) Vậy ( ( ) ( )·Q , P )min = ∆(·,( )P )

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;0; 1− ) và có VTCP là ur=(1; 2;3)

Do ∆ ⊂( )P nên M∈( )P Giả sử VTPT của ( )P là nr=(A B C; ; ),(A2+B2+C2 ≠0)

5 12 1014

t sin

Ta có ( )

2

2 2

Từ đó ta có Maxf t( ) =1475 khi 8 8

B t

C

= ⇒ = Khi đó 1 8 75

5 1414

Phương trình ( )P là 31(x− −3) 8y−5(z+ = ⇔1) 0 31x−8y− −5z 98 0= .

Câu 6 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Cho điểm (0;8;2)A và mặt cầu ( )S có phương

trình ( ) : (S x−5)2+ +(y 3)2+ −(z 7)2 =72 và điểm (9; 7; 23)B − Viết phương trình mặt phẳng( )P qua Atiếp xúc với ( )S sao cho khoảng cách từ Bđến ( )P là lớn nhất Giả sử r (1; ; )

Câu 7 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

(0;0; 4)

A , điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy và ) M ≠O Gọi D là hình chiếu vuông góc

của O lên AM và E là trung điểm của OM Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt

Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O

Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định).

Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là.

đường trung tuyến nên 1 2 1( )

2

ID= OA=

Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM

nên IE song song với AM mà OD⊥AM ⇒OD⊥IE

Mặt khác tam giác EOD cân tại E Từ đó suy ra.

IE là đường trung trực của OD

Nên ·DOE ODE IOD IDO=· ;· = · ⇒IDE IOE· =· = ° ⇒90 ID⊥DE ( )2

Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính 2

lớn nhất

A. ur=(1;0; 2) B. ur =(4; 5; 2− − ) C. ur =(8; 7; 2− ) D. ur =(1;1; 4− )

A

M D

E I

O

a b c

a b c

Câu 10 [2H3-5.13-4] [THPT Nguyễn Tất Thành] Tìm phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua

điểm M(1; 2;3) và cắt 3 tia Ox,Oy Oz lần lượt tại 3 điểm , ,, A B C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Câu 12 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Lê Thánh Tông] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

mặt cầu ( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4y−4z+ =7 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox là lớn nhất.

Gọi ∆ là đường thẳng qua I(1; 2; 2− ) và A(1; 0; 0)

Với M(1; 3;3− )⇒MA=3 2 nên lấy M(1; 3;3− )

Câu 13 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét

các điểm A(0;0;1 ,) B m( ;0;0 ,) C(0; ;0n ) vàD(1;1;1) với m n, >0;m n+ =1 Biết khi m n,thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với ( ABC và đi qua điểm ) D Tình bán kính R

của mặt cầu đó

A 3

22

R

Câu 14 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết

phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại, ,

A B C (khác gốc tọa độ) sao cho biểu thức 12 12 12

uuur uur uuur uur uuur uur

uuur uur uur uur

Do đó 2 2 2

2MA −MB +MC nhỏ nhất 2

2MI

⇔ nhỏ nhất ⇔MI nhỏ nhất ⇔M là hình chiếu

vuông góc của I lên ( )P

Gọi ∆ là đường thẳng qua qua I(1; 2; 2− ) và nhận nuurP =(3; 3; 2− ) là một vectơ chỉ phương

A , B m( ;0;0), C(0; ;0n ), D(1;1;1) với m>0;n>0 và m n+ =1. Biết rằng khi m , n

thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC và đi qua d Tính bán)

(ABC) và đi qua D.

Khi đó R=1

•Cách 2 :

Câu 17 [2H3-5.13-4] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

( ;0;0)

A a , B(0; ;0b ), C(0;0;c) với a, b, c dương thỏa mãn a b c+ + =4 Biết rằng khi a,

b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng ( )P cố định Tính

Vì A a( ;0;0), B(0; ;0b ) , C(0;0;c với a , b , c dương ) ⇒ OABC là tam diện vuông.

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ⇒ ; ;

Câu 18 [2H3-5.13-4] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz cho hình lập phương ABCD A BC D ′ ′ ′ biết rằngA(0;0;0) , B(1;0;0), D(0;1;0),

90 Nên góc lớn nhất giữa ( )P và (ACC A′ ′) bằng 0

Câu 19 [2H3-5.13-4] [CHUYÊN SƠN LA] Trong không gian Oxyz, cho A(3;1; 2), B( 3; 1;0)− − và

mặt phẳng ( ) :P x y+ + − =3z 14 0 Điểm M thuộc mặt phẳng ( )P sao cho ∆MAB vuông tại

M Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy.

Suy ra hai điểm A B, nằm cùng phía đối với mặt phẳng ( )P như hình vẽ.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB , ,

Suy ra IM =d I P( ;( ) ) ⇔M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng ( )P

Gọi ∆ là đường thẳng qua I(0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng ( )P

Suy ra ∆ qua I(0;0;1) và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P làm véctơ chỉ phương.

Câu 20 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Trong không gian với hệ trục toạ độ

Oxyz , cho đường thẳng : 1 1

Trên đường thẳng ∆ lấy điểm A(1 1 0; ; ) Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với

mặt phẳng ( )α Ta có urd =(1 2 2; ;− )

Trên đường thẳng d lấy điểm C bất kì khác điểm A

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng ∆.Lúc này, ta có ( ( ) ( )P ; α =) (CH d; ) = HCA·

Xét tam giác HCA ta có sinHCA· AH

AC

= , mà tam giác AHK vuông tại K nên ta có

AH AK

AC ≥ AC (không đổi) Nên để góc ·HCA nhỏ nhất khi H trùng với K hay CK ⊥( )P

Ta có (ACK đi qua d và ) ∆ Vì u ur rd; ∆ = − ( 8 0 4; ; ) nên chọn nr(ACK) = −( 2 0 1; ; )

Mặt khác ta có ( )P đi qua ∆, vuông góc mặt phẳng (ACK và ) nr(ACK);ur∆ = − ( 2 5 4; ;− ).Nên nr( )P = −( 2 5 4; ;− ) Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là :

( ) ( )

2 x 1 5 y 1 4z 0 2x 5y 4z 3 0 2x 5y 4z 3 0

Câu 21 [2H3-5.13-4] [TT Hiếu Học Minh Châu] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết

đường cong ( )ω là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với

hai mặt phẳng ( )α :x y z+ + − =6 0 và ( )β :x y z+ + + =6 0 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( )ω bằng

Câu 22 [2H3-5.13-4] [THPT THÁI PHIÊN HP] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,mặt

phẳng ( )P đi qua điểm D(1; 2; 2− ) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C

Vì ( )P đi qua D(1; 2; 2− ) nên: 1 2 2 1

a b c

a b a c

a b c

i k

( ) ( )

rr

r r , thế vào ( )∗ ta được 2

0

a a

=



 =

Tuy nhiên khi a= ⇒0 ( )α :x z+ − =1 0 chứa đường thẳng ∆ suy ra nhận a=2

Câu 24 [2H3-5.13-4] [THPT CHUYÊN VINH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

Ta có K(− − −3; 2; 1 , ( , )) d M ∆ =MH ≥MK

Vậy khoảng cách từ M đến ∆ bé nhất khi ∆ đi qua M K , ∆ có véctơ chỉ phương ur=(1;0; 2)

Câu 25 [2H3-5.13-4] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Trong không gian tọa độ Oxyz cho

điểm A(0;1;1 , 1;0; 3 , ) (B − ) (C − − −1; 2; 3) và mặt cầu ( )S có phương trình

Câu 26 [2H3-5.13-4] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm,

a b c

a b c

Câu 27 [2H3-5.13-4] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Cho mặt cầu

( )S : (x- 1)2+ -(y 1)2+ +(z 2)2= và điểm 4 A(1;1; 1- ) Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A đôi

một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn Tổng diện tích của ba hình tròn tươngứng là

A 4p B 11p C 10p D p

Hướng dẫn giải

Chọn B.

.Mặt cầu ( )S có tâm I(1;1; 2- ) và bán kính R=2.

Giả sử các mặt phẳng (Axy , ) (Axz , ) (Ayz đôi một vuông góc nhau và cùng đi qua điểm ) A

R = R - d Bán kính đường tròn giao tuyến của (Ayz với mặt cầu ) ( )S là 2 2

R = R - d Bán kính đường tròn giao tuyến của (Axz với mặt cầu ) ( )S là 2 2

R = R - d Tổng diện tích ba hình tròn là

Câu 29 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét

các điểm A(0;0;1 ,) B m( ;0;0 ,) C(0; ;0n ) vàD(1;1;1) với m n, >0;m n+ =1 Biết khi m n,thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với ( ABC và đi qua điểm ) D Tình bán kính R

của mặt cầu đó

A 3

22

R

Câu 30 [2H3-5.13-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết

phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại, ,

A B C (khác gốc tọa độ) sao cho biểu thức 12 12 12

Tịnh tiến hệ trục tọa độ lấy Mlà gốc và trong tọa độ này I a b c ( ; ; )

Khi đó 1=IM ⇔a2+ + =b2 c2 1

Khoảng cách từ Iđến ba mặt đôi 1 vuông góc là , ,a b c

Do đó tổng bình phương của ba bán kính ba đường tròn tương ứng là

Gọi γ là mặt phẳng đi qua MIvà γ vuông góc với α , γvuông góc với β, khi đó γ và ( )S

cắt nhau tạo thành đường tròn bán kính:rγ =R S = 4 2=

Vậy tổng bình phương các bán kính của ba đường tròn : rα2+rβ2+rγ2 =11

Câu 32 [2H3-5.13-4] [THPT Kim Liên-HN] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu , ( )S :

z

ì =- +ïï

ïï = +íï

ï =ïïî

132

z

ì =- +ïï

ïï = +íï

ï =ïïî

122

z

ì =- +ïï

ïï = +íï

ï =ïïî

y t z

ì = ïï

-ïï =íï

ï =ïïî

(IH H đi qua I và vuông góc với AB nên có phương trình 1 2) - + - = x y 3 0

Gọi H là giao điểm của AB và (IH H Khi đó 1 2) H(- 1; 2; 4)

Gọi M là giao điểm của H H và 1 2 IH Khi đó H M1 ^IH.

Phương trình H H : 1 2

122

z

ì =- +ïï

ïï = +íï

ï =ïïî

i k

( ) ( )

rr

r r , thế vào ( )∗ ta được 2

0

a a

=



 =

Tuy nhiên khi a= ⇒0 ( )α :x z+ − =1 0 chứa đường thẳng ∆ suy ra nhận a=2

Câu 34 [2H3-5.13-4] [Sở Hải Dương] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;3;1),

(0; 2;1)

B và mặt phẳng ( )P x y z: + + − =7 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong

mặt phẳng ( )P sao cho mọi điểm thuộc đường thẳng d luôn cách đều 2 điểm A và B

Cho x= ⇒0 7

0

y z

=

 =

 C(0;7;0)∈d.Cho x= ⇒1 4

2

y z

=

 =

 D(1;4; 2)∈d.Đường thẳng đi qua C(0;7;0) và nhận vectơ CDuuur= −(1; 3; 2) làm vectơ chỉ phương nên

phương trình tham số đường thẳng là 7 3

Câu 35 [2H3-5.13-4] [Sở Bình Phước] Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai

góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền củacăn nhà đó Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tườngquả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9,10,13 Tổng độ dài các đường kính của hai quảbóng đó là?

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà Do hai quả cầu

đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậytâm cầu sẽ có toạ độ là I a a a với ( ; ; ) a>0 và có bán kính R a=

Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9,

10, 11 nên nói cách khác điểm A(9;10;13) thuộc mặt cầu.

Từ đó ta có phương trình: ( ) (2 ) (2 )2 2

9−a + 10−a + 13−a =a Giải phương trình ta được nghiệm a=7 hoặc a=25

Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 2 7 25( + ) =64