Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

- Rèn luyện kĩ năng tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto, độ dài vecto - Có kỹ năng vận dụng thành thạo các định lý và các hệ quả về toạ độ vectơ, toạ độ điểm và phương trình mặt cầu để giải c

BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 Tọa độ vectơ: Cho ar=(a ,a ,a , b1 2 3) r=(b , b , b1 2 3) Ta có

a br r± =(a1±b ;a1 2±b ;a2 3±b3) k.ar=(ka ;ka ;ka1 2 3)

3 Tích có hướng của hai vectơ: ar=(a , a ,a , b1 2 3) r =(b , b , b1 2 3)

Tích có hướng của hai vec tơ ar

uuur uuur uuur

- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A ' B'C ' D ' = AB, AD AA '

uuur uuur uuuur

B KỸ NĂNG.

- Rèn luyện kĩ năng tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto, độ dài vecto

- Có kỹ năng vận dụng thành thạo các định lý và các hệ quả về toạ độ vectơ, toạ độ điểm và

phương trình mặt cầu để giải các dạng toán có liên quan

- Rèn kĩ năng tính tích có hướng, tích vô hướng và áp dụng vào giải các bài toán liên quan

C BÀI TẬP.

Bài 1 Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1)

a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù?

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho tam giác MBC vuông tại M

Bài 2 Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC

Tính cosin các góc A, B, C và diện tích tam giác ABC

Bài 3 Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)

a Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC

b Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

c Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3 Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

Bài 4 Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với 0 a b< ≤

a Chứng minh AB vuông góc với CD

b Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB vàCD

Bài 5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) và D(1; 4; 0) Chứng minh ABCD là một tứ diện.

c) M, N di động sao cho m.n = 1 Tính m, n để VB.OMAN nhỏ nhất

Bài 9 Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)

Bài 11 Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)

a Chứng minh OAB là tam giác vuông cân

b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông

c Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu1: Trong không gian Oxyz , cho xr =2ir+3rj- 4kr Tìm tọa độ của xr

ìï = ïï

ï = íï

ï = ïïî

C

2 2

1 4 3

ìï = +ïï

ï = +íï

ï = - +ïïî

D

4 2

2 4 6

ìï = - +ïï

ï = - +íï

ï = +ïïî

Câu 8:Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 1 4

Câu 9: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) :a x- 2y+3z- 7= và0

( ) : 2b - x+4y- 6z+ =3 0.Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào là đúng ?

Câu 11 Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 12

Cho đường thẳng (d) :

1

2 21

ìï = - +ïï

ï = - +íï

ï = ïïî

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d

-Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ar(3; 1;2); (4;2; 6)- br - Tính tọa độ của vectơ a br+r

A.a br+ =r (1;3; 8).- B.a br + =r (7;1; 4).- C.a br+ =r ( 1; 3;8).- - D.a br + =r ( 7; 1;4).-

-Câu 15 Trong không gian Oxyz cho M(1;-2;4) và N(-2;3;5) Tính tọa độ của MNuuuur

A MN =uuuur (-3;5;1) B. MN =uuuur (3;-5;-1) C. MN =uuuur (-1;1;9) D. MN =uuuur (1;-1;-9)

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:

Cho mặt cầu (S) : (x a)− 2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2 với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng

(P): Ax + By + Cz + D = 0.

+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung

+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)tại H ( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )

+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính

2 2

r = R −d

( H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) )

B KỸ NĂNG.

- Tìm tâm và bán kính các mặt cầu.

- Viết phương trình mặt cầu

- Tìm giao của mặt cầu với mặt phẳng

C BÀI TẬP.

Bài 1 Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:

a x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 b x² + y² + z² + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c x² + y² + z² –6x + 2y – 2z + 10 = 0 d 2x² + 2y² + 2z² + 12x – 6y + 30z – 5 = 0

Bài 2 Viết phương trình mặt cầu có

b Tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)

c Đường kính AB với A(3; –2; 1) và B(1; 2; –3)

Bài 3 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nếu

a A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

Bài 4 Viết phương trình mặt cầu có

a Tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1)

b Có tâm I(–5; 1; 1) và tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + 5 = 0

Bài 5: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): 2x 2y z 9 02 2 2

Bài 6: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0

a) Định m để (S) là mặt cầu Tìm tập hợp tâm I của (S)

tại hai điểm A, B sao cho AB 2 3=

Bài 7: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)

c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 9 Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0

a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và mp (P) là đường tròn có chu vi bằng 8π

b CMR Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = 3 – z

c Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (CMN)

Bài 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) có

2:1

z

t y

t x

=

−+

012344

03:

2

z y x

y x d

a CMR: (d1) và (d2) chéo nhau b Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

c Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

Bài 11 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có

phương trình tương ứng là: ( )P1 :2x−y+2z−1=0 ( )P2 :2x−y+2z+5=0

Và điểm A(-1;1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với

cả hai mặt phẳng (P1), (P2)

a.CMR: Bán kính của hình cầu (S) là một hằng số và tính bán kính đó

b.Gọi I là tâm hình cầu (S) CMR: I thuộc một đường tròn cố định xác định tâm và tính bk đường tròn đó

Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;1; 2( − ) và mặt phẳng ( )α : x y 2z 3− − = Viết

phương trình mặt cầu (S) có tâm M tiếp xúc với mặt phẳng ( )α

Câu 5 Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0.

A I(4; –1; 0), R = 4 B I(–4; 1; 0), R = 4 C I(4; –1; 0), R = 2 D I(–4; 1; 0), R = 2

Câu 6 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y +2z + 1 = 0

Phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P):

2x + y + 2z + 2 = 0 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính R= 1.Phương trình của mặt cầu (S) là

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S):

x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

− một phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với ( )P

và cắt ( )Q theo một đường tròn có chu vi 2 π là:

Câu 18 Cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ − =3 0 và mặt cầu ( )S có phương trình là

  là vectơ pháp tuyến của (α)

Nhận xét: Một mp có vô số VTPT cùng phương với nhau.

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0)

+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: →n =(A;B;C)

+ Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là →n =(A;B;C) thì có pt:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:

zb

ya

x

=++ (phương trình theo đọan chắn)+ MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0

3) Khoảng cách từ M x y z đến (P) được tính theo công thức : ( 0; ;0 0) ( ) 0 0 0

B KỸ NĂNG.

- Rèn kĩ năng viết PT mặt phẳng biết vecto pháp tuyến và đi qua điểm M

- Rèn kĩ năng viết PT mặt phẳng biết cặp vecto chỉ phương và điểm M

Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0

Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)

b) (P) Là mặt trung trực của AB

c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0

Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)

a) Viết phương trình mp(ABC)

b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = 0

c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)

Bài 4 Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M,

A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)

Bài 5: Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt

Bài 8 Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0

a) Viết phương trình của mặt phẳng (α) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox.b) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa

độ một tứ diện có thể tích bằng

36

125

Bài 9 (ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt

phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 ; (Q) : x – y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O tới (R) bằng 2

Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G(-2 ; 3 ; 5) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là

trọng tâm của tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ)

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 3y 4z 2016− + = Véctơ nào sau đây là

một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P : 2x y 1 0, Q : x y z 1 0+ + = ( ) − + − = Viết

phương trình đường thẳng (d) giao tuyến của 2 mặt phẳng

A ( )P :10x 4y z 19 0− − − = B ( )P :10x 4y z 19 0− + − =

C ( )P :10x 4y z 19 0− − + = D ( )P :10x+4y z 19 0+ − =

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1;1( ) và B 1;3; 5( − ) Viết phương trình mặt

phẳng trung trực của AB

A y 3z 4 0− + = B y 3z 8 0− − = C y 2z 6 0− − = D y 2z 2 0− + =

Câu 10: Cho hai mặt phẳng ( )P : 2x my 2mz 9 0+ + − = và ( )Q : 6x y z 10 0− − − = Để mặt phẳng

(P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì giá trị của m là:

Câu 11: Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )α đi qua M 0; 1;4( − ) , nhận u, vr r làm vectơ

pháp tuyến với ur =(3;2;1) và vr = −( 3;0;1) là cặp vectơ chỉ phương là:

Câu 14 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x y+ − 2z+ = 1 0 và hai điểm A(1; 2;3), (3;2; 1) − B −

Viết Phương trình mặt phẳng ( )Q qua A B, và vuông góc với mặt phẳng ( )P

Câu 17 Cho hai mặt phẳng( )P : 3x+3y z− + =1 0; ( ) (Q : m−1) x y+ −(m+2) z− =3 0

Xác định m để hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau.

Câu 19 Gọi ( )α là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm M (8; 0; 0), N(0; -2; 0) , P(0; 0; 4)

2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆1 qua điểm M x y z có VTCP 1( 1; ;1 1) uur1=(a a a1; ;2 3) và đường thẳng ∆2 qua điểm

- Lập PT đường thẳng qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)

b) Tìm giao điểm của d với trục Oz

Bài 3 Cho (d1) :

21

− và điểm A(1 ; 0 ; -3) Viết phương trình đường

thẳng (d) qua A vuông góc với (d1) và (d2)

Bài 4 Cho điểm A(2 ;1 ; -2), đường thẳng (d) : 1 1 3

x+ = y− = z−

, mặt phẳng ( ) :P x y z− − − =4 0 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng (d)

Bài 5 Cho M(1 ; 1 ; -3) và đường thẳng

1 2( ) : 2

trình đường thẳng ( )∆ chứa trong mp(P) và cắt (d1), (d2)

Bài 7 Cho A(2 ; -1 ; -1) đường thẳng ( )1 2

Viết phương trình đường thẳng ( )∆

Chứa trong (P) vuông góc với (d) và đi qua giao điểm của (P) với (d)

Bài 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

2

4z1

3y3

Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:

Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d:

a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1:

3

2z1

1y2

3y1

1y1

Bài 14 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0

Bài 15 Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng:

3y2

1x

t1y

t6x:d

;t1z

t2y

t43x:

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1và song song với ∆2

b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4) Tìm tọa độ điểm H ∈∆2sao cho độ dài MH nhỏ nhất

Bài 19 Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; -2; 0) và đường thẳng d:

2

2z1

1y1

b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất

Vectơ nào dưới

đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A uuur1 =(0;0; 2) B uuur1 =(0;1; 2) C uuur1 =(1;0; 1− ) D uuur1 =(0;1; 1− )

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 2; 1;1( − ) và đường thẳng :x 1 y 1 z

Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d’) là:

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với

A 1;1;1 , B 1;1;0 ,C 3;1; 2− Chu vi của tam giác ABC bằng:

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x 4y 2z 2016 0− + − = Trong

các đường thẳng sau đường thẳng song song với mặt phẳng (P)

− Xét vị trí tương đối giữa d và d1.

A Song song B Trùng nhau C Chéo nhau D Cắt nhau tại I

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P : 3x z 2 0− + = và ( )Q : 3x 4y 2z 4 0+ + + = Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương củađường thẳng (d)

A ur = − −( 4; 9;12) B ur =(4;3;12) C ur =(4; 9;12− ) D ur = −( 4;3;12)

Câu 12: Cho điểm M 2;1;4( ) và đường thẳng

x 1 t: y 2 t

ìï = ïï

ï = íï

ï = ïïî

C.

2 2

1 4 3

ìï = +ïï

ï = +íï

ï = - +ïïî

D.

4 2

2 4 6

ìï = - +ïï

ï = - +íï

ï = +ïïî

Câu 17.

Cho đường thẳng (d) :

1

2 21

ìï = - +ïï

ï = - +íï

ï = ïïî

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d

tương đối của hai đường thẳng d và 1 d 2

A Hai đường thẳng song song B Hai đường thẳng chéo nhau.

C Hai đường thẳng cắt nhau D Hai đường thẳng trùng nhau

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho ( )P x: +2y z− − =1 0 và đường thẳng

1: 2

Câu 20 Cho đường thẳng

0:

ï =íï

ï = ïïî

Tìm phương trình đường vuông góc chung của d vàtrục Ox

x

ìï =ïï

ï =íï

ï =ïïî

C.

02

x

ìï =ïï

ï = íï

-ï =ïïî

ï =íï

ï =ïïî

BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI LOẠI 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp: Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Khi

= ( a’; b’; c’) của (d’)

(d) và (d’) đồng phẳng ⇔ '

0 0u,u ' M M 0

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng:

Cho đường thẳng (d) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), có VTCP u r

- Nếu (*) vô nghiệm thì (d) / /( )α

- Nếu (*) có nghiệm đúng với mọi t thì (d)⊂ α( )

- Nếu (*) có nghiệm duy nhất (x y z thì (d) cắt (0; ;0 0) α ) và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm

Một số lưu ý:

1) Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (α ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (α )

2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)

- Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α)

- Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm.

3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α)

- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α)

- M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’.

4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).

- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d).

- Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm.(còn cách 2 )

5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d)

- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).

- M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’.

3 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² =R² có tâm I(a; b; c) và bán kính R

mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn nếu d(I, α) < R Khi đóbán kính đường tròn giao tuyến bằng r = R2−d (I,α)2

mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) khi và chỉ khi d(I, α) = R

mặt phẳng (α) và (S) không giao nhau khi và chỉ khi d(I, α) > R

B KỸ NĂNG