CỰC TRỊ HÀM SỐ

Tuy nhiên trong một số bài toán có trị tuyệt đối ta lại xét đến việc hàm số có cực trị khi y’ sẽ đổi dấu tại một điểm nào đó... Cách 2 : Lấy hàm số y chia cho y’ , phần dư của phép chia

DẠNG 1 : TÌM CỰC TRỊ

Dạng toán này các em nhớ đến 2 quy tắc :

Quy tắc 1 : Dùng bảng biến thiên , nếu y’ qua xo đổi dấu thì tại đó hàm số có cực trị

Quy tắc 2 : Dùng tính chất đạo hàm lần 2 : y’’(xo) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = xo và y’’(xo) < 0 thì hàm

số đạt cực tiểu tại x = xo

Bài 1: Cho hàm số   1 3 2

2 3 13

f x  x  x  x

chọn phát biểu đúng :A.Hàm số không có cực trị

B.Hàm số có 2 cực trị, giá trị ycđ và yct đều dương

C.Hàm số có ycđ = 1 , yct > 0

D.Hàm số có ycđ – yct = 10/3

Bài 2: Cho hàm số   1 3 2

2 103

f x  x  x x

.Chọn phát biểu đúng A.Hà số có 2 cực trị

B.Cực trị của hàm số là ycđ = 1 , yct = -1

A f(x) đạt giá trị cực đại tại x=- 1 B f(x) đạt cực tiểu tại x=1

C f(x) có giá trị cực đại là 8 D M(1; 8) là điểm cực tiểu

D.Hàm số có vô số cực trị

Bài 13: Tìm cực trị của y 3 2cosxcos 2x Chọn đáp án Sai

A.Trên đoạn [0; 2 ] có 2 điểm cực đại

B Giá trị

9y2

CD 

C.Hàm số đạt cực đại tại

223



CD

y

Bài 18: Cho hàm số sau: y x 44x25 Tìm phát biểu đúng

Bài 23: Cho hàm số sau:

2 2

2 3 93

y x  x  x

đạt cực tiểu tại

231;

DẠNG 2 : TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Lý thuyết : (Với các bài toán thông thường ) Để hàm số có cực trị thì bắt buộc y’ = 0 phải có nghiệm, có 1cực

trị thì y’ = 0 phải có 1 nghiệm đơn , có 2 cực trì thì y’ = 0 phải có 2 nghiệm đơn .

Tuy nhiên trong một số bài toán có trị tuyệt đối ta lại xét đến việc hàm số có cực trị khi y’ sẽ đổi dấu tại một điểm nào đó

�

C

1 m 2

>

D

1 m 2

Bài 38: Tìm m để hàm số sau không có cực trị:y x 3 3x23mx3m4

4

 m

B)

10

4

 �m

C)

10

4

� �m

D)

14

�

m

D)

23

TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI MỘT ĐIỂM CỤ THỂ

Dạng toán này ta sẽ sử dụng quy tắc 2 để giải sẽ phù hợp hơn

Bước 1: Ta tìm đạo hàm f x'  , thay giá trị xo đầu bài cho vào f x'  để tìm m hoặc mối liên hệ của a,b,c

Bước 2 : Thay giá trị m , hoặc a,b,c và x o vào f '' x

rồi kiểm tra dấu của f '' x

khi f '' x o 0 thì hàm số

đạt cực tiểu tại x o khi f '' x o 0 thì hàm số đạt cực đại tại x

o

Câu 45 Tìm các hệ số a b c d, , , của hàm số f x  ax3bx2 cx d sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm x0; f  0 0 và đạt cực đại tại điểm x1, f  1 1 Tính tổng A = a + b + c + d

Câu 46 Xác định các hệ số a b c, , sao cho hàm số: f x   x3 ax2 bx c đạt cực trị bằng 0 tại x  và 2

đồ thị của hàm số đi qua A 1;0

 

m

C)

43



m

D)

43



m

C)

12



m

D)

12

4410

Câu 54 : y ax 4bx2ccó đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực đài bằng –9 tại x = 3.Tìm đáp an đúng

1110

�

�  

�

b c

�

�  

�

a b

Câu 57 :Tìm m để hàm số

2 2

21

Cách 1 : Các em tìm cụ thể điểm cực đại cực tiểu, sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trên

Cách 2 : Lấy hàm số y chia cho y’ , phần dư của phép chia chính là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ( Dạng này thích

hợp cho các bài có chứa tham số m )

Bài 58 Cho hàm số y2x39x212x4 Tìm cực trị của hàm số và viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

A) y  x 2 B) y x 2 C) y  x 2 D) y x 2

Bài 59 Cho hàm số

2 3 12

y x



Câu 65 : Tìm m để các hàm số:y2x33(m1)x26(m2)x1có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song songvới đường thẳng y = –4x + 1.

 �

m

C)

152

 �

m

D)

3 102

BÀI TOÁN CỰC TRỊ NÂNG CAO

Bài toán nâng cao là bài toán tổng hợp , hội tụ đủ các kiến thức và kỹ năng cần thiết , yêu các các em phải tham gia thực hành nhiều khi đó mới có được sự nhạy bén Để cho việc học hiệu quả , thầy khuyên các em nên ghi chép lại những vấn đề được cho là mới của chính bản thân Nếu gặp vấn đề gì các em mới biết , tốt hơn hết các em đánh dấu lại để sau này xếp thời gian học lại Làm được điều đó các em sẽ chắc kiến thức

11

m �m 

B

22

11

m  �m 

C

22

11

m �m

D

22

11

m  �m

C

1 m 3

>

D

1 m 3

�

Bài 75 Tìm giá trị m để hàm số sau đây có cực trị

y f x x mx  m x m  

A Không có giá trị nào của m B Với mọi giá trị m thuộc D

C Với mọi m > 1 và m 1 D Với mọi m 1

Câu 76 Cho hàm sốy  x3 3mx  (1).Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho 1tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

m 

C

12

m 

D

12

m m

m m

m m



�

�  

�

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M.

Chọn đáp án đúng: (Biết m có tọa độ nguyên)

Câu 82 Cho hàm số y x 42mx22m m 4 , với m là tham số thực

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

Chọn đáp án đúng:

A m B 1 m C 2 m  D 1 m 2

Câu 83 Cho hàm số y x 3 3x2mx có đồ thị (Cm)2

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo

với hai trục toạ độ một tam giác cân

m 

C

32

m 

D

52

m

Câu 84 Cho hàm số y  x3 3x24 1 

Với những giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn

m m

m m

m m



�

� 

�

Câu 85 Cho hàm số y  x4 2mx2  có đồ thị ( )4 C (m là tham số thực m

Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( C nằm trên các trục tọa độ m)

Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox một góc

A

13;

3

m ���  ��

� B

13;

3

m ��� ��

� C

13;

3

m ��� ��

� D

13;

Câu 94 Cho hàm số y  x3 3x23m m 2x1 (1), với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm I 1;3

Chọn đáp án đúng:

A m 0;2 B m  2;0 C m 0;1 D m  1;0

Bài 95 Cho hàm số: y x 3 2mx2m x2  (m tham số) Giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại 12 x

A m3 B m1 C m và 3 m1 D m 3

Bài 47 Cho hàm số:   1 3 2  2 

4 23

A Hàm số luôn luôn đồng biến với  �a 2

B Hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu với   a 2

C Hàm số nghịch biến trong khoảng  0;1

với 0 a 1

D Hàm số luôn luôn nghịch biến trên tập R với: 1 a 2

Câu 97: Tìm m để hàm số:y x 32(m1)x2(m24m1)x2(m21)đạt cực trị tại hai điểm x

đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho:

đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: x12x21.

A)

2

;2 3

m  �� ��

2

; 2 3

m ��  ��

2

;2 3

m   �� ��

�

Câu 101: Tìm m để đồ thị hàm số:y2x3mx212x13có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

Câu 102 : Tìm m y x 33mx24m3có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ

nhất.Có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn

f x  x  x  x

chọn phát biểu đúng :A.Hàm số không có cực trị

B.Hàm số có 2 cực trị, giá trị ycđ và yct đều dương

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  ; giá trị cực đại của hàm số là : 3 f CD  f    3 1 Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x  , giá trị cực tiểu của hàm số là 1  1 7

3

CT

f  f   Bình luận : Trên bảng biến thiên ta thấy tại x = -3, x = -1 y’ đổi dấu nên tại đó có cực trị

Cách 2.Dùng quy tắc đạo hàm lần 2 f " x 2x4� f" 3    2 0; " 1f    2 0

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  ; giá trị cực đại của hàm số là: 3 f CD  f    3 1. Hàm số đạt

cực tiểu tại điểm 1,  1 7

f x  x  x x

.Chọn phát biểu đúng A.Hà số có 2 cực trị

B.Cực trị của hàm số là ycđ = 1 , yct = -1

f   nên hàm số đạy cực tiểu tại x1,f CT  f  1 2

Bài 4: Cho hàm số f x   x x 2 Chọn phát biểu đúng

vậy hàm số đạt cực đại tại 1,  1 32

y'=0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua hai điểm đó

Nên hàm số luôn có hai điểm cực trị

Bài 8: Tìm cực trị của y x 4x2 Chọn đáp án Sai

A f(x) đạt giá trị cực đại tại x=- 1 B f(x) đạt cực tiểu tại x=1

C f(x) có giá trị cực đại là 8 D M(1; 8) là điểm cực tiểu

Chọn C

TXĐ: D=R\ 0{ }

5 y' 5

x

=

, y'= � = �0 x 1BBT:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x0,y CD y 0 2 2

D.Hàm số có vô số cực trị

Chọn đáp án C Vì có vô số giá trị cực trị nên không thể có biểu thức đó

Bài 13 : Tìm cực trị của y 3 2 cosxcos 2x Chọn đáp án Sai

A.Trên đoạn [0; 2 ] có 2 điểm cực đại

B Giá trị

9y2

CD 

C.Hàm số đạt cực đại tại

223

32

x k x

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x k ,y CT  y k

bằng 0 nếu k chẵn và bằng 4 nếu k lẻ

2 2

Bài 15: Cho hàm số sau:y3x22x3 Tìm phát biểu đúng

vậy hàm số đạt cực đại tại x1 và y C�1.

Bài 16: Cho hàm số sau: y x 32x22x1 Tìm phát biểu đúng

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 17: Cho hàm số sau:

4

2 32

Bài 19: Cho hàm số sau:

42

vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 4 và y CT 11.

Bài 20: Cho hàm số sau:

0

3 2 3

2 4 33

+)

3 2 3

3 3 03

và y C�  2 4 3

Bài 21: Cho hàm số sau: y (x 2) (3 x1)4 Hàm số có mấy cực trị

- Từ đó, có bảng biến thiên hàm số y:

- Từ bảng biến thiên ta suy ra:

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1 và y C�0.

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

57

- TXĐ:

312

- Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đã cho đạt cực đại tại

14

Từ bảng biến thiên ta suy ra:

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại x0 và y C�4.

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 2 và

8

3

CT

Bài 24: Cho hàm số sau: y x x 24 Tìm phát biểu đúng

- Từ đó suy ra, hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 25: Cho hàm số sau: y x22x5 Tìm phát biểu đúng , hàm số có mấy điểm cực trị

- Với x1�y'0;với x1�y'0, từ đây suy ra: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1 và y C�2.

Bài 26: Cho hàm số sau: y3 2x 1 Tìm phát biểu đúng

'

y

x



� Hàm số liên tục tại x0 nhưng không có đạo hàm tại x0

- Với x0�y'0;với x0�y'0, từ đây suy ra: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x0 và y CT 1.

Bài 27: Cho hàm số sau: y x 25x 5 2lnx Tìm phát biểu đúng

A) y CT    ln 1 2 2

B)

11

2 24

- Từ bảng biến thiên ta suy ra:

+) Hàm số đã cho đạt cực đại tại

12

+) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x2 và y CT   1 2 2ln

Bài 28 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A Hàm số y x 3 6x29x đạt cực đại tại 12 M1; 8 

B Hàm số y  x3 3x2  đạt cực tiểu tại 3x 1 N1; 2 

C Hàm số

3 21

2 3 93

y x  x  x

đạt cực tiểu tại

231;

C

1 m 2

>

D

1 m 2

A)m>2 B)m<2 C)không có m D)với mọi m

 m

B)

10

4

 �m

C)

10

4

� �m

D)

14

m m

A.Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

B.Hàm số chỉ có cực trị khi m > 0

C.Hàm số chỉ có cực tiểu khi m < 0\

D.Hàm số không có cực trị với mọi m

Giải Chọn A.

Hàm số được viết lại là :

�

m

D)

23

Câu 45 Tìm các hệ số a b c d, , , của hàm số f x  ax3bx2 cx d sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm x0; f  0 0 và đạt cực đại tại điểm x1, f  1 1 Tính tổng A = a + b + c + d

Giải Chọn A

Ta có f x'  3ax22bx c � f ' 0  c f; ' 1  3a2b c

Vì f  0 0�d 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x nên 0 f ' 0  0�c0;f  1 1�a b 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x nên 1 f ' 1  0�3a2b0

Câu 46 Xác định các hệ số a b c, , sao cho hàm số: f x   x3 ax2 bx c đạt cực trị bằng 0 tại x  và 2

đồ thị của hàm số đi qua A 1;0

Tính tổng các hệ số S = a + b + c Chọn đáp sán đúng

Giải Chọn C

'

.''

m

m m

 

m

C)

43



m

D)

43

 

m

Chọn A

- TXĐ: �

- Ta có:

3 2

'

.''

x thì:

0

42

2 3

2 2

Theo giả thiết: 1 2



m

C)

12



m

D)

12

'

.''

y

x m y

3

10

0

14

41

Câu 53: Tìm a, b, c, d để hàm số: y ax 3bx2 cx dđạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 274 tại x =

8400

4410

03

'

'''

''

y

c y

1110

D) không có giá trị a, b, c

thỏa mãn

Chọn D

- TXĐ: �.

- Ta có:

3 2

�

�  

�

b c

�

�  

�

a b

Chọn B

a b

a b y

y y

Bài 58 Cho hàm số y2x39x212x4 Tìm cực trị của hàm số và viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

A) y  x 2 B) y x 2 C) y  x 2 D) y x 2

Giải Chọn A

* Tập xác định: D R

1' 6 3 2 ; ' 0 1

hoặc x2 2Cách 1

y x



 viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị

A) y  2x 3 B) y2x1 C) y2x1 D) y2x3

Giải Chọn D

* Tập xác định: D R \ 2 

* Đạo hàm:  

2

1 2

* Điểm cực đại tại M11;1, điểm cực tiểu M25;13

* Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:

là hai điểm cực trị của hàm số đã cho

Từ đây có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là đường thẳng AB:y x

� Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: y  6x 6.

Câu 63: Khi hàm số có cực đại, cực tiểu; viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

A) y   x m B) y x m  C) y  2x m. D) y   2x m

Chọn C

- Ta có: y'3x26mx3m21

, để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'0 phải

có hai nghiệm phân biệt �  'y' 9 0

Vậy phương trình y'0luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

với mọi m và và hàm số đã cho đạt cực trị tạix x1, 2

Theo đề ra ta phải có:

 

2 2

Câu 67 : Tìm m để y x 3mx27x3có đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = 3x –7.

 �

m

C)

152

 �

m

D)

3 102

Chọn D

- Ta có: y'3x22mx7, để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y'0 phải có hai nghiệm hai

nghiệm phân biệt

2 21 0 21'

Lập bảng biến thiên và dựa vào thấy hàm số có điểm cực trị A(1; 4), B(3; 0)

2 2

22

Câu 70 Cho hàm số y x 33x2 (C).

Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị (C) tạo với đường thẳng :x my  3 0 một góc 

11

m �m 

B

22

11

m  �m 

C

22

11

m �m

D

22

Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4

Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½

''(2) 0

y x

Vậy với m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

�

C

1 m 3

>

D

1 m 3

�

� <

Bài 75 Tìm giá trị m để hàm số sau đây có cực trị

y f x  x mx  m x m  

A Không có giá trị nào của m B Với mọi giá trị m thuộc D

C Với mọi m > 1 và m 1 D Với mọi m 1

Giải:

Đáp án B, vì y' 3 x22mx 1 m2

' 0

y  luôn luôn có hai nghiệm với mọi m vì:  ' m2m2 1 2m2 1 0 với m

Câu 76 Cho hàm sốy  x3 3mx  (1).Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho 1tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

m 

C

12

m 

D

12

m

Câu 77 Tìm các giá trị của m để hàm số y  x3 m3 x2m22m x 2

m m

m m

m m

y y

�

0 2

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M.

Chọn đáp án đúng: (Biết m có tọa độ nguyên)

A M 0;2

B M0; 2  C M 0;1

D M0; 1 

Chọn A

Ta có phương trình đường trung trực của AB là d: x-2y+4=0

Hoành độ giao điểm của d và (C): 2x3 7x0

1

0

(0;2)7

2

x

M x

Tương tự cách giải câu 20 ta tìm được điểm cực trị A 0; 2 ,B 4;6( - ) ( )

Phương trình đường thẳng AB : x x( - A)(y B- y A) (= x B- x A)(y- y A)

(x 0 6 2- )( + = +) (y 2 4 0)( - )y=2x 2

-y=2x 2- có dạng y=ax b+ với a=2,b =- a b 0 2 + =

Câu 82 Cho hàm số y x 42mx22m m 4 , với m là tham số thực

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

Khi m>0 đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A(0;m42 )m và hai điểm cực tiểu là

Theo giả thiết SVABC 1�m2. m 1�m1

Vậy đáp số bài toán là m=1

Câu 83 Cho hàm số y x 3 3x2mx có đồ thị (Cm)2

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo

với hai trục toạ độ một tam giác cân

Chọn đáp án đúng: