cực trị hám số

Kĩ thuật thủ thuật làm trắc nghiệm 2.1 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba... Ta sẽ dùng tích chất cực trị của hàm bậc 3 để xétnghiệm của pt 1.. Hàm số có 1 điểm cực đạ

thì 0

x

được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số;

0( )

f x

được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí

( )

f x′bằng 0 hoặc

( )

f x′ không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên.

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

2. Kĩ thuật thủ thuật làm trắc nghiệm

2.1 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba

y y y a

,

2 2(x , )y

là 2 cực trị

Ta có:

( ) ( )

*cách 1: Để hàm số có 2 cực trị nằm 2 phía ox thì pt (1) phải có 3 nghiệm phân biệt hay pt (2) phải

có 2 nghiệm phân biệt đồng thời khác x=-1

'

3

#3g( 1) 1 2 m 2 #0

m m

m m

m

m m

m m

m m

( )= − − ⇒ '( )= − +2 =− +

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ⇔ > −m 3

m m

 PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y= − − (m 1)2x− + 2 mm( + 1)

Đồ thị hàm số cắt trục hoànhtại 1 điểm duy nhất

Kết hợp điều kiện ta suy ra m= ±1

 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

3

4e 16e AB

b ac e

2

00

b a

2.3 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm phân thức

2

ax bx c y

3.1 Bài tập tự luận có giải

Dạng 1: Dùng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 xác định cực trị của các hàm số sau:

3 2 2

Tìm a,b để hàm số đạt cực tiểu tại x=0

2

b

b b

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay hàm số luôn có cực đại va cực tiểu.

3 21

( 6) x (2 m 1)3

y= x +mx + m+ − +Tìm m để hàm số có Cực đại, cực tiểu

Giải:

3 2

1

( 6) x (2 m 1)3

' 3 (4 1) 0 0

4

m m

m

m m

1 2

''

Câu hỏi được đặt ra là tại sao ta phải viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, trong

trường hợp ta dùng phương pháp này Ta dễ dàng nhận thấy bài toán tìm

1, 2

y y

nếu thay vào hàm bậc 3 sẽ rất khó khăn trong quá trình tính toán nhưng khi ta thay vào phương trình đường thẳng thì sẽ dễ dàng hơn rất nhiều

Ngoài ra, nếu bạn nào ngại chia đa thức ta có thể áp dụng công thức sau:

Nên (1) luôn có 2 nghiêm phân biệt hay hàm số luôn có CĐ, CT.

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:

21

là 2 cực trị

Ta có:

( ) ( )

*cách 1: Để hàm số có 2 cực trị nằm 2 phía ox thì pt (1) phải có 3 nghiệm phân biệt hay pt (2) phải

có 2 nghiệm phân biệt đồng thời khác x=-1

'

3

#3g( 1) 1 2 m 2 #0

m m

m m

Vậy m<3 thì hàm số có 2 cực trị nằm 2 phía so với ox.

Nhận Xét: Nếu phương trình (1) không tách được nghiệm x=1 thì cách 1 còn hiểu quả không nhỉ?

Ví dụ 3: Cho hàm số

y x= +mx+

( )C

m

m m

m m

m m

Từ 2 cách trên các bạn hãy tự đưa ra cho bản thân mình kinh nghiệm cho từng trường hợp.

Bài tập có lời giải

Nên (1) luôn có 2 nghiêm phân biệt hay hàm số luôn có CĐ, CT

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:

21

Tìm m để hàm số có 2 CĐ,CT nằm 2 phía so với trục hoành

Giải:

m m

*cách 1: Để hàm số có 2 cực trị nằm 2 phía ox thì pt (1) phải có 3 nghiệm phân biệt hay pt (2) phải

có 2 nghiệm phân biệt đồng thời khác x=-1

Vậy m<3 thì hàm số có 2 cực trị nằm 2 phía so với ox.

*Nhận xét quan trọng: Để biện luận nghiệm pt bậc 3 f(x,m)=0 (1)

Ta có 2 cách:

-TH1: (1) có nghiệm x x= 0, m R∀ ∈ .

0 2

+Pt (1) có 1 nghiệm thì pt (2) vô nghiệm hay có 1 nghiệm x x= 0

hooc-ne để tách pt(1) về pt (2) la pt bậc 2 để biện luận

Nhưng để giải quyết tốt với cách này ta có một vấn đề làm sao để tìm nghiệm x x= 0, nếuphương trình (1) không có nghiệm x x= 0 thì ta có thể làm theo cách trên không? Tác giả xin trả lờingay khi (1) không có nghiệm x x= 0 thì ta không thể làm cách trên Bây giờ ta sẽ tìm hiểu cách tìm

x x= x x=

Gọi y=f(x,m) là hàm số theo x,m.

Giả sử ( , )x y là điểm cố định của hàm số không phụ thuộc vao m Khi đó ta có:0 0

0(x , 00

B

y A

 Với A,B,C phụ thuộc vào ( , )x y0 0

Để các pt (a), (b) luôn có nghiệm với mọi m (không phụ thuộc vao m) thì

thì pt (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt.

Lưu ý: cách tìm nghiệm x x= 0 nhanh, bạn đọc có thể nhìn trên pt (1) các hệ số đi với m là2

( 3− x +4x+4) , x x= 0 sao cho hệ số đó bằng 0, rất đơn giản nhưng không phải ai cũng để ý phảikhông nào

-TH2: pt (1) không có nghiệm x x= 0, với mọi m Ta sẽ dùng tích chất cực trị của hàm bậc 3 để xétnghiệm của pt (1)

Xét Phương trình f(x,m)=0 (1) là phương trình bậc 3 theo biến x và tham số m

Gọi y=f(x,m) (C), khi đó nghiệm pt (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành

y’=f’(x,m)

y’=0⇔ f’(x,m)=0 ⇔ ax2+ + =bx c 0,(2)

*Pt (1) có 1 nghiệm hay đồ thị (C) cắt ox tại 1 điểm duy nhất: hàm số không có cực trị hoặc hàm số

có 2 cực trị nằm cùng 1 phía so với ox

000

0,( 2)0

*Pt (1) có 3 nghiệm phân biệt hay đồ thị (C) cắt ox tại 3 điểm: hàm số (C) có 2 cực trị nằm về 2

phía so với ox

' 2 D

0,( 3)0

00

0 (0) 0

' '

2 2

00

0 (0) 0

suy ra điều kiện cần tìm

+Với đk tìm được thay vào kiểm tra xem x x x1 2 3 , , thỏa mãn điều kiện cấp số cộng không

*Pt (1) có 3 nghiệm phân biệt tạo thành cấp số nhân hay đồ thị (C) cắt ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số nhân:

+3 số a,b,c lập thành cấp số nhân thì ac=b2

+ Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x1 2 3 , , lập thành cấp số nhân

suy ra điều kiện cần tìm.

+Với điều kiện tìm được thay vào kiểm tra xem x x x1 2 3 , , thỏa mãn điều kiện cấp số cộngkhông

*Lưu ý qua trọng: Với phương pháp dùng đồ thị ta có thể thấy rằng ta có thể xét nhiều đặc điểm

của nghiệm phương trình (1) Một câu hỏi được đặt ra là với phương pháp đã hoàn hảo chưa, haycòn vương mắc gì? Ta chú rằng vế f(x) là hàm bậc 3 nên tích :

CD CT

y y = y y = g x + x x x = g m (*)

Sẽ là hàm bậc 6 Bất Phương trình bậc 6 không phải lúc nào cũng giải ra Vậy có cách nào

để ta hạ bậc của bpt (*) xuống không Rất đơn giản như đã trình bày ở trên cách viết pt đường thẳng(d) qua CĐ,CT lúc này bpt (*) chỉ còn bậc 2

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:

y=y’.q(x)+ax+b

1 2 1 2 2

CD

CD CT CT

Đơn giản hơn nhiều phải không nào? Ta xét 1 ví dụ cụ thể nhé:

Ví dụ: Tim m để pt sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

1 2

1 1

2 2

Để CĐ, CT cách đều đường thẳng (d): y=x-1 xảy ra 2 trường hợp:

+TH1: ( )∆ song song hoặc trùng với (d):

Gọi I là trung điểm của AB suy ra

21;

( )∆ có hệ số góc 1

223

a = m−

(d):x-2y-5=0 có hệ số góc 2

12

m=0, ta có 2 cực trị A(0,0) và B(2,-4) có trung điểm I(1,-2) thuộc (d)

KL: Vậy m=0 hàm số có CĐ, CT đối xứng qua đường thẳng (d):x-2y-5=0

32

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O.

OAB vuông tại O

 OAOB uuur uuur. =0 

m

m m

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7,với điểm C(–2; 4 )

Giải:.

+TXĐ:D=R

+y' 3= x2−6x;

y' 0 = ⇔ 3x2− 6x= ⇔ = 0 x 0;x= 2

 Hàm số luôn có CĐ, CT.Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A m m(0; 2− +1), B m m(2; 2− − 3) ,

AB= 22+ − ( 4)2= 2 5Phương trình đường thẳng AB: x y m m

Chia y cho y’ ta được: y ax= 4+bx2+c

 phương trình đường thẳng A,B là (d): y= − −(m 3)2x+ −11 3mA,B,C thẳng hàng  C thuộc (d) 

đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

Giải:

y f x= ( ) =x4+ 2(m− 2)x2+m2− 5m+ 5 (C m)

.Tìm các giá trị của m để đồ thị m

C

( ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1

tam giác vuông cân

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời cácđiểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.

Giải:

+TXĐ:D=R

+ x0∈ −[ 2;2]

Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT y' 0= có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m 2<

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:

= −

đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam

giác có một góc bằng 1200.

3.2 Bài tập tự luận luyên tập

Dạng 1: Dùng dấu hiệu 1 va dấu hiệu 2 tính cực trị của các hàm số sau:

m

3( ) 3

các số dương, trong đó là 1điểm cực đại.

13

y= x −mx +mx−Tìm m để hàm số có CĐ, CT Sao cho khoảng cách 2 cực trị nhỏ nhất

3 21

13

Khẳng định nào sau đây là đúng?

y x

+ +

=+ Khi

đó giá trị của biểu thức

x= ?

A

4 3 21

3 2

x y x

−

=+

x y x

−

=+

D

2 1

.1

x x y

Khẳng định nào sau đây là đúng

A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x=0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu đạo hàm đổi dấu khi x

f x′′ >

hoặc

0( ) 0

f x′′ <

hoặc

0( ) 0

f x′′ >

A 0 hoặc 1 hoặc 2 B 1 hoặc 2 C 0 hoặc 2 D 0 hoặc 1.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.

A

1.1

x y x

D Đồ thị hàm số

3 2 ,( 0)

y ax= +bx + +cx d a≠

có nhiều nhất hai điểm cực trị

3 2

x y x

−

=+

−

=+

có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 37: Cho hàm số

3 21

4 5 173

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B Hàm số không có cực trị.

C Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 52: Hàm số nào dưới đây có cực trị?

+

=

−

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

1.2

x y

Khẳng định nào sau đây đúng :

A Hàm số có cực đại, cực tiểu B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có cực đại , không có cực tiểu D Hàm số có cực tiểu không có cực đại

A Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B Một điểm cực đại , hai điểm cực tiểu

C 1 điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

D 2 điểm cực đại , 1 điểm cực tiểu.

A

1 0

m m

A

83

m≥ −

53

m> −

53

m≥ −

83

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )1;3 B.Hàm số đạt cực tiểu tại x=3

C Hàm số có giá trị cực tiểu là

1.3

m m

m m

m m

m m

m m

m m

A.0< ≤m 1

01

m m

m m

A Không tồn tại m. B.m=0

01

m m

A Không tồn tại m. B.

3

03

m m

có cựctrị.

A

3

m m

m m

2

y= m+ x −mx +

chỉ cócực tiểu mà không có cực đại

m=

B.

1.2

m= −

C.m=1

D

1.2

m=

Bài 88: Tìm tất cả các giá trị của tham số m

m= −

C

2.3

m=

D.

1.2

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m

để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác códiện tích lớn nhất

1.2

m= −

B.

1.2

để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ

m m

m m

m m

m m

B đồng thời A, B cùng với gốc tọa đọ O không thẳng hàng Khi đó chu vi ∆OAB

nhỏ nhấtbằng bao nhiêu ?

13

m∈ 

D

1.2

( )3

y= x d

A.

45.2

m= ±

B.

0.1

m m

m= ±

Bài 102: Tìm các giá trị của tham sốm

m m

m m

Bài 108: Tìm các giá trị của tham sốm

A Không tồn tại m. B.

14

m= ±

B.

1.2

( ) :d y=x

A.

2.2

m=

B.

2.2

m= −

C.m=0

hoặc

22

m=

2.2

m= ±

3 3 2 3( 2 1) 3

y x= − mx + m − x m− +m

có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của

đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm

m= −

hoặc

1711

m= −

m= −

hoặc

211

M m m

tạo với hai điểm cực

đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

2 3(2 1) 6 ( 1) 1 ( )

y= x − m+ x + m m+ x+ C

một tam giác códiện tích nhỏ nhất

A.m=2

B m=0

C.m=1

D.m= −1

A ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Giá trị cực đại của hàm số y x= − +3 3x 4 là

y x

A.Một cự đại và hai cực tiểu B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại duy nhất D Một cực tiểu duy nhất

Bài 10: Giá trị cực đại của hàm số

m> −

C

23

C ∀ >m 1thì hàm số có cực trị;

D Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Bài 18: Cho hàmsố y=x3-3x2+1 Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng

-=+

Bài 27: Cho hàm số y=3x4- 4 x3 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số không có cực trị B Điểm A -(1; 1) là điểm cực tiểu

C Hàm số đạt cực đại tại gốc tọa độ D Hàm số đạt cực tiểu tại gốc tọa độ

Bài 28: Cho hàm số y=x3- 3x+2.Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực đại tại x = - 1. B Hàm số đạt cực tiểu tại x =1

C Hàm số không có cực trị D Hàm số có 2 điểm cực trị

Bài 29: Hàm số nào sau đây chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

A y= - x3+3x2+2 B

12

x y

x

- +

=+

C

4

2 12

x

D

21

x y x

-=+

-Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số không có cực trị B Hàm số chỉ có 1 cực tiểu và không có cực đại

C Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu D Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại

Bài 31: Hàm số y=3x2- 2x3 đạt cực trị tại

A.x CD =1;x CT =0 B x CD = - 1;x CT =0

C x CD =0;x CT = - 1 D x CD =0;x CT =1

Bài 32: Cho hàm số y= - 2x3+3x2+2. Câu nào sau đây sai?

A.Hàm số đạt cực tiểu trên khoảng

Bài 38: Với giá trị nào của m thì hàm số y=x3+mx2+3x+2m- 1 có cực đại và

m =

C

32

Bài 44: Cho hàm số y= 3 2− x x− 2 Trong các điểm sau, điểm nào có tọa độ sau đây là

điểm cực trị của hàm số đã cho

m m

y x

=+ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

Bài 52: Cho hàm số y=2x− −1 4x−1 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Giá trị cực đại bằng

12

−

B Điểm cực tiểu có tọa độ là

1

; 12

Bài 59: Với m bằng bao nhiêu thì đồ thị hàm số y x= +3 2mx2−mcó hai cực trị thẳng hàng

với gốc tọa độ

13

m=

D m≠3

Bài 60: Cho hàm số y=cos 2x+1, x∈ −( π;0) thì khẳng định nào sau đây sai:

A Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

712

x= − π

B Hàm số đạt cực đại tại điểm

1112

Bài 61: Điểm cực đại của hàm số y x= - 3+ 3x 3+ có hoành độ là:

Bài 62: Hàm số: y= − + +x3 3x 4 đạt cực tiểu tại:

Bài 63: Cho hàm số y= − +x3 3x2 +9x−2 Hàm số này:

A Đạt cực tiểu tại x = 3 B Đạt cực tiểu tại x = 1

C Đạt cực đại tại x = -1 D Đạt cực đại tại x = 3

Bài 64: Hoành độ điểm cực đại của đồ thị hàm số:

4 21

Bài 81: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x= −3 3x2+2x

73

4

y= x − x +

Hàm số có

A Một cực đại và hai cực tiểu B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại và không có cực tiểu D Một cực tiểu và một cực đại

Bài 89: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1 Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng

Bài 91: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x= 4+4x2+2:

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

Bài 92: Trong các khẳng định sau về hàm số

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

Bài 93: hàm số:

3 21

2 5 173

4

y= x − x +

.Hàm số có

A một cực tiểu và một cực đại B một cực đại và không có cực tiểu

C một cực tiểu và hai cực đại D một cực đại và hai cực tiểu

Bài 96: Cho hàm số

4 2

x x

Bài 102: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 103: Trong các khẳng định sau về hàm số

2 41

−

=

−

xy

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 104: Trong các hàm số sau hàm số nào có cực đại, cực tiểu và x CT <x CD ?

A

3 2 2 8 2

y x= + x + x+ B y= − − −x3 3x 2

y x

=+ .Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 Tích x1.x2 bằng

Bài 110: Số điểm cực trị của hàm số

11 2

−

=

−

x y

C Có hệ số góc dương D Có hệ số góc bằng -1

Bài 116: Hàm số f x( )=x3−3x2−9x+11

A Nhận điểm x= −1 làm điểm cực tiểu B Nhận điểm x=3 làm điểm cực đại

C Nhận điểm x=1 làm điểm cực đại D Nhận điểm x=3 làm điểm cực tiểu

Bài 117: Hàm số y=x4−4x3−5

A Nhận điểm x=3 làm điểm cực tiểu B Nhận điểm x=0 làm điểm cực đại

C Nhận điểm x=3 làm điểm cực đại D Nhận điểm x=0 làm điểm cực tiểu

Bài 118: Số điểm cực trị hàm số

2 3 61

π

= làm điểm cực đại

Bài 121: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 122: Trong các khẳng định sau về hàm số

2 41

−

=

−

xy

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 123: Trong các khẳng định sau về hàm số

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

Bài 124: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x= 4+4x2+2:

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị