tích vô hướng của hai vecto

Lời giải Chọn C Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án.. Lời giải Chọn D Phương án A:uuur uuurAB DC.. Lời giải Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a a AB AC BC AB BC AC BC nên lo

CHUYÊN ĐỀ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ.

Cho hai vectơ ar và br đều khác 0r Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OAuuur=ar và OBuuur=br Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ ar và br

+ Quy ước : Nếu a = 0r r hoặc b = 0r r thì ta xem góc giữa hai vectơ ar và br là tùy ý (từ 0 đến 0 180 ).0

+ Kí hiệu: ( )a br r;

b) Tích vô hướng của hai vectơ.

Tích vô hướng của hai véc tơ ar và br là một số thực được xác định bởi: abr r = a br r cos( , )a br r .

2 Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b cr r r, , và mọi số thực k ta luôn có:

ab ba

a b c ab ac

ka b k ab a kb

=

Chú ý: Ta có kết quả sau:

+ Nếu hai véc tơ ar và br khác 0r thì a br ^ �r abr r = 0

+ aar r =ar2 = ar 2 gọi là bình phương vô hướng của véc tơ ar

+ a b(r �r)2 =ar2�2 ab br r+r2, (a b a br +r r)( - r)=ar2- br2

3 Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.

a) Công thức hình chiếu.

Cho hai vectơ AB CDuuur uuur, Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có

AB CDuuur uuur=A B CDuuuur uuur

b) phương tích của một điểm với đường tròn.

Cho đường tròn (O R và điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B Biểu ; ) thức MA MBuuur uuur. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn ( O R Kí hiệu là ; ) P M O/ ( ).

Chú ý: Ta có P M O/( ) =MA MBuuur uuur =MO2- R2=MT2

với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ ar =( ; )x y1 1 và br =( ; )x y2 2 Khi đó

1) abr r =x x1 2+y y1 2

2) ar =( ; )x y �| |ar = x2+y2

a b

a b

+

1 2 1 2

cos( , )

r r

r r

r r

Hệ quả:

2

Chương

+ ar ^ �br x x1 2+y y1 2 =0

+ Nếu A x y( ; ) và A A B x y( ; ) thì B B AB = (x B - x A)2+(y B - y A)2

Câu 1 Trong mp Oxy cho A 4;6 , B 1;4 , 7;3

2

� �

� �

� �

A.uuurAB   3; 2, 3; 9

2

� �

uuur

C. uuurAB  13 D. 13

2



uuur

Lời giải Chọn D

Phương án A: uuurAB   3; 2, nên loại A

Phương án B: uuur uuurAB AC. 0nên loại B.

2

�  �

uuur

AC

2

� �

uuur

2

2 5 13 6

� �

� �

Câu 2 Cho ar và br là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0r Trong các kết quả

sau đây, hãy chọn kết quả đúng:

A.a br r  r ra b B.a br r 0 C.a br r  1 D.a br r   a br r

Lời giải Chọn A

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau

suy ra

 a br r, 00

Do đó a br r  a br r .cos 0o  a br r nên chọn A

Câu 3 Cho các vectơ ar 1; 2 , br   2; 6 Khi đó góc giữa chúng là

A. o

135 Lời giải

Chọn A

Ta có ar  1; 2 , br   2; 6, suy ra   10 2

cos ;

2

5 40

r r

r r

r ra b

a b

a b � a br r; 45o

Câu 4 Cho OMuuuur   2; 1, ONuuur3; 1  Tính góc của uuuur uuur, 

OM ON

2

2

Lời giải Chọn A

2

5 10



uuuur uuur

uuuur uuuurOM ON

Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy cho ar  1;3 ,br  2;1 Tích vô hướng của 2 vectơ a br r.

là:

Lời giải

Chọn A

Ta có ar  1;3 ,br  2;1, suy ra a br r   1 2  3.1 1

Câu 6 Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?

A ar 2; 1  và br   3;4 B ar3; 4  và br  3;4

C.ar    2; 3 và br  6;4 D ar 7; 3  và br 3; 7 

Lời giải Chọn C

Phương án A: a br r 2 3     1 4  �10 0 suy ra A sai

Phương án B: r ra b 3 3     4 4 0� suy ra B sai

Phương án C: a br r    2 6  3.4 0 �ra b suy ra C đúng.r

Phương án D: a br r 7.3    3 7 42 0� suy ra D sai

Câu 7 Cho 2 vec tơ ar a a1; 2,brb b , tìm biểu thức sai:1; 2

A.a b a br r  1 1 a b2 2 B.a br r  a br r .cos , a br r

2

uur uur

a b a b a b D. 1  2 2 2

2

uur uur

a b a b a b

Lời giải Chọn C

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a b a br r  1 1 a b2 2 nên loại A

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a br r  a br r .cos , a br r nên loại B

2

2��    �� 2��     �� 

uur uur r r uur uur uur uur rr rr

Câu 8 Cho tam giác đều ABC cạnh a2 Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.uuur uuur uuurAB AC BC  2uuurBC B.uuur uuurBC CA.  2

C.uuur uuur uuurAB BC AC   4 D.uuur uuur uuurBC AC BA  2

Lời giải Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án So sánh vế trái với vế phải

Phương án A:uuur uuurAB AC AB AC cos 60o 2x�uuur uuur uuurAB AC BC  2uuurBCnên loại A

Phương án B:uuur uuurBC CA BC AC  cos120o  2nên loại B

Phương án C:uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC  AC AC 4, uuur uuurBC CA 2.2.cos120o  2 nên chọn C

Câu 9 Cho tam giác ABC cân tại A , �A120ovà AB a Tính uuuruuur

BA CA

A. 2

2

a

B. 2

2

2

2

Lời giải Chọn B

2

uuuruuur

BA CA BA CA a

nào sau đây đúng?

A.uuur uuurAB AC 0 B.uuur uuurAB AC  uuur uuurAC AB .

C.uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AC BC   AB AC BC  D.uuur uuur uuuruuurAB AC BA BC 

Lời giải Chọn D

Phương án A: Douuur uuurAB AC  AB AC .cos 60o �0nên loại A.

�

uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB AC

AB AC AC AB

Phương án C: Douuur uuur uuur 

AB AC BCvàuuur uuur uuur 

AB AC BC không cùng phương nên loại C

2

uuur uuur uuuruuur a

AB AC BA BC nên chọn D

, C5; 1 .Tính cos A

A. 2

5



5



Lời giải Chọn B

     

   2 2 2  2

cos =

uuur uuur

AB AC A

mệnh đề nào sau đây sai?

2



uuuruuur uuuruuur

OA OC OA AC

C.uuur uuur uuur uuurAB AC. AB CD. D.uuur uuur uuur uuurAB AC.  AC AD.

Lời giải Chọn C

Phương án A:OA OBuuur uuur suy ra OA OBuuuruuur. 0nên loại A

Phương án B:OA OCuuuruuur 0và 1 0

2OA ACuuuruuur suy ra 1 0

2

uuuruuur uuuruuur

OA OC OA AC nên loại B

2

uuur uuur

AB AC AB AC AB AB AB

 cos180  

uuur uuur

AB CD AB DC AB uuur uuur uuur uuurAB AC AB CD nên chọn C

 3;1

A.uuurAB   4; 2, uuurAC 1;7 B.� o

135



3



uuur

BC

Lời giải Chọn B

Phương án A: do uuurAB 4;2 nên loại A

Phương án B:

Ta có uuurAB 4;2 suy ra uuurAB  20, uuurBA   4; 2; uuurBC3; 1  �BC 10

uuuruuur

BA BC

mệnh đề nào sau đây sai?

A.uuur uuurDA CB a  2 B.uuur uuurAB CD  a2

C.uuur uuur uuurAB BC AC a   2 D.uuur uuur uuuruuurAB AD CB CD.  . 0

Lời giải Chọn B

Phương án A:Douuur uuurDA CB DA CB cos  00 a2nên loạiA

Phương án B:Douuur uuurAB CD AB CD .cos180o  a2nên chọn B

lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a ; I là trung điểm của AD

Câu nào sau đây sai?

A.uuur uuurAB DC 8a2 B.uuur uuurAD CD. 0 C.uuur uuurAD AB. 0 D.uuur uuurDA DB. 0

Lời giải Chọn D

Phương án A:uuur uuurAB DC AB DC .cos 0o 8a2nên loại A

Phương án B:uuur uuurAD CD suy ra uuur uuurAD CD. 0 nên loại B

Phương án C:uuurADuuurAB suy ra uuur uuurAD AB. 0nên loại C

Phương án D:uuurDA không vuông góc với uuurDBsuy ra uuur uuurDA DB. �0 nên chọn D

lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a ; I là trung điểm của AD

Khi đó uur uur uurIA IB ID  bằng :

A.9 2

2

a

2

Lời giải Chọn B

2

IA IB ID IA IA AB ID IA ID nên chọn B

A.uuuruuurBA BC 2uuuruuurBA BH B.CB CAuuuruuur 4CB CIuuuruur

C.uuur uuur uuurAC AB BC  2uuuruuurBA BC D.Cả ba câu trên.

Lời giải Chọn D

Phương án A:uuurBC2uuurBH �uuuruuurBA BC. 2uuuruuurBA BH. nên đẳng thức ở phương án A là đúng

Phương án B:CAuuur4CIuur�CB CAuuuruuur. 4CB CIuuuruur. nên đẳng thức ở phương án B là đúng

2

2

1

2

�

�

�

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur

AC AB BC BC BC a

AC AB BC BA BC

thức ở phương án C là đúng

Vậy chọn D

A.uuur uuur uuurAB AC BC a   2 B. 2

8



uuuruuur a

2



uuur uuur a

2



uuuruuur a

CB CK Lời giải

Chọn C

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a a

AB AC BC AB BC AC BC nên loại A

Phương án B:do cos 0o 2

2

CB CK CB CK nên loại B

2

AB AC AB AC nên chọn C

đề nào sau đây sai?

A.uuur uuurAB AD 0 B.uuur uuurAB AC a  2

(uuur uuur uuur uuurAB CD BC AD a  ) 

Lời giải Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án

Phương án A:uuur uuurABAD�uuur uuurAB AD 0 nên loại A

 cos 45 

uuur uuur

AB AC AB AC a nên loại B

Phương án C:uuur uuurAB CD a a  cos180o  a2nên chọn C

50



A.uuur uuurAB BC,  130o B.uuur uuurBC AC,  40o C.uuur uuurAB CB,  50o D.uuur uuurAC CB, 120o

Lời giải Chọn D

Phương án A:uuur uuurAB BC,  1800uuur uuurAB CB,  130o nên loại A

Phương án B:uuur uuurBC AC,   CB CAuuur uuur,  40o nên loại B

Phương án C:uuur uuurAB CB,   uuur uuurBA BC,  50o nên loại C

Phương án D:uuur uuurAC CB,  1800CA CBuuur uuur,  140onên chọn D

O i j cho 2 vectơ : ar  3ri 6rj và br  8ri 4 urj Kết luận nào sau đây sai?

A.a br r. 0. B.ar br C. a br r 0 D. r ra b 0

Lời giải Chọn C

 3;6 ; 8; 4

Phương án A:r ra b 24 24 0  nên loại A

Phương án B:r ra b 0 suy ra ar vuông góc brnên loại B

r r

     1; 2 , 4;1 , 5;4

Lời giải Chọn B

uuur uuur

AB AC

AB AC

 ;  45o

� uuur uuurAB AC

Câu 23. Cho các vectơ ar 1; 3 , br 2;5 Tính

tích vô hướng của a ar r 2br

A.16 B 26 C.36 D 16 

Lời giải Chọn D

Ta có a ar r. 10, a br r.  13 suy ra a ar r 2br  16

 

cos uuur uuur,

AB CA

A.1

2

2

Lời giải Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc uuur uuur, 

AB CA sau đó mới tính cosuuur uuur, 

AB CA

2

Câu 25. Cho hai điểm A3, 2 ,   B 4,3 Tìm

điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M

A.M 7;0 B.M 5;0 C.M 3;0 D.M 9;0 .

Lời giải Chọn C

Ta có A3, 2 ,   B 4,3 , gọi M x ;0 ,x0 Khi đó uuuurAM   x 3; 2, uuuurBM   x 4; 3

3

 

�

Câu 26. ChoA    2; 5 ,  1; 3 ,  5;  1B C   Tìm tọa độ

điểm K sao cho uuurAK 3uuurBC2CKuuur

A.K4;5 B.K4;5 C.K4; 5  D.K 4; 5

Lời giải Chọn B

Gọi K x y ;  với x y, ��

Khi đó uuurAK  x 2;y5, 3uuurBC12; 12 , 2CKuuur2x10;2y2

Theo YCBT uuurAK 3uuurBC2CKuuur nên 2 12 2 10

�

�     

�

5

 

�



có BC a 2.Tính CA CBuuur uuur

A.uuur uuurCACB a  2 B.CA CB auuur uuur  C. 2

2



uuur uuur a

CA CB D.CA CB auuur uuur  2

Lời giải Chọn A

2

2

uuur uuur

CA CB

Tính uuur uuur

AB AD

2

a

Lời giải Chọn A

Ta có uuur uuurAB AD a a .cos90o 0

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy, cho ar 2; 1 

và br  3;4 Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10 B.Độ lớn của

vectơ ra là 5

C.Độ lớn của vectơ br là 5 D.Góc giữa hai vectơ là 90o

Lời giải Chọn D

r

 2 2

r

   

2 3  1 4  �10 0

r r

thức sai:

A.uuur uuurMA AB  MA AB B.uuur uuurMA MB  MA MB

C.uuuur uuurAM AB. AM AB. D.uuur uuurMA MB MA MB.  .

Lời giải Chọn D

Phương án A:uuur uuur,

MA AB ngược hướng suy ra uuur uuurMA AB MA AB  cos180o  MA AB nên loại A

Phương án B:uuur uuur,

MA MBngược hướng suy ra uuur uuurMA MB MA MB  cos180o  MA MB nên loại B

Phương án C: uuuur uuur,

AM AB cùng hướng suy ra uuuur uuurAM AB AM AB .cos 0o  AM AB nên loại C

Phương án D:uuur uuur,

MA MB ngược hướng suy ra uuur uuurMA MB MA MB  cos180o  MA MB nên chọn D

và H là trung điểm BC Tính uuur uuur

AH CA

A.3 2

4

4

2

2

Lời giải Chọn B

o

Câu 32. Biếtar, br �0r và a br r   a br r Câu nào

sau đây đúng

A.arvà br cùng hướng

120

C.arvà br ngược hướng

D A, B, C đều sai.

Lời giải Chọn C

Ta có a br r  a br r � r ra b cos , a br r  a br r �cos , a br r  1nên arvà br ngược hướng

2

 

a b a b , (ar, br

0

�r)

A. o

60

Lời giải Chọn A

a b a b a b a b a b a b nên  a br r, 120o

Đặt vr uuur uuur uuurAB DC CB  Tính r uuur

v AD

A.18 cm2 B.24 cm2 C.36 cm2 D.48 cm2

Lời giải Chọn C

r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

v AB DC CB AB CD BC AD suy ra v ADr uuur AD2 36 cm2

Câu 35. Cho 2 vectơ ra và br có ar 4, br 5

và  a br r, 120o.Tính a br r

Lời giải Chọn A

và đường cao AH , H ở trên cạnh BC sao cho BH 2HC.Tính uuur uuurAB BC.

24 cm

18 cm

Lời giải Chọn A

Ta có uuur uuurAB BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAH HB BC   AH BC HB BC  HB BC  24 cm2

Câu 37. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B1;1

, C5; 1 .Tính uuur uuur

AB AC

Lời giải Chọn D

Ta có uuur uuurAB AC   2 4    1 3  5

 1;3

A.uuurAB 4;2 , uuurBC2; 4  B.uuur uuurABBC

C Tam giác ABC vuông cân tại A D Tam giác ABC vuông cân tại B

Lời giải Chọn C

Phương án A: do uuurAB 2;2 nên loại A

Phương án B:uuurAB 2;2 ,uuurBC0; 4 ,uuur uuurAB BC.  8suy rauuurAB không vuông gócuuurBC nên loại B

Phương án C : Ta có uuurAB 2;2 , uuurAC2; 2 , uuurBC0; 4 , suy ra ABAC 8, 0

uuur uuur

AB AC Nên Tam giác ABC vuông cân tại A Do đó chọn C.

Câu 39. Cho ra 1; 2 , br   1; 3 Tính  r r,

a b

A. a br r, 120o B. a br r, 135o C. a br r, 45o D. r ra b, 90o.

Lời giải

Chọn C

2

r r

r ra b

60



B ,AB a Tính uuur uuurAC CB.

Lời giải Chọn B

2

uuur uuur

12 cm



AC M là trung điểm AC TínhuuuuruuurBM CA.

A.144cm2 B 144 cm2 C 72 cm2 D 72 cm2.

Lời giải Chọn D

uuuuruuur uuur uuuur uuur uuuruuur uuuur uuur uuuur uuur

BM CA BA AM CA BA CA AM CA AM CA

( H ở trên cạnh AC ).Câu nào sau đây đúng

A.uuuruuurBA CA BH HC.  . B.uuuruuurBA CA AH HC.  . C.uuuruuurBA CA AH AC.  . D.uuuruuurBA CA HC AC.  . .

Lời giải Chọn C

Ta có uuuruuurBA CA uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurBH HA CA BH CA HA CA HA CA AH AC      nên chọn C

Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị ar và br thỏa

2

 

r r

a b Hãy xác định 3ra4br 2ar5br

Lời giải Chọn C

1

 

3ar4br 2ra5br 6ar 20br 7 a br r 7

BC sao chouuur uuuur uuur uuuurAB AM. AC AM. 0.Câu nào sau đây đúng

A M là trung điểm của BC B AM là đường phân giác của góc A

C.AM BC D A, B, C đều sai.

Lời giải Chọn C

Ta có uuur uuuur uuur uuuurAB AM AC AM 0�uuuur uuur uuurAM AB AC   0�uuuur uuurAM CB 0 nên AM BC

lớn AB4a, đáy nhỏ CD2a, đường cao AD3a.Tính uuur uuur

DA BC

Lời giải Chọn A

Vìuuur uuur uuur uuur uuur uuurDA BC DA BA AD DC.    uuur uuurDA AD  9a2nên chọn A

9



AC , BC5 Tính uuur uuurAB AC.

Lời giải ChọnB

Ta có uuur uuurAB AC uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuurAC CB AC  AC AC CB AC  AC AC 81nên chọn B.

Câu 47. Cho hai vectơ arvà br Biết ar =2 ,

r

b = 3 và  a br r, 120o.Tínha br r

Lời giải Chọn C

uuuuruuur uuuur

CM CB CM là :

A.Đường tròn đường kính BC B Đường trònB BC; 

khác

Lời giải

Chọn A

uuuuruuur uuuur uuuuruuur uuuur uuuuruuur

CM CB CM CM CB CM CM MB

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC

hợp những điểm M mà CM CB CA CBuuuuruuur uuuruuur.  . là :

A Đường tròn đường kính AB

B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

C Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC

D Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB

Lời giải Chọn B

 

uuuuruuur uuuruuur uuuuruuur uuuruuur uuuur uuur uuur uuuur uuur

CM CB CA CB CM CB CA CB CM CA CB AM CB

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Câu 50. Cho hai điểm A 2, 2 , B5, 2  Tìm M

trên tia Ox sao cho �AMB 90 o

Lời giải Chọn C

Gọi M x ;0 , với ��x Khi đó uuuurAM   x 2; 2 , uuuurBM  x 5;2 Theo YCBT ta có

uuuur uuuur

 

 �

�

� �

 �

�

Trang