tương giao đồ thị

Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục 1 Oxbằng A.. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm A.. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành và trục tung... Đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng B.

 Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ 0 x vào0

là giao điểm của ( )C và 1 ( )C 2

2 Kỹ năng và thủ thuật làm trắc nghiệm

2.1 Sự tương giao của hàm bậc 3:

Phương trình  1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình  1 có “nghiệm đẹp” x 0

Thường thì đề hay cho nghiệm x0 0; 1; 2; � � thì khi đó:

+  C và d có ba giao điểm�phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt �phương trình  2

có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x (Đây là trường hợp thường gặp)0

+  C và d có hai giao điểm�phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt �phương trình  2

có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x0 hoặc phương trình  2 có nghiệm kép khác0

có nghiệm kép là x 0

Trường hợp 2: Phương trình  1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi phươngtrình  1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số m nằm bên

x x x

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt �  1

có ba nghiệm phân biệt

thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 mx cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.2

f x  � x .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất �m 3 Vậy3

m  thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị  C của hàm số y x 3 3x29x m cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt

Phương trình  1 là phương trình hoành độ giao điểm của đường  C :y x 3 3x29x và

đường thẳng :d y  Số nghiệm của m  1 bằng số giao điểm của  C và d.

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y x 3 3x2 9x

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1;0 với hệ số góc k (k�� Tìm ) k để đườngthẳng d cắt đồ thị hàm số ( ) : C y x 3 3x2 tại ba điểm phân biệt , , 4 A B C và tam giác OBC

Vậy k 1 thỏa yêu cầu bài toán.

2.2 Sự tương giao của hàm trùng phương bậc 4:

  C và d có bốn giao điểm �  1 có bốn nghiệm phân biệt�  2 có hai nghiệm dương

phân biệt �phương trình  2 thỏa

000

P S

� (Trường hợp này thường gặp)

  C và d có ba giao điểm�  1 có ba nghiệm phân biệt�  2 có hai nghiệm phânbiệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm t0.

  C và d có hai giao điểm�  1 có hai nghiệm phân biệt �  2 có nghiệm kép dươnghoặc có hai nghiệm trái dấu

Vậy có hai giao điểm: A1;0 , 1;0   B

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x42x2   có bốn nghiệm phân biệt.m 3 0

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d : y  là 1

  

�

  

� �  �� � và m�0 Vậy1

 C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt �  1 có bốn nghiệm phân biệt

�  2 có hai nghiệm dương phân biệt �

2 2

5 24 16 00

50

m m

� x2     x1 x3 x2 x4 x3 �  t1 t2 2 t1 � t2 3 t1 �t2 9t1 (3)

Theo định lý Viet ta có

1 2 2

1 2

3 4 (4) (5)

3 410

9 3 410

 ( )C và d có hai giao điểm �  1

có hai nghiệm phân biệt khác

d c



Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị ( )C :

2 1

2 1

x y x

x  

 Điều kiện:

12

x� Khi đó (1) � 2x 1 2x1 x2 2

 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là

x y x

 d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt �  1 có hai nghiệm phân biệt

�(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1�

mx y x





 có đồ thị là  C m Tìm m để đường thẳng : d y2x cắt đồ1thị  C m

tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB 10.

Lời giải

 Phương trình hoành độ giao điểm:

1

2 12

 d cắt  C m tại hai điểm phân biệt , A B �  1 có hai nghiệm phân biệt

�(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

m�

(*)

 Đặt A x 1;2x11 ;  B x2;2x21với x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2  2 .

 Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

3212

2 22

x y x





 ( )C Tìm m để đường thẳng : d y   cắt ( )2x m C tại hai

điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3

 Suy ra d luôn cắt ( )C tại hai điểm , A B phân biệt với mọi m.

 Gọi A x y 1; 1 ; B x y2; 2 , trong đóy1 2x m y1 ; 2  2x m2 và x x là các nghiệm 1, 2



x y x





 ( )C Tìm k để đường thẳng : d y kx 2k cắt ( )1 C tại hai

điểm phân biệt , A B sao cho khoảng các từ A và B đến trục hoành bằng nhau

3.1 Bài tập tự luận có giải

 Có thể dùng siêu công thức + casio (đã nói chủ đề cực trị):

 Siêu công thức tìm phương trình đường thằng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc ba:

' "

18

y y y

3

m

d y x

Để ( )C cắt trục hoành tại 1 điểm thì pt (1) có 1nghiệm duy nhất, khi đó đồ thị ( )C

không có cực trị hoặc có 2 cực trị nằm 1 phía so với Ox

027

m

m m

m m

m m

( )   � '( )  2   

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất �m 3.

Câu 2.Cho hàm số y f x ( )x3mx22m (Cm) ( m là tham số) Tìm m để đồ thị (C

m) cắttrục hoành tại một điểm duy nhất

m m

Giải:

+TXĐ:D=R

+y�6x26(m1)x6m; y�' 9(m 1)2 36m 9(m 1)2

.+ Nếu m 1 thì y� � 0, x � hàm số đồng biến trên R

 đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất  m 1 thoả mãn YCBT

Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị

 y 0� có 2 nghiệm phân biệt

( ) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt

 (1) phải có nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn:

x x

x1 1 x22

2 2

1 2 2

5 8 1 2

Câu 7.Cho hàm số y x 33mx23(m21)x m( 21) (m là tham số) (1).

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độdương

y

1 0

Câu 9. Cho hàm số y 2x36x21 (C) Tìm m để đường thẳng d y mx:   1 cắt (C) tại

3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 2 , � 0

x x

1 2

3 2

Câu 11.Cho hàm số y x 33mx2(m1)x m 1 (Cm) Tìm các giá trị của m để đường thẳng

d y:  2x m  1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.

Câu 12.Cho hàm số y x 33x2 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểmphân biệt A, B, C sao cho x A 2 và BC 2 2

Giải:.

Với x A 2  y A 4 PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y k x (   2) 4.

PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x33x 2 k x(  2) 4 

m) tại ba điểmphân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2



Câu 15.Cho hàm số y x 33x24 có đồ thị là (C).

Gọi d k là đường thẳng đi qua điểm A( 1;0) với hệ số góc k k( ��) Tìm k để đường thẳng d k

cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thànhmột tam giác có diện tích bằng 1

0 9

Câu 16.Cho hàm số y (2 m x) 36mx29(2m x) 2 (Cm) (m là tham số).

Tìm m để đường thẳng d y:  2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 2) , B và C sao cho diệntích tam giác OBC bằng 13

 Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng  qua E có dạng y k x ( 1).

 PT hoành độ giao điểm của (C) và : (x1)(x22x  2 k) 0

 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  x2 2x   2 k 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  k  3

Câu 18.Cho hàm số y x 33x2mx1 (m là tham số)

Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau

Giải:

+ PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x33x2mx 1 1�x x( 23x m ) 0

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  m m

9

4

Khi đó: x x B, C là các nghiệm của PT: x23x m 0  x Bx C  3;x x B C m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 3x B2 6x Bm và tại C là k2 3x C2 6x Cm

Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau  k k1 2   1  4m2 9m  1 0

Câu 19.Cho hàm số y x 33x1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m 3   .

Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Giải:

+Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x -(m3 3)x m  2 0

Khi đó: x x N, P là các nghiệm của PT: x2   x m 2 0  x Nx P  1;x x N P   m 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 3x N2  3 và tại P là k2 3x P2 3

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau  k k1 2   1  9m2 18m  1 0

�+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau� y x�( M) (y x�N)   1

 (3x M2  6x M)(3x N2  6 )x N   1  9k2 18k  1 0 k

3 2 2 3

(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1

m) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phươngtrình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 2



m m

2 1 2





 có đồ thị là (C).

Chứng minh rằng đường thẳng d: y  x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

31





 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( 1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm

M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN

 f x( )kx22kx k  4 0 có 2 nghiệm phân biệt khác  1

+Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k 1   với k 0 .

Câu 26.Cho hàm số

x y

Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại

hai điểm M, N sao cho MN 3 10 .

Câu 27.Cho hàm số

x y x

2 2 1

2 2

2 1

  

  2x2mx m    2 0 (x�1) (1)+d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 , 2 khác –1 

m2 8m  16 0  (2)

Khi đó ta có:

m

x x m

x x

1 2

2 2 2

10 2

x m

1 (1)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2  cắt đồ thị hàm số (1)tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2 .

Giải:

+PT hoành độ giao điểm:

x x

Câu 29.Cho hàm số

x y x

2 1 1





 .Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y kx 2k1 cắt đồ thị (C) tạihai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau

Giải:

+ PT hoành độ giao điểm:

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B  (*) có 2 nghiệm phân biệt 

2 1



 .Tìm m để đường thẳng d y mx m:   2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độdài AB ngắn nhất

Giải:

+ PT hoành độ giao điểm:

x mx m x

3.2 Bài tập tự luận luyên tập

Câu 1. Cho hàm số

2 1,( )1

a Hai điểm phân biệt

b Hai điểm thuộc 2 nhánh của ( )C

Câu 2. Cho hàm số

1,( )

a Chứng minh rằng đường thẳng  d :y mx m  1luôn đi qua điểm cố định thuộc ( )C

b Tìm m để (d) cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của ( )C

Câu 3. Cho hàm số

2

, ( )1

M của AB khi m biết thiên

Câu 4. Cho hàm số y x 3 3(m 1) x22(m24 m 1) x4 m(m 1),( ) C

Tìm m để ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

Câu 5. Cho hàm số

2 2,( )1

Câu 6. Cho hàm số

2 3,( )1

22;

5

� �

� �sao cho (d) cắt ( )C tại 2 điểm phân

biệt A,B sao cho M là trung điểm của A,B

Câu 7. Cho hàm số

,( )1

Câu 8. Cho hàm số y x  3 x2 18mx2 , ( )m C

Tìm m để ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x sao cho :1, ,2 3

x   x x

Câu 9. Cho hàm số

,( )1

, ( )3

y x  x m C

Tìm m để ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

4 Bài tập trắc nghiệm

4.1 Bài tập trắc nghiệm có lời giải

Câu 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x4 2x2 với trục Ox1 là

 

B  2; 1 ;  1 

; 4 2

Câu 7. Cho hàm số y2x33x2 có đồ thị ( )1 C và đường thẳng d : y x  Số giao điểm1của ( )C và d là

Câu 8. Số giao điểm của đồ thị hàm số

2

4 32

 





x x y

x y x

x y x

x y x





 là

5.2

Câu 24.Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị  C y x:  4 2x2 cắt đường thẳng :3 d y mtại bốn điểm phân biệt là

Câu 28.Cho hàm số y (x 2)x2mx m 23 Tất cả giá trị của thma số m để đồ thị hàm số

đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

.1

m m

m m

m

C

1.3

m�

D

1.3

m

Câu 32.Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   3 2

C y  x  x  m cắt trụchoành tại ba điểm phân biệt là

Câu 33.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình x33x2   có nghiệm duy nhất lớn hơn4 m 0

Câu 35.Cho hàm số y 2x33x2 có đồ thị 1  C như hình

vẽ Dùng đồ thị  C suy ra tất cả giá trị tham số m để phương

trình 2x33x22m0  1 có ba nghiệm phân biệt là

Câu 36.Cho phương trình x33x2   (1) Điều kiện của tham số 1 m 0 m để (1) có ba

nghiệm phân biệt thỏa x1   khi1 x2 x3

BC

B

34.2

BC

C

3 2.2

BC 

D

14.2

BC

x y

Câu 38.Cho hàm số

2 11

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y2x  Đường thằng d3cắt ( )C tại hai điểm A và B Khoảng cách giữa A và B là

AB

C

2 5.5

AB

D

5 5.2

AB

Câu 39.Cho hàm số

2 11

x y x

k k

k k

k k

Câu 44.Cho hàm số y x 3 3x2 có đồ thị4  C Gọi d là đường thẳng qua I 1; 2 với hệ số

m

C.

1.2

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y x m  Giá trị của tham số

m để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB 10 là

Câu 48.Cho hàm số

2 11

x y x

m

4.3

m

Câu 51.Cho hàm số y x 3 3x2  có đồ thị ( )m 1 C Giá trị của tham số m để đồ thị ( )C cắt

trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

Câu 52.Cho hàm số

2 11

x y x

m m

Câu 55.Cho đồ thị  C m :y x 3 2x2 1 m x m  Tất cả giá trị của tham số m để  C cắt m

trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa 1, ,2 3 2 2 2

x   x x là

14

Tất cả các giá trị của tham số m

để  C m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa 1, , 2 3 2 2 2

x  x x  là

A m1 hoặc m 1 B m 1. C m0 D m1

và đường thẳng :d y m Tất cả các giá trị tham số m để

 C cắt d tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB 2 là

5 Bài tập trắc nghiệm luyện tập

Câu 1. Cho hàm sốy  x4 2x2 Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục 1 Oxbằng

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 2. Cho hàm số

2 11

x y x





 Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

A (1;2) B (2;1) C (1;-1) D (-1;1)

Câu 3. Cho hàm sốy ax 3bx2 cx d a, � Khẳng định nào sau đây đúng ? 0

A Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành B Hàm số luôn có cực trị

C Hàm số có một cựu trị D Hàm số không có cực trị

Câu 4. Đồ thị hàm số

2 1 1

x y x

Câu 6. Số giao điểm của đường cong y x 3 2x22x và đường thẳng 11 y  bằngx

x y x

Câu 10.Cho hàm số y x 22x3 có đồ thị (C) Phát biểu nào sau đây sai :

A Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0   1

� �

� �

�

B Hàm số không có cực trị

C Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành và trục tung.

D Đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng

Câu 12.Đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm sốy 2x44x2 khi: 2

A m B 04   C 4m 4    D 0m 0 � �m 4

Câu 13.Cho hàm số y ax 3 bx2  cx d a � 0  Khẳng định nào sau đây sai ?

A Đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng B Tập xác định của hàm số là �

C Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành D Hàm số luôn có cực trị

Câu 14.Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn 1;2 bằng:

A.5 B 2

Câu 15.Cho hàm số y ax 4bx2 có đồ thị như hình bên c

Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào sau đây:

A y  x4 2x23 B y  x4 2x2

C y x 4 2x2 D y x 4 2x23

Câu 16.Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Nhận xét nào sau đây là sai:

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1

B Hàm số đạt cực trị tại các điểm x và 0 x1

C Hàm số đồng biến trên khoảng �;0 và 1;�

D Hàm số đồng biến trên khoảng �;3 và 1;�

Câu 17.Cho hàm sốy x 3 3x2 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y m1  tại 3 điểm phân biệtkhi





 Khi đóhoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A 5 / 2 B 1 C 2 D 3

Câu 20.Đồ thị của hàm số lẻ có tính chất nào sau đây?

A Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng C Nhận trục hoành làm trục đối xứng

B Nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng D Nhận trục tung làm trục đối xứng

Câu 21.Đồ thị của hàm số chẵn có tính chất nào sau đây?

A Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

B Nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

C Nhận trục hoành làm trục đối xứng

D Nhận trục tung làm trục đối xứng

Câu 22.Đồ thị của hàm số bậc ba có tính chất nào sau đây?

A Luôn có trục đối xứng

B Nhận đường thẳng nối hai cực trị làm trục đối xứng

C Luôn có tâm đối xứng.

D Luôn nhận điểm cực trị làm tâm đối xứng

Câu 23.Đồ thị của hàm số trùng phương có tính chất nào sau đây?

A Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

B Nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

C Nhận trục hoành làm trục đối xứng

D Nhận trục tung làm trục đối xứng

Câu 24.Đồ thị của hàm số có tính chất nào sau đây?

A Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

B Nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng