skkn vẽ đường phụ hình học 7

Trong việc dạy học hình học 7 không thể tránh khỏiviệc phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh - một cách rất hay và cũng rất khó Kinh nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai bài toán cơ bản tro

PHẦN 1 : MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ KINH NGHIỆM

1 Tên kinh nghiệm: “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai bài toán cơ bản trong chương I hình học 7 và ứng dụng”

2 Lĩnh vực áp dụng kinh nghiệm: Môn toán lớp 7 học kì I

3 Tác giả:

Họ và tên: Phạm Thị Giang Giới tính: Nữ

Ngày tháng năm sinh: 20/11/1984

Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm Toán - Tin

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hiệp cát

Điện thoại: 01694289239

4 Đơn vị áp dụng kinh nghiệm lần đầu : Trường THCS Hiệp Cát

5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng kinh nghiệm: Phòng học, các sách giáokhoa, sách tham khảo

6 Thời gian áp dụng kinh nghiệm lần đầu: Năm học 2013 - 2014

TÓM TẮT KINH NGHIỆM

Trong trường phổ thông, hình học 7 là sự tiếp nối và phát triển các kiến thức

mở đầu của hình học 6, lâu nay theo đánh giá chung là “nặng” nhất so với phânmôn hình học ở cấp THCS Trong việc dạy học hình học 7 không thể tránh khỏiviệc phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh - một cách rất hay và cũng rất khó

Kinh nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai bài toán cơ bản trong chương I hình học 7 và ứng dụng” được xây dựng từ mô hình hai bài toán cơ bản trong chương I hình học 7 Đó là Bài 57 (SGK tập 1 - Trang 104) và Bài 44 (BTHH7 tập 1 - 116).

Bài toán thứ nhất là Bài 57 SGK còn được gọi với tên gợi hình ảnh là bài

toán “ con cá” Bài toán này cần phải vẽ thêm một đường song song với một tronghai đường cho trước Và từ bài toán này ta khai thác rất nhiều bài toán liên quan:Tính số đo góc, chứng minh hai đường thẳng song song

Bài toán thứ hai là bài Bài 44 (BTHH7 tập 1 – 81: Chứng minh rằng: Nếu

hai góc nhọn và có Ox // O'x'; Oy // O'y' thì Để giải quyếtbài tập này cần phải vẽ thêm đường phụ hoặc xây dựng yếu tố trung gian Từ bàitoán này ta khai thác được nhiều bài tập liên quan :

- Chứng minh hai đường phân giác của hai góc có cạnh tương ứng songsong thì: Hoặc là song song với nhau nếu hai góc cùng nhọn hay cùng tù,hoặc là vuông góc với nhau nếu một góc nhọn, một góc tù

- Qua một điểm vẽ đường vuông góc với tia phân giác của một góc chotrước nhưng bị mờ mất đỉnh của góc

Kinh nghiệm này giúp học sinh lớp 7 bước đầu làm quen với việc vẽ thêmyếu tố phụ, biết tổng hợp các bài toán có nội dung tương tự nhau Trong sách bàitập toán lớp 7 có nhiều bài toán liên quan đến bài toán “ con cá” nhưng được sắpxếp rời rạc, do đó học sinh khó nhận ra sự liên hệ gữa các bài tập này Sau khi áp

dụng kinh nghiệm này thì học sinh có được một hệ thống bài tập mà cách giải đềuphải vẽ thêm một đường song song với một trong hai đường cho trước Do đó khigặp một bài toán tương tự các em không còn lúng túng Mặt khác qua kinh nghiệmnày học sinh sẽ biết sử dụng kết quả của một bài toán vào chứng minh các bài toánkhác ( Ứng dụng kết quả của bài toán 2) Mà đối với việc học hình thì điều này rấtquan trọng Bởi vì không có một bài hình nào độc lập mà nó luôn được khai thác từnhững bài trước và làm nền tảng cho những bài sau.

Kinh nghiệm này sau khi được áp dụng thì đa số học sinh lớp 7 đã biết khaithác, phân tích kết quả của các bài toán để tổng kết thành các phương pháp giải bàitoán, tìm tòi ra cách vẽ thêm đường phụ trong việc giải các bài toán hình không chỉ

ở chương I mà còn ở trong cả các chương khác nữa

Để kinh nghiệm này được ứng dụng rộng rãi thì phải có những tiết họcchuyên đề, giáo viên phải tìm tòi, hệ thống bài tập Mặt khác đòi hỏi người họcphải có đầy đủ SGK, SBT và các công cụ vẽ hình cần thiết Và trên tất cả là sựnhiệt tình của người giáo viên, sự ham học hỏi, tinh thần cầu thị của các em họcsinh

PHẦN 2: MÔ TẢ KINH NGHIỆM

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lí do chọn kinh nghiệm

"Thế giới chung quanh chúng ta là thế giới hình học"

Viện sĩ A.D.Alecxandrow đã chỉ ra như vậy và ông cũng nêu rõ các nhiệm vụ của

môn hình học ở trường phổ thông: ''Hình học về bản chất là sự thống nhất trí tưởng tượng sinh động và lôgíc chặt chẽ, vì vậy dạy học hình học phải kết hợp logic và trực quan Hình học bắt nguồn từ thực tế và ứng dụng vào thực tế nên việc dạy học hình học phải liên hệ chặt chẽ với các môn học khác, với mỹ thuật, với kiến trúc…"

(Theo Hoàng Chúng - Phương pháp dạy học hình học ở trường Trung học cơ sở).

Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy

tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho

nguời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươnlên’’

Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lốidạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’nhằm giúp học sinh :

Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khảnăng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;

Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; Làm cho ‘‘việc học’’ là quátrình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh

tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất

Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí.Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp

và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học

Vậy: Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?

Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên người giáo viên cần phải khôngngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phốihợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài,từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sángtạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại,giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên mộtphong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duymới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học

Ở trường THCS, học sinh được học ba phân môn của toán học, đó là Số học,Đại số và Hình học Trong ba phân môn đó thì học sinh thường gặp khó khăn trongviệc giải các bài toán Hình học Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, tagặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết

vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giảitoán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn

Trên thực tế việc dạy các nội dung có vẽ thêm yếu tố phụ là rất khó khăn, cả

về phía giáo viên lẫn học sinh Nếu giáo viên làm không tốt việc phân tích tại saophải làm như vậy thì ngay cả học sinh khá, giỏi cũng chỉ "lơ mơ" về việc làm đó,thực hiện một cách thụ động mà không biết phân tích, tìm cơ sở cho việc vẽ thêmyếu tố phụ

Chính vì lẽ đó khi dạy hình học 7 giáo viên cần cho học sinh tiếp cận, làmquen, hiểu được mục đích, cũng như cách thức thực hiện và việc vận dụng vào cáctình huống cụ thể khi đưa thêm yếu tố phụ vào hình vẽ

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho

việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì

việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được

bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa,việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bàitoán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tốphụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ nhưvậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đườngphụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽthêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thậtngười giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng khôngcao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưabiết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: đểgiải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán vàbồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các

em những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùngkhi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu

tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động đượccách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽcao hơn

Vì vậy, tôi chọn kinh nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai bài toán cơ bản trong chương I hình học 7 và ứng dụng” với hi vọng giúp các em học sinh biết

cách làm chủ kiến thức của mình, thêm yêu môn toán, tự tin trong quá trình học tập

và nghiên cứu sau này

1.2 Đối tượng nghiên cứu:

Hai bài toán cơ bản trong chương I hình học 7 và các bài toán liên quan

1.5 Các phương pháp nghiên cứu

1.5.1 Nghiên cứu lý thuyết

1.5.2 Phương pháp điều tra

1.5.3 Phương pháp thực nghiệm

1.5.4 Phương pháp thống kê

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề

"Vẽ thêm yếu tố phụ không theo một qui tắc chung nào, mà đó là sự sáng tạo "nghệ thuật" tuỳ theo yêu cầu bài toán, nó giúp:

+ Giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ có thể sẽ bế tắc.

+ Trình bày lời giải một số bài toán hình học hay hơn, gọn hơn.

+ Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức còn hạn chế, mặc dù sau này khi học đến có thể là đơn giản".

(Theo Nguyễn Đức Tấn - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7).

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một sốbài toán dựng hình cơ bản Trong kinh nghiệm này tôi vẽ thêm một đường thẳng songsong dựa vào các kiến thức sau:

- Tiên đề Ơclit: “ Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó” ( SGK toán 7 tập I)

- Hai đường thẳng phân biệt hoặc chỉ có một điểm chung hoặc không có điểm chung nào ( Nghĩa là hoặc song song, hoặc cắt nhau) (SGK toán 6 tập I)

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Hình học là một phân môn mà học sinh cảm thấy rất khó khi học, nhất là hình họclớp 7 Bởi vì đây là năm đầu tiên các em làm quen với hình học không chỉ mang tính chấttrực quan thuần túy như các lớp dưới, mà đòi hỏi phải có tư duy tổng hợp, vận dụng cáctiên đề, tính chất hình học để giải quyết Hơn nữa các bài toán hình học luôn có tínhtương tự, kế thừa và phát triển Kết quả hay cách làm của bài này lại được đem áp dụngcho các bài tập khác Nếu các em tìm được mối liên quan giữa các bài tập thì chỉ cần từmột bài toán cơ bản các em có thể giải được nhiều bài khác

Ngoài ra có nhiều bài hình nếu chỉ vẽ hình dựa trên giả thiết của bài toán thì nhiềukhi đi đến bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa cácyếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Tuy nhiên việc

vẽ thêm yếu tố phụ không phải là một công việc dễ dàng Chính vì lí do đó mà khidạy hình học 7 giáo viên phải cho học sinh làm quen với việc vẽ thêm yếu tố phụ

từ những bài toán cơ bản, từ đó suy ra cách vẽ cho các bài tập khác tương tự

2.3 Bài toán 1 và các bài tập ứng dụng từ bài toán 1

Bài toán 1: Bài 57 SGK tập 1 - Trang 104.

Cho hình vẽ ( a//b), hãy tính số đo x của góc O

Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với a đi qua điểm O.

x

132 0

38 0 O

b a

c

Để có thể áp dụng các tính chất của đường thẳng song song thì phải có đườngthẳng song song nên cần vẽ thêm c // a Thực chất bài toán này có thể giải bằngphương pháp khác (Cũng vẽ thêm đường) như kéo dài AO về phía O cắt b tại Dsau đó áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác mà ta sẽ đề cập đến trong phầnsau Thiết nghĩ, khi ôn tập (bài này nằm trong tiết 14 - 15 ôn tập chương I), giáoviên nên chọn bài này và cần thiết phải giới thiệu qua về phương pháp để học sinhđược tiếp cận Trong khi hướng dẫn học sinh trình bày lời giải, phải làm thế nào đểhọc sinh nêu rõ cách vẽ thêm yếu tố phụ trong lời giải của bài toán

Từ bài toán này giáo viên có thể cho học sinh làm những bài toán mà cũng phải kẻ thêm yếu tố phụ tương tự Sau đây là hai dạng bài:

2.1.1 Bài tập tính số đo góc

Bài 1:

Cho hình vẽ bên, biết mn // pq;

Phân tích: Cho học sinh nghiên cứu điểm giống

nhau giữa hình bê và hình của bài toán 1, để từ đó có cách vẽ thêm yếu tố phụ

Giải:

Hướng dẫn học sinh tương tự như bài toán 1

Ta kẻ đường thẳng xy đi qua O và xy // mn.

Do có mn // pq (gt) và xy // mn ( cách vẽ)

Suy ra xy // pq ( Tính chất ba đường thẳng song song)

Vì mm // xy nên = = 40 0 ( Hai góc so le trong)

Vì tia Ox nằm giữa hai tia OA và OB nên:

= hay 90 0 = 40 0 + suy ra =50 0

Do xy // pq nên = = 50 0

2 1

40 0

y x

q p

n m

O A

n m

Bài 2: Tính số đo của góc x trong hình vẽ sau:

Phân tích: Học sinh có thể tự giải bài tập này sau khi

đã được làm bài toán 1 bằng cách vẽ thêm một

đường thẳng đi qua C, song song với AB

Tương tự như bài 1: Tính được x = 85 0

Bài 3:

Cho hình vẽ,

Phân tích: Bản chất của bài tập này là tính

Học sinh dễ dàng nhận thấy sự tương tự với bài toán 1 và tìm được cách giải

Giải: Từ C kẻ tia CC' // AB Vì AB // DE nên CC' // DE.

Hai góc và là hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song AB

130 0

120 0

E D

C

B A

C'

Hai góc và là hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song

( Cho học sinh tự chứng minh tương tự )

Bài 3: Cho hình vẽ, biết Ax // By ,

Chứng minh Om On.

Phân tích: Khi nhìn hình vẽ học sinh dễ có một nhận định đây là một bài tập mới

nhưng thực sự đây chỉ là một bài toán tương tự như các bài toán mà các em đã thựchiện, có khác chăng chỉ là cách vẽ do vậy chỉ cần hướng dẫn các em thực hiện như các bài toán đã làm là được

n

m O

B A

b 0

a 0

E D

C

B A

tia Oz chia thành hai góc và

Ta có (So le trong)

( So le trong)

Vì Oz nằm giữa hai tia Om và On nên

Om On.

Trong các bài tập trên ta đã đề cập đến một ứng dụng của việc vẽ thêm

đường phụ trong việc tính toán Trong thực tế việc vẽ thêm đường song song còn được vận dụng khá nhiều để chứng minh hai đường thẳng song song Sau đây

chúng ta xét một vài trường hợp được vận dụng:

2.1.2 Bài tập chứng minh song song

Bài 1:

Hình bên cho biết: , ,

Chứng minh rằng: Ax// By

Phân tích: Nhìn vào hình vẽ học sinh có thể nhận ra sự quen thuộc Tuy nhiên giả thiết của bài toán 1 lại trở thành kết luận Song ta hoàn toàn có thể chứng minh

được bài tập này bằng cách vẽ thêm môt đường thẳng đi qua C và song song vớimột trong hai đường Ax hoặc By

Giải:

Từ C kẻ Cz // Ax

(Cz nằm trên nửa mặt phẳng có bờ AC

khác phía với nửa mặt phẳng chứa tia Ax)

Tia Cz chia thành hai góc và .

Ta có = = a 0 (So le trong)

Mặt khác: = = a 0 + b 0

z

2 1

50 0

40 0

y x

n

m O

B A

2

1 z

nên = b 0 =

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Cz // By.

Vậy Ax // By (Cùng song song với đường thẳng Cz)

Bài 2:

Cho hình vẽ:

Chứng minh Ax // By // Cz

Phân tích: Trong bài toán đã cho

Mà hai góc này so le trong nên có thể nhận thấy ngay Ax // Cz Như vậy vấn đề đặt

ra là chứng minh cho Cz // By hoặc Ax // By

Việc chứng minh dễ dàng thực hiện được bằng cách vẽ thêm tia Cz’ là tia đối của tia Cz Bài toán được giải chi tiết như sau:

Giải:

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax//Cz

Kẻ tia Cz' là tia đối của tia Cz.

Do tia Cz' nằm giữa hai tia CA và CB nên do vậy

Ta có Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên Cz' // By hay

Cz // By Vậy Ax // By // Cz.

Bài 3: Cho , A Ox

Kẻ tia Am trong sao cho

2.2 Bài toán 2 và các bài tập phát triển từ bài toán 2

Bài toán 2: Bài 44 (BTHH7 tập 1 - 81):

Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn và có Ox // O'x'; Oy // O'y' thì

x

B

O A

2 1

x

B

O A