SKKN VẼ ĐƯỜNG PHỤ VÀ YẾU TỐ TRUNG GIAN TRONG CM HÌNH HỌC

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời

và lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được

sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay.

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, cứ như thế chúng ta sẽ tìm

ra được những kết quả thú vị

Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa về hình huống quen thuộc để

có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết Ngoài việc phải vẽ hình chính xác, tổng quát theo

dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) thì một trong các biện pháp có hiệu quả là sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học thông qua vẽ hình phụ Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý Vì vậy, cần thiết có thể bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực này Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, 9 chúng tôi đã tích cực, tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em học sinh bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai thác bài toán Ở đây tôi không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở Mà chúng tôi chỉ muốn nêu lên một số cách hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 8, 9 thông qua việc vẽ hình phụ và sử dụng yếu tố phụ đó để chứng minh.

Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895

Với các lí do trên, chúng tôi xin trình bày đề tài “Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp 9 THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam.

2 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS

PHẦN THỨ HAI.

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài.

*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc.

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh khác nhau.

- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu có các mối liên hệ nào khác nữa không?

- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.

*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó

- Rút ra các kinh nghiệm giải toán.

- Tìm thêm các cách giải khác.

- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới.

- Biết tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để tìm hướng giải quyết

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:

- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại,

mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân để tìm hướng giải quyết ngắn gọn hơn.

- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

- Học sinh yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán chứng minh hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập, không có sự liên hệ, không có sự khai thác triệt để Đa số học sinh sử dụng sách giải, vở bài tập của các bạn học sinh để giải quyết vấn đề bài tập nhà.

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung Một số giáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có cơ sở giải quyết các bài toán chứng minh.

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán

sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các

em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán.

- Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy học sinh có lỗ hổng ngay

từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 8 nói chung, việc vận dụng yếu tố trung gian của học sinh còn lúng túng, chưa nhận biết và biết khi nào thì cần vận dụng vào chứng minh bài toán hình

Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh khối lớp 9 năm học 2008

-2009 khi giải bài toán có vận dụng yếu tố trung gian trong chứng minh đã có kết quả như sau:

Qua điều tra thử nghiệm với học sinh đang học lớp 9 tôi thấy số học sinh có thể vận dụng yếu tố trung gian cũng như vẽ hình phụ trong chứng minh hình học chỉ có em đạt %, số còn lại thì không biết cách giải hoặc giải không hoàn chỉnh.

Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895

Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp.

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận.

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn

có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không?

Trong đề tài này, tôi xin minh họa bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài toán quen thuộc để tìm ra hướng giải quyết Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.

IV NỘI DUNG CỤ THỂ :

Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác Sau đây là ví dụ minh hoạ:

Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận.

Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau ( Hai đại lượng bằng nhau)

Bài tập1.1: Cho ABC, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I CMR: I thuộc đường phân giác góc A

Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai hướng giải

quyết như sau:

- Chứng minh: BAI· =CAI·

- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.

- Vậy với điều kiện như trên ta cần thể hiện điều gì ?

- Để cm: BAI· =CAI· ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?(yếu tố này khó khăn)

- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.

- Điểm I có đặc điểm gì? So với các cạnh của góc B, góc C ?

- Từ đặc điểm đó ta cần thể hiện điều gì? ( kẻ các đường vuông góc IM, IN, IP)

P N

M

I

C B

A

P N

M

I

C B

A

2 1

2 1 F

E

D I

C B

Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1)

Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IN = IP

=> I thuộc đường phân giác góc A.

Bài tập 1.2: Cho ABC vuông tại A, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Gọi

N và P là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AB, AC CMR: AN = AP.

Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh: AN = AP ta cần có

hướng giải quyết nào?

- Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP bằng nhau.

- Chứng minh: ANIP là hình vuông

Với cơ sở đó ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A Như vậy ta có thể khai thác tương tự

như bài tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.

Bài tập 1.3: Cho ABC, kẻ các đường phân giác của góc BD và CE cắt nhau tại I, BAC  600 CMR: ID = IE

Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh điều gì?

- Để cm: ID = IE thông thường, ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?(yếu tố này khó

khăn) Vì vậy yếu tố được đặt ra là đoạn thẳng trung gian.

- Với yếu tố đề cho ta có được kết quả gì?

- Ta có thể tính ·BIC được không? ( BIC· =1200)

- Như vậy ·CID ?= Ta có thể liên tưởng được gì từ kết quả này?

- Kẻ phân giác IF của ·BIC và chứng minh ID = IE

(sử dụng yếu tố phụ ở đây là đoạn thẳng trung gian IF)

Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895

43

C

BA

D

I

M K C

B O

Phân tích tìm lời giải:

- GV: Để chứng minh B và C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều gì ? (OB= OC; O  BC)

- Ở đây ta chỉ xét chứng minh OB =OC.

- H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều gì ? ( chứng minh hai tam giác bằng nhau dài)

o ( Yếu tố trung gian được đặt ra ở đây là đoạn thẳng OA)

o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ ở đây là đoạn thẳng OA

Lời giải: Ta có C và A đối xứng nhau qua Oy

 Oy là đường trung trực của AC  OC = OA (1)

Ta có B và A đối xứng nhau qua Ox

 Ox là đường trung trực của AB  OB = OA (2)

Từ (1)&(2) OB = OC

Chứng minh tiếp tục để được O là trung điểm BC

Bài tập 1.5

Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011)

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc AB Gọi K là điểm nằm giữa B và C Tia AK cắt đường tròn (O) ở M.

a/ Tính ACB, AMC

b/ Vẽ CI vuông góc với AM ( I  AM ) Chứng minh AOIC là tứ giác nội tiếp.

c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB

d/ Nếu K là trung điểm CB Tính tgMAB

Phân tích tìm lời giải:

F E

D

C B

A

- Ở đây ta chỉ xét câu b và câu c

- H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì?

Cách 1: A, O, I, C cùng cách đều một điểm cho trước

2

Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc.

Lời giải: Cách 1: Gọi D là trung điểm AC.

Từ (1) & (2) => A, O, I, C cùng thuộc đường tròn (D) đường kính AC

Suy ra: AOIC nội tiếp

Phân tích tìm lời giải:

- H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực hiện như thế nào?

- H: Nhận định gì về tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian ở đây là AC2 )

Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB

Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng gấp đôi

Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình của tam giác : Đường trung bình của tam giác thì song

song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Cách 1:

Phân tích tìm lời giải:

- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng BC được không ?

- Ta có thể tăng gấp đôi đoạn thẳng DE để bằng đoạn thẳng BC được không ?

( Xác định điểm trung gian F )

- Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF; BD = CF)

- Cm: ADE = CFE.

Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895

E D

C B

A

K F

M A

Phân tích tìm lời giải:

- Củng với yêu cầu trên ta có thể khai thác theo khía cạnh làm giảm ( Định lý 1 đã học trước)

- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng DE được không ?

- Ta có thể đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng DE được không ? ( Kẻ EF//AB; xác định điểm trung gian F )

- Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì? ( DE // BF; DE = BF)

- Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh bằng nhau)

Bài tập 2.2: Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF Chứng

minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF.

Phân tích tìm lời giải:

- Với yêu cầu như vậy ta có hai hướng giải quyết

o Thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi.

o Thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.

- Cách thứ nhất : Ta có thể tăng BM gấp đôi.

- Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ ở đây là điểm N)

- Khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF ( sử dụng đoạn thẳng trung gian ở đây là BN)

K F

M A

K F

M A

B

C

D

E

- Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).

- Hình bình hành ABCN và chứng minh được cặp tam giác bằng nhau BDF = CNB (c.g.c)

- Từ đó sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = 1

2DF.

Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N

- Tứ giác ABNC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )

*Cách thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.

GV: Đoạn thẳng nào bằng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình của BDF)

GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian là đoạn thẳng HK)

Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều gì ? (1

2DF = BM hay HK = BM) Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều gì ?

( BHK = PMB ) (yếu tố phụ ở đây là điểm P)

Lời giải: Gọi H là trung điểm BD; K là trung điểm BF.

Phân tích tìm lời giải:

- H: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải làm gì? ( Tìm tâm đường

tròn và bán kính)

- H: Điểm nào có thể cách đều các điểm đó ( GV gợi ý: điểm nào cách đều B và C )

- Xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OE ( O là trung điểm của BC )

- GV: Hãy xác định các đoạn thẳng bằng nhau? ( OD OE OB OC 1BC

2

Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895

E

D

C B

Phân tích tìm lời giải:

- H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì?

- Sử dụng các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song?

- H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào?

( Yếu tố trung gian ở đây là: ·PAB; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng AB)

x

Q

P

O' O

B A

T P

2sđ»AB(2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung AB)

Từ (1) & (2) => ·AQB=·xPB => AQ //Px ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Phân tích tìm lời giải:

- H: Để chứng minh: APO· =PBT· ta cần chứng minh điều gì ?

- H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?

(·APO=? ·PBT=1

2sđ»PB)

- H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào?

( Yếu tố trung gian ở đây là: ·PAB; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng OP)