SKKN Hướng dẫn HS vẽ đường phụ trong hình học

Kẻ thêm đờng phụ để giải một bài toán hình về mặt phơng pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó.... Do

Mục lục

1 Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 2

2 Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 3

định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra đợc một đờng phụ liên kết tờng minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác t duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đờng phụ là một sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đờng phụ để giải một bài toán hình về mặt phơng pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một

định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen ở đó khoảng cách từ lạ

đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán hình có

lời giải phải kẻ thêm đờng phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ

và t duy khoa học của học sinh

1.2- Cơ sở thực tiễn:

Giải bài toán hình có kẻ thêm đờng phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác t duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt t duy hình học thuật phát triển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đờng phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đờng phụ

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đờng phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đờng kẻ phụ cũng nh kiến thức về một

số loại đờng phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn

Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên

để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm

đờng phụ

2 Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm:

Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ thêm đờng phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến thức này cho học sinh Với việc phân dạng đợc các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ, đồng thời đi sâu vào hớng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện

để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phơng pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đờng phụ

II NỘI DUNG

- Thời gian điều tra: Bắt đầu t ngày 15/09/2010

- Tổng số học sinh đợc điều tra: 78 em

- Thống kê điều tra nh sau:

01 Số học sinh nắm đợc sơ lợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %

02 Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng sử dụng trong giải toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%

03 - Số học sinh dựng đợc các đờng kẻ phụ hợp lý và giải đợc một số bài toán trong chơng trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%

04 Số học sinh lúng túng, cha giải quyết đợc các bài toán hình học có vẽ thêm

đờng phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %

05 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài toán tơng đối khó : 0 em chiếm 0%

2 Quá trình thực hiện:

Trớc hết giáo viên cần giúp học sinh thấy đợc và nắm vững các yêu cầu khi vẽ (dựng) các đờng phụ

2.1 Các yêu cầu khi vẽ các đờng phụ.

01- Vẽ đờng phụ phải có mục đích:

Đờng kẻ phụ, phải giúp cho đợc việc chứng minh bài toán Muốn vậy nó phải

là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tơng tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết đợc mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không đợc vẽ đờng phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đờng phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi vẽ đ-ờng phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đờng phụ này có đạt đợc mục đích mình muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ ngay

02- Đờng phụ phải là những đờng có trong phép dựng hình và phải xác

định đợc.

03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đờng phụ:

Đờng phụ thờng thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đờng phụ là rất quan trọng Tuy cùng là một đờng phụ vẽ thêm nhng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

04 Một số loại đờng phụ thờng đợc sử dụng trong giải toán hình ở chơng trình THCS.

a) Đờng phụ là điểm:

Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ số thích hợp

Xác định giao điểm của các đờng thẳng hoặc đờng thẳng với đờng tròn.

b) Đờng phụ là đờng thẳng, đoạn thẳng:

- Kéo dài một đờng thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trớc hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng đã xác

định

- Từ một điểm cho trớc dựng đờng vuông góc với một đờng thẳng xác định

- Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc

Dựng đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc hợp thành với đờng thẳng khác một góc bằng góc cho trớc

- Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với đờng tròn cho trớc

- Hai đờng tròn giao nhau thì dựng đợc dây cung chung

- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ đợc tiếp tuyến chung hoặc

đờng nối tâm

Vẽ tia đối của một tia

Dựng các đờng đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác,

đờng cao)

c) Đờng phụ là đờng tròn:

- Vẽ thêm các đờng tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có

- Vẽ đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn hoặc đờng thẳng đã có

- Vẽ đờng tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác

Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đờng phụ, giáo viên cần phân dạng

đ-ợc các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ

2.2 Các cơ sở để xác định đờng phụ:

03- Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan

hệ để giải quyết bài toán.

04- Kẻ thêm đờng phụ để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng.

05 Kẻ thêm các đờng phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tơng

đ-ơng để giải quyết bài toán.

2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đờng phụ:

01 Dựa vào các bài toán đã biết:

Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tơng đồng rồi từ đó vẽ đ-ờng phụ thích hợp để đa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD

= AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC CMR: CE = CD

Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đờng phụ

Phân tích:

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

A

C M

D

B E

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE =CM hoặc CE = DM Chọn CE = CM

Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh đợc:

∆ EBC = ∆ MBC thì ta có đợc CE = CM là điều phải chứng minh

Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC,

hai tam giác này bằng nhau theo trờng hợp c.g.c

Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể

đa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:

- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào?

- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ nào và chứng minh

b Kẻ IO, hãy tính góc KIO

c Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?

Đứng trớc bài toán này tôi hớng dẫn học sinh nh sau:

Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểm của 2 đờng phân giác góc B và góc C

Nên có 2 cách giải câu a) khác nhau sau:

Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOL

Góc ∠KOL= 180 0 − (OKL OLK+ ) nhng KO, LO lần lợt là tia phân giác góc B, góc

K

OD

Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nên ta

kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giác LOI

1 2

KOD OKI KIO IKL KOI

1 2

LOD OLI LIO ILK LOI

(Sách giáo khoa Toán 8 tập 2)–

ở SGK ngời ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AD tại E

Mổ xẻ

Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ nh vậy?

Nếu không kẻ thì có chứng minh đợc không?

- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?

Câu trả lời mong đợi:

- Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số bằng nhau) và tạo đợc hai

đoạn thẳng bằng nhau (dựa vào tam giác cân)

Tôi tự hỏi và cùng đa ra cho học sinh cùng tháo gỡ

Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh đợc định lí không?

Có rất nhiều ý kiến

Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mong đợi của tôi

Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có đợc 9 đến 10 cách giải khác nhau ứng với các cách kẻ của hình vẽ

Để ∆AEB~ ∆ADC suy ra tỉ số và ∆BEDcân tại B

- Khi đó phải chứng minh đợc

Tam giác ABE cân tại A

- Khi BE//AD vận dụng định lí Te lét

- Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF

- Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFC

A

CE

Hình 1

D

AE

AE

Từ kẻ Bz//AD cắt Cy tại G, AD cắt Cy tại F.

Với các cách giải trên tôi tìm hớng khai thác định lí này:

Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200, phân giác góc A căt BC tại D

F

AE

Fx

A

02 Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ

để giải quyết bài toán:

Đối với trờng hợp này (dạng này) thờng là các bài toán chứng minh các đờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến

Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD và

N là một điểm trên đờng chéo AC sao cho BNM 90ã = 0 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N, chứng minh:FB ⊥ AC

Ta phân tích nội dung kẻ đờng phụ và gợi ý chứng minh

Phân tích:

Ta thấy ãBFClà một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180O thì có FBC BCF BFC 180ã +ã +ã = 0, nhng ta cha thể tính đợc FBC BCFã +ãbằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra đợc số đo góc ãBFC Vậy không

thể vận dụng định lý trên để chứng minh

- Nhng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của

đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này bằng cách nào?

Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hớng dẫn các em có thể tự đặt ra các câu hỏi nh vậy

=================================================================== Email: DinhGv@gmail.com

F

C

M

D A

B E

I K

=================================================================== Liệu BF có là đờng cao của ∆ BNC đợc không?

Để chứng minh BF là đờng cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?

Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC

Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E

Gọi giao điểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh đợc CI //

MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một đờng cao của

- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đờng gì của

∆ BNC?

- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có điểm nào?

- Ta phải kẻ thêm đờng phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đờng cao của ∆ BNC?

- Với NE là đờng cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh I là

điểm có tính chất gì?

Ví dụ 4: Cho ∆ABC M là 1 điểm bất kỳ trong ∆ Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lợt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H Chứng minh rằng: MK = MH

Đây là một bài toán tơng đối khó với học sinh

? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết của định lý nào gần với

nó nhất?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet

- ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC đợc chia thành mấy đoạn nhỏ?

- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải nh sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q

Ta có: Theo định lý Talét

MK MH MK

MH

CA

BA BA

CB CB

CA MQ

MP MK

MQ MP

MH

CA

BA MQ

MP

BA

BC MK

MQ

CB

CA MP

'

' ' ' '

03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đờng phụ

Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó Chứng minh rằng OA + OC < AB + BC

Hớng dẫn:

- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ?

- Bài này áp dụng bất dẳng thức của tam giác hay không?

- Nếu đợc ta phải bắt đầu từ đâu?

K H

M A

A'

B' C'

===================================================================Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinh

Tìm hớng chứng minh

áp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có:

∆ABC có AB BC AC mà AC OA OC+ > < +

Vậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hớng giải

Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ Kẻ thế nào đây?

Kẻ BO hay kéo dài CO

Những câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn

Từ đó ta dùng phơng pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại M

GiảiXét tam giác AOM có OA < OM + MA

Muốn có vế bên trái ta chỉ việc cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên,

ta có: OA + OC < OM + MA + OC

hay OA + OC < CM + MA (1)Xét tam giác MBC có: MC < MB + BC muốn tìm vế bên trái của (1) ta cộng hai vế của

OA + OB < AC +BC (b)

OB + OC < AB +AC (c)Vì thế cộng vế với vế của (a), (b) và (c) ta đợc:

OA + OB + OC < AB + BC + AC

Và một điều hiển nhiên ta có bài toán sau:

Gọi điểm O là một điểm nằm trong tam giác ABC

AM

O

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,

ở đây GV cần hớng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra

đợc các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay đợc

- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?

Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng

- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa về dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng BC2 =AC2 +AC AB ⇐BC2 = AC AC AB( + )

Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh

hệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB+AC

- Từ đó học sinh đa ra hai cách vẽ đờng phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB

? Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng đợc giả thiết àA=2Bà

?

Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB

Từ đó ta có lời giải

Giải:

Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB

Khi đó ∆ABC cân tại A nên:

AB AC AC

AB AC AC AD

AC AC CD AC BC

BC

AC CD

BC

)

( )

Nh vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm

đờng phụ không chỉ đơn thuần là đa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đờng phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đa vào gợi mở để cho học sinh tìm đợc lời giải cho từng bài toán cụ thể Trong quá trình

đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đờng phụ trong giải các bài toán hình học

2.4 Một số bài tập đã hớng dẫn học sinh giải

Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngại tiếp cac tam giác

p AC

+ =

− với p là nửa chu vi của tam giác ABC.

Bài 5 :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lần lợt lấy hai điểm M và N

sao cho OM +ON = 2a không đổi

a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định

b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất

Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đờng tròn (O) gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC

và AB Kẻ các đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh các

đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy

Bài 7: Cho đờng tròn (O) và một điểm A bên trong đờng tròn đó kẻ cát tuyến BAC

bất kỳ Gọi (P) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B

(Q) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C

a) Tứ giác APOQ là hình gì ?