Một số phương pháp vẽ đường phụ cho học sinh lớp 7 trường THCS nhữ bá sỹ thị trấn bút sơn đạt kết quả cao

Muốn vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản của môn hình học mà còn phải cung cấp cho học sinh những phương pháp để giải các dạng bài tập khác nhau.. -Mụ

1 MỞ ĐẦU

- Lý do chọn đề tài:

Toán hình là môn học mà đại đa số học sinh đều cho đây là môn học khó.

Vì đây là môn học không chỉ nhằm rèn luyện tư duy, trí thông minh, sáng tạo cho mỗi học sinh mà nó còn là một môn khoa học cơ bản tạo tiền đề vững chắc cho các môn học khác, tạo vốn sống cho học sinh trong tương lai

Làm thế nào để học sinh thích thú học toán, nhất là môn hình học, đây là vấn đề mà mỗi giáo viên dạy toán cần phải suy nghĩ và quan tâm?

Từ những yêu cầu trên, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta chỉ dạy hình học bằng cách cung cấp cho học sinh những kiến thức trong sách giáo khoa thì việc học toán sẽ trở nên nhạc nhẽo, chưa thật đạt yêu cầu Việc cung cấp kiến thức SGK rồi giải bài tập không phải là việc khó, nhưng thật ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú Muốn vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản của môn hình học mà còn phải cung cấp cho học sinh những phương pháp để giải các dạng bài tập khác nhau Từ đó, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú khi học bộ môn mà người ta hay gọi là “môn học khô khan” này Không, toán học không khô khan mà đằng sau nó có bao nhiêu điều thú vị, mà đặc biệt là đối với bộ môn hình học - một môn học trừu tượng

Thực tế cho thấy toán vẽ đường phụ có nhiều trong chương trình THCS, nhưng không được hệ thống thành những phương pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này Mà các bài toán có liên quan tới vẽ đường phụ hầu như có mặt ở đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông

-Mục đích nghiên cứu

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán

hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển

năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

- Đối tượng nghiên cứu

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát triển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này

và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với

đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn

Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ

Trong khuông khổ đề tài này, tôi sẽ trình bày “Một số phương pháp vẽ

đường phụ cho học sinh lớp 7 đạt kết quả cao’’ trong việc dạy học bồi dưỡng

học sinh khá, giỏi lớp 7 Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải vẽ đường phụ một cách nhanh chóng và hiệu quả, phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

- Phương pháp nghiên cứu:

Thực tế trong chương trình ở SGK trung học cơ sở có nhiều bài toán để giải được cần vẽ thêm đường phụ, vì thế giáo viên thật khéo léo hướng dẫn và hình thành cho học sinh những suy nghĩ và xuất phát điểm để vẽ đường phụ Một số loại đường phụ thường vẽ như sau:

a - Vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước từ một điểm cho trước

b - Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước

c - Vẽ tia đối

d - Vẽ đường phân giác của một góc cho trước

e - Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

f - Vẽ tam giác đều

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Khi giải các bài toán hình học, việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải bài toán, nhưng biết tạo ra đường phụ một cách thích hợp không phải lúc nào cũng dễ dàng Qua thực tế giải toán cần cho học sinh thấy được phần nào vai trò quan trọng của việc vẽ đường phụ trong chứng minh hình học Có nắm kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện bài toán mà tìm cách thích hợp để giải bài toán

Như vậy vẽ đường phụ cũng là một kĩ năng trong giải toán hình học, nếu không có mối liên quan nào giữa giả thuyết và kết luận thì nên nghĩ ngay đến vẽ đường phụ, đó là điều mà học sinh cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể Không thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ, ngay trong cùng một bài toán có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau Vì vậy khi chứng minh định lí hay giải bài toán hình, giáo viên cần hình thành cho học sinh một số cách vẽ đường phụ và cần phân tích rõ xuất phát từ đâu mà ta vẽ đường phụ như thế này?

2.2 Thức trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu

và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau:

- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 7E, 7H trường THCS Nhữ Bá

Syw-TT Bút Sơn, năm học 2015-2016

- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 15/09/2015

- Tổng số học sinh được điều tra: 69 em

- Thống kê điều tra như sau:

01 Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải Toán THCS có: 30 em chiếm 43,5 %

02 Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong giải toán THCS có: 25 em chiếm 36,2%

03 - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một

số bài toán trong chương trình toán lớp 7 gồm có: 15 em chiếm 21,7%

04 Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có

vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 34 em chiếm 49,2 %

05 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 4 em chiếm 5,7%

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

a - VẼ THÊM ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.

Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho biết:

ACB > xAC và Ax // By

Chứng minh: ACB = xAC + CBy  

y

x

B C A

z

y

x

B

C

A Chứng minh: - Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AC chứa tia CB, vẽ tia Cz sao cho: Cz //

Ax  Cz // By

 ACz xAC  (so le trong, do Cz // Ax)

và zCB CBy  (so le trong, do Cz // By)

vì xAC ACB   ACz ACB  tia Cz nằm giữa hai tia CA và CB

 ACB ACz zCB    = xAC CBy Vậy ACB xAC CBy  (đpcm)

Bài 2 : Cho tam giác ABC có (AB < AC) Gọi M là trung điểm của BC Từ M

kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N, cắt tia AB tại E

và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng : BE = CF

Bài giải:

Qua B kẻ đường thẳng song song với

AC, cắt EF tại D

Xét MBD và MCF có :

 

DBM FCM (so le trong)

MB = MC (giả thiết) ;

BMD CMF (đối đỉnh)

Do đó: MBD = MCF (c.g.c) suy

ra BD = CF (1)

Mặt khác : AEF có AN vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại

A, suy ra  E MFA Mà BDE MFA (đồng vị) nên BDE E 

Do đó: BDE cân tại B, suy ra BD = BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra : BE = CF (đpcm)

Bài 3: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm D, E sao cho BD = CE , qua D

và E vẽ các đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và G

Chứng minh: DF + EG = AB

F

H G

B D E C

A

Chứng minh:

- Kẻ DH // AC (H  AB)

Ta có: DF // AB (gt)

 AH = DF (t/chất đoạn thẳng chắn)

- Xét BHD và EGC có:

 

B GEC (đồng vị, do AB // EG)

BD = EC (gt)

HDB C (đồng vị, do HD // AC)

 BHD = EGC (g.c.g)  BH

= EG

 AB = AH + HB = DF + EG Vậy: AB = DF + EG (đpcm)

b - VẼ THÊM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

CHO TRƯỚC:

Bài 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H Trên cạnh BC lấy điểm

M bất kì ( khác B và C) Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB,

AC, BH

a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB

b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi

c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH Chứng minh BC

đi qua trung điểm của DK

Bài giải:

a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB

(ch-gn)

b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB

(ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1)

+) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME =

FH (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH

= BH

BH không đổi  MD + ME không đổi

(đpcm)

c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là

giao điểm của DK và BC

+) Chứng minh : BD = FM = EH = CK

+) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) 

DP = KQ(cạnh tương ứng)

+) Chứng minh : IDP IKQ  ∆DPI =

∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm)

I

A

H

M

E F

D

K

Q P

Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I và

ID = IE Chứng minh rằng B=C hay B + C  120 0

Bài giải:

Qua I kẻ IH AB và IK AC , Do I là

giao điểm của hai đường phân giác nên

IH IK và ID IE gt   nên

  (cạnh huyền, cạnh góc

vuông) nên suy ra ADB BEC (1)

a) Trường hợp K AD H BE ;  thì

ta có BEC A  12C ( BEC là góc

ngoài của AEC) (2)

2

ADB C  B ( ADB là góc ngoài của

DBC

 ) (3) Từ (1); (2) và (3)

 1  1 

 1  1  2   3    1800  600   1200

b) Nếu H AE và K DC thì suy ra tương tự trên ta có C B    120 0

c) Nếu H EB và K DC thì A12C A  12B C B 

d) H AE và K DA thì C 12 B B 12C  C B 

Vậy cả bốn trường hợp trên ta luôn có B=C hoặc C B    120 0

Bài 3 : Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD, ACE với B=C  90 0

a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng HA tại

K Chứng minh rằng DC BK

b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy

Bài giải:

a) Chứng minh DC BK :

Ta có BEC KCA  cùng phụ với KCE

HKC HBE cùng phụ với KIE nên suy

ra KAC ECB và AC = CE (gt) nên

 . 

KAC BCE g c g

  suy ra KA = BC

Mặt khác ta có BD =AB ; KAB DBC  ;

KA = BC nên

 . 

DBC BAK c g c

  suy ra BKH DCB

và HKB KBH   90 0 suy ra DCB KBH   90 0  BMC  90 0 ( với M giao điểm của

DC và KB) nên DC BK tại M

b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy tại I

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB, AC Kẻ NHCM tại H Kẻ HE AB tại E Chứng minh rằng tam giác ABH cân và HM là phân giác của góc BHE

Bài giải:

Từ A ta kẻ AKCM tại K và

MAK và NCH có MA = NC =12AB

ACH MAK (cùng phụ với góc KAC)

nên MAK NCH (cạnh huyền, góc

nhọn) Suy ra AK = HC (1) Ta lại có

 .   

tam giác vuông AQN và CHN có NA =

NC và ANQ HNC (đ.đ) nên

(cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra AQ = CH (2) Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ nên

HA là tia phân giác của góc KHQ suy ra

Từ

AKB BKH AKH    BKH  Tam giác AKH có KHA 45 0nên nó vuông cân tại K KA KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ;

tam giác BAH cân tại B

Ta có KHB MAK và KE // CA nên ACH EHM (đồng vị) vì ACH MAK suy

ra EHM MHB nên HM là tia phân giác của EHB

Bài 5: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A Chứng minh rằng : MA BC

Bài giải:

Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN

kẻ DQ  AM tại Q

Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì :

AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA DMN  ( hai góc đối đỉnh)

 DN = AE ( = AC) và AE // DN vì

1

N MAE ( cặp góc so le trong )

 EAD ADN    180 0( cặp góc trong

cùng phía) mà EAD BAC    180 0 

BAC ADN

Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD

(gt) , AC = DN và BAC ADN 

( chứng minh trên )  ∆ABC =

∆DNA (c.g.c)  N1 ACB

Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC ADN  và N1 ACB

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuông tại H hay MA BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt

AC ở D Kẻ DH vuông góc với BC Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K Chứng minh rằng :

a) BA = BH

b) DBK 45 0

3 1

E

D B

C

A

3 2 1

E

D B

C A

c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK

Bài giải:

a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc

nhọn)

b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt

EK tại I

Ta có : ABI 90 0 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh

huyền – cạnh góc vuông)

  B3B4 mà  B B1  2  DBK  45 0

Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = 2.4 = 8

cm

* Từ bài ta thấy khi DBK 45 0 thì chu vi ∆DEK

= 2 AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng

cm được DBK 45 0 Ta có bài toán sau :

c - VẼ THÊM TIA ĐỐI:

Bài 1: ( HSG huyên Hoằng Hóa năm học 2011-2012)

Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho: CD = 2 BD

Chứng minh rằng:  1 .

2

Gọi M là trung điểm của DC Trên tia

đối của tia MA

lấy điểm E sao cho ME = MA

Ta có hai tam giác AMC và EMD

bằng nhau

Vì MD = MC, MA = ME, AMC EMD

Nên DE = AC, và góc  A3 DEM

Mặt khác ,

1

D B ( theo tính chất góc ngoài tam

giác)

mà  B C ( vì tam giác ABC cân, đáy

BC)

nên D C1  suy ra AC > AD

Từ đó DE > DA, suy ra A2 DEM ,hay A2 A3

Vì  A3 A1( do ABDACM)

4 3 2 1

H

I

K

E C

D A

B

nên góc A A2   3  A A1 3 hay 2A A A 1  2 3

Suy ra  1 .

2

Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE =

9cm và trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm)

Bài giải:

Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao

cho DM = DG khi đó AG = GM =

2 2 12 8( )

3AD3  cm ;

( )

  nên suy ra

GCD DBM (so le trong) nên BM//CG

và MB = CG mà

2 2 15 10( )

CG CF   cm Mặt khác, ta

có 10 2   6 8 2 2 hay BM2 BG2 MG2 Suy ra BGD vuông tại G Theo định lý Pythagore ta có BD BG2 GD2  6 2  4 2  52 Vậy BC = 2BD =

2 52 14, 4( )  cm

Bài 3: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABE;

ACF Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của tâm giác ABE Tính các góc cuả tam giác FIH

Bài giải:

Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao

cho IH = IK Gọi BAC  thì

 60 30 0 0 90 0  1

HAF        ( vì

ACF

 đều nên FAC  60 0 và tam giác

EAB đều có H là trực tâm nên

 30 0

HAB  nếu 0    90 0) Ta lại có:

 . 

BIH CIK c g c

  nên suy ra

KCI HBI ABC   nên

 180 0  

ACB  ABC 

Do đó: KCI BCA ACF    ABC 30 0+180 0  ABC  60 0  270 0  

 360 0     360 0 270 0  90 0  2

KCF   KCI BCA ACF         Từ (1) và (2) suy

ra HAF KCF Nên AHFCKF c g c .  HF KF AFH CFK ;     HFK  60 0

do đó tam giác HFK đều suy ra tam giác HFI là nửa tam giác đều cạnh HF Các