tích phân lấy theo mặt ngoài của S, với S là biên của miền Giải a Cách 1: Vì S kín nên ta có thể áp dụng công thức Gauss-Ostrogradky Với Đặt Ta dễ dàng suy ra được b Cách 2: Ta chia mặt
Trang 1ĐỀ GT2-2015 – SỐ 51
với D(x, y) là hình tròn tâm A(1,2), bán kính R = 3
Giải
PT đường tròn tâm A(1,2), bán kính R = 3 là
Đặt
Ta có miền D(u,v) là
Ta viết lại tích phân
Đặt
Suy ra
Vậy ta có
2) Tính tích phân đường loại 2 sau
với L là đường cong có phương trình = 1, x ≥ 0, y ≤ 0 và đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(2,0)
Giải
Đặt
Trang 2Vì đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(2,0) nên ta dễ dàng suy ra t
tích phân lấy theo mặt ngoài của S, với S là biên của miền
Giải
a) Cách 1:
Vì S kín nên ta có thể áp dụng công thức Gauss-Ostrogradky
Với
Đặt
Ta dễ dàng suy ra được
b) Cách 2:
Ta chia mặt S thành 3 mặt
Mặt trên đối với hình trụ có trục là Oy là St ứng với mặt x = 1
Mặt dưới đối với hình trụ có trục là Oy là Sd ứng với mặt x = -2
Mặt xung quanh đối với hình trụ có trục là Oy là Sxq ứng với mặt y2 + z2 =3 Vậy ta có
Xét Φt, ta có pt tham số theo y,z là
Trang 3với D(y,z) = {(y,z)/ y2 + z2 ≤3}
Tương tự cho Φd, ta có pt tham số theo y,z là
Vậy
với D(y,z) = {(y,z)/ y2 + z2 ≤3}
Bây giờ ta xét mặt xung quanh, ta chiếu Sxq lên mp D(x,y), vậy ta phải tách Sxq
thành nửa trên Sxqt và nửa dưới Sxqd đối với mp D(x,y)
Mặt trên Sxqt co pt tham số theo y và z là
Ta có
Vậy, ta có
Trang 4với D(x, z) là hình chiếu của mặt cong Sxqt lên mặt phẳng Oxy, tức là
Tương tự Mặt trên Sxqd co pt tham số theo y và z là
Ta có
Vậy, ta có
với D(x, z) là hình chiếu của mặt cong Sxqt lên mặt phẳng Oxy, tức là
Tóm lại ta có
4) Giải PTVP sau
Giải
a) Cách 1
Ta có
Khi đó tồn tại một hàm sao cho
Suy ra
Trang 5Từ (**), ta có
là NTQ của PTVP đã cho
● Phương pháp 2:
Nếu
Khi đó tồn tại một hàm sao cho
Từ đây ta suy ra NTQ của PTVP đã cho
5) Tìm miền hội tụ của chuỗi
Giải
Trang 6Ta đặt
Như vậy, từ chuỗi ban đầu trở thành chuỗi lũy thừa như sau
Tâm chuỗi là t = 0
Ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) Ta có
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) là R = Do đó khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) là Hay ta có
+ Tại x = :
CHS trở thành CS sau
là chuỗi điều hòa phân kỳ
+ Tại x = : Tương tự
CHS trở thành CS sau
là chuỗi đan dấu hội tụ
+ Vậy MHT của CHS đã cho là