Ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa *.. Do đó khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa * là.
Trang 1ĐỀ GT2-2015 – SỐ 51
(x,y)
(x 1) (y 2) dxdy
D
với D(x, y) là hình tròn tâm A(1,2), bán kính R = 3
Giải
PT đường tròn tâm A(1,2), bán kính R = 3 là
(x 1) (y 2) 9
Đặt
J
Ta có miền D(u,v) là
(u,v) (u,v) / u 9
Ta viết lại tích phân
2 2
(u,v)
(u v )dxdy
D
Đặt
cos
sin
u r
v r
Suy ra
(u,v) D( ,r) ( ,r) / 0 2 ,0 3
Vậy ta có
2 3
(u v )dxdy r rdxdy
2) Tính tích phân đường loại 2 sau
2 (x y) (x 5 y)
L
với L là đường cong có phương trình = 1, x ≥ 0, y ≤ 0 và đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(2,0)
Giải
Đặt
Trang 22cos 2sin
t t
Vì đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(2,0) nên ta dễ dàng suy ra t
(z x y)dydz (x y z)dzdx (y z x)dxdy
S
tích phân lấy theo mặt ngoài của S, với S là biên của miền
Giải
a) Cách 1:
Vì S kín nên ta có thể áp dụng công thức Gauss-Ostrogradky
(x,y,z)
(x,y,z)
T
Với
Đặt
cos
sin
y r
z r
x x
Ta dễ dàng suy ra được
b) Cách 2:
Ta chia mặt S thành 3 mặt
Mặt trên đối với hình trụ có trục là Oy là St ứng với mặt x = 1
Mặt dưới đối với hình trụ có trục là Oy là Sd ứng với mặt x = -2
Mặt xung quanh đối với hình trụ có trục là Oy là Sxq ứng với mặt y2 + z2 =3 Vậy ta có
t d xq
Xét Φt, ta có pt tham số theo y,z là
Trang 3( , ) ( , ) ( , )
(y,z) (y,z) (y,z) 1
z z z
D y z D z x D x y
Vậy
(y,z)
( 1)
t
với D(y,z) = {(y,z)/ y2 + z2 ≤3}
Tương tự cho Φd, ta có pt tham số theo y,z là
( , ) ( , ) ( , )
(y,z) (y,z) (y,z) 2
z z z
D y z D z x D x y
Vậy
(y,z)
d
với D(y,z) = {(y,z)/ y2 + z2 ≤3}
Bây giờ ta xét mặt xung quanh, ta chiếu Sxq lên mp D(x,y), vậy ta phải tách Sxq thành nửa trên Sxqt và nửa dưới Sxqd đối với mp D(x,y)
Mặt trên Sxqt co pt tham số theo y và z là
2 3
x x
y y
Ta có
( , ) ( , ) ( , )
(x, y) (x, y) (x, y)
S x y
D y z D z x D x y
1 0
0 0 1
x x x x x x
y y y y y y
0, 2 ,1 z , z ,1
y y
Vậy, ta có
2 (x,y)
xqt
D
y
Trang 4với D(x, z) là hình chiếu của mặt cong Sxqt lên mặt phẳng Oxy, tức là
(x, y) (x, y) / 2 x 1, 3 z 3
Tương tự Mặt trên Sxqd co pt tham số theo y và z là
2 3
x x
Ta có
( , ) ( , ) ( , )
(x, y) (x, y) (x, y)
S x y
D y z D z x D x y
1 0
0 0 1
x x x x x x
y y y y y y
0, 2 ,1 z , z ,1
y y
Vậy, ta có
2 (x,y)
xqd
D
y
với D(x, z) là hình chiếu của mặt cong Sxqt lên mặt phẳng Oxy, tức là
(x, y) (x, y) / 2 x 1, 3 z 3
Tóm lại ta có
t d xqt xqd
4) Giải PTVP sau
2xy39x y dx2 2 3x y2 2 6x y dy3 0
Giải
a) Cách 1
Ta có
3 2 2
/ /
6 18 (x, y) 2 9
y
y x x
Khi đó tồn tại một hàm F(x, y) sao cho
dF(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy F (x, y)dx F (x, y)dy x y
Suy ra
Trang 5/ 3 2 2
F (x, y) (x, y) 2 9 , (*)
F (x, y) (x, y) 3 y 6 x y, (**)
x
y
Từ (**), ta có
(**) dF(x, y)x const F (x, y)y dy 3 yx 6 x y dy
2 2 3 2 3 3 2
x
Mặt khác dF(x, y) 0 F(x, y) C' , do đó từ (#) ta có
là NTQ của PTVP đã cho
Phương pháp 2:
Nếu
/ (x, y) Q (x, y), / (x, y) D
Khi đó tồn tại một hàm F(x, y) sao cho
F(x, y) (s,0)ds Q(x, t)dt
(x, y) 0 F(x, y) K
y x
dF
3 2 2 2 2 3
0
F(x, y) 2 9 ds 3 6 x t dt
(x, y) 0 F(x, y) K
y x
y
dF
0 0
F(x, y) 0ds 3x t
(x, y) 0 F(x, y) K
dF
2 3 3 2
F(x, y) 3x
(x, y) 0 F(x, y) K
dF
Từ đây ta suy ra NTQ của PTVP đã cho
5) Tìm miền hội tụ của chuỗi
0
3
3 2
2
n
n n
x n
Giải
Ta đặt
Trang 63 2
Như vậy, từ chuỗi ban đầu trở thành chuỗi lũy thừa như sau
1
1
(*)
n
n
t
n
Tâm chuỗi là t = 0
Ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) Ta có
1 1
3 3
3 2
n n
n
n
a
n
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) là R = Do đó khoảng hội tụ của
chuỗi lũy thừa (*) là Hay ta có
3 2
+ Tại x = :
CHS trở thành CS sau
n n
là chuỗi điều hòa phân kỳ
+ Tại x = : Tương tự
CHS trở thành CS sau
n
là chuỗi đan dấu hội tụ
+ Vậy MHT của CHS đã cho là
4 5
,
3 3