ĐỀ GT2 57

Ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa *.. Do đó khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa * là... Do đó dãy {un} là dãy dương và giảm.

ĐỀ GT2-2015 – SỐ 57 1) Tính

2 2

V

với V được giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 4y, z =0, z =2

Giải

Ta có

Ta đặt

cos sin

x r

y r

z z

ϕ ϕ

=



 =



 =



Ta xét miền hình chiếu D(x,y) của miền T(x,y,z) lên mặt phẳng Oxy như sau

Từ miền D(x,y) ta chuyển sang miền cực

D( ,r)ϕ

là bằng cách đặt

cos sin

x r

y r

ϕ ϕ

=



 =



Ta có

2 2

2

4 sin

y

ϕ



Suy ra

D( ,r)ϕ = ( ,r) / 0ϕ ≤ ≤ϕ π,0≤ ≤r 4sinϕ

Vậy

(x, y,z) ( ,r,z) ( ,r,z) / ( , ) ( ,r),0 2

{( ,r,z) / 0ϕ ϕ π,0 r 4sin ,0ϕ z 2}

Vậy ta có

( ,r,z) ( ,r,z)

4sin 2 2

d r dr zdz

ϕ π

ϕ

2) Tính khối lượng m của dây phẳng L có pt

3 3 3

2

x x

với khối lượng riêng của dây tại điểm M(x,y) là

Giải

Ta có

( )

0

2

L

y

Ta có

y′ =  e − e− ÷= e −e− ÷

2

′ + = +  − + ÷=  + + ÷=  + ÷÷÷

2 1 3 3

1 ( )

2

x x

Vậy

3 3

3 3

(x, y)dc

x x

x x L

−

3) Tính diện tích của phần mặt nón có pt z = 2 - với x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

Giải

Ta có công thức tính diện tích là

( ) ( )2 2 ( , )

1

S D x y

Giao tuyến giữa mặt cong và mp z = 0 là pt đường tròn x2 + y2 = 4

Ta chuyển S về pt tham số

2 2 2

x x

y y

 =

 =







Ta có pháp vecto mặt S là

S x y

uur ur ur

( z x , z y ,1) 2x 2 , 2y 2 ,1

Với

( )

2

Suy ra

( ) ( )2 2 /2 2

π

ϕ

4) Giải PTVP sau

3sin 2

Giải Phương trình đặc trưng la

1 2

2

k

=



Vậy NTQ của PTVP thuần nhất của PTVP đã cho là

1cos 2sin

y C= x C+ x

Bây giờ ta tìm NR PTVP không thuần nhất

*

(x) v (x) y (x) v (x) y (x),

Với

;

−

Ta có

1 2

1 2

1 2

cos sin

sin cos

W

Suy ra

( 2 )

1

1 2

(x)

sinx.2sin 2 xdx

y f

W y y

−

( 1 )

2

1 2

(x)

cos 3sin 2

y f

W y y

5) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau

3 2

n n n n

x n

∞

= +

∑

Giải Bán kính hội tụ là

Tâm chuỗi là x = 0

Ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) Ta có

1

1 1

1

3

1 2

2

n

n n

n

n

n

+

+ +

+

+ +

+

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) là R = Do đó khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa (*) là Hay ta có

3 x 3

− < <

+ Tại x = -:

CHS trở thành CS sau

n

  =

là chuỗi đan dấu, ta có

2

2

n n

n→∞n = ≠ +

Theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi phân kỳ

+ Tại x = : Tương tự

CHS trở thành CS sau

n

  =

 ÷

Ta có

2

2

n

n u n

n

+

Nên chuỗi phân kỳ

+ Vậy MHT của CHS đã cho là

2 2,

3 3

−

1

n

n u

n

= +

Ta xét hàm

1 (x 1)

2

x

′

Vậy hàm f(x) là hàm giảm Do đó dãy {un} là dãy dương và giảm

Mặt khác

1

n

n u

n

+ Theo tiêu chuẩn Leibnitz ta có chuỗi đã cho hội tụ