ĐỀ GT2 36

TRƯỜNG ĐHGTVT TP.. 2- Không xem tài liệu khi làm bài thi.

TRƯỜNG ĐHGTVT TP HCM

KHOA CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

GIẢI TÍCH 2

Mã học phần : 001003 Năm học : Môn thi : Giải tích 2

Số của đề thi : 36 Ngày thi : Số TC : 04

Họ và tên SV : Thời gian : 90 Hệ : Đại học

Mã sinh viên : Trưởng BM :

Câu 1: Bằng cách biến đổi tọa độ trụ, hãy tính tích phân bội ba sau

x y x

− −

−

Câu 2: Tính tích phân đường loại hai sau đây:

»AB

I = ∫ xdx xdy xyzdz− +

với »AB có pt x=cos( t),π y =sin( ),z 2 t,0 t 1πt = ≤ ≤ , đi từ điểm A ứng với

tham số t A =0 đến điểm B ứng với tham số t B =1

Câu 3: Tính diện tích mặt nón có pt sau:

z = x + y x≥ y≥

Câu 4: Giải phương trình vi phân cấp hai bằng pp biến thiên hằng số

2

4 4 xln

y′′+ y′+ y e= − x

Câu 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau

2 4 1

( 1)n 2

n

n n

∞

=

Thí sinh lưu ý:

1- Ghi số của đề thi vào bài làm, nộp kèm theo bài làm trước khi rời phòng thi.

2- Không xem tài liệu khi làm bài thi.

Answer

Câu 1: Bằng cách biến đổi tọa độ trụ, hãy tính tích phân bội ba sau

2 2

2 4

x y x

− −

−

Answer

Ta có miền T(x,y,z) như sau

(x, y,z) (x, y,z) / 0 x 2,0 y 4 ,0

Miền T(x,y,z) là miền cầu nằm ở

góc một phần tám thứ nhất trong kg

và có phương trình mặt nón là

x + y =z

Ta đặt

cos

sin , 0,

2

x r

y r

z z

ϕ

π

=



 =



vì

2

x

y

ϕ

π

Và hơn nữa, bán kính là bán kính của hình cầu có gốc tại gốc tọa độ O, nên ta

có

0≤ ≤r 2

Ta có miền trụ là

( ,r,z) ( ,r,z) / 0 ,0 r 2,0

2

T ϕ = ϕ ≤ ≤ϕ π ≤ ≤ ≤ ≤z x + y 

Vậy

2 2 /2 2

cos

x y

π

Câu 2: Tính tích phân đường loại hai sau đây:

»AB

I = ∫ ydx xdy xyzdz− +

với »AB có pt x =cos( t),π y=sin( ),z 2 t,0 t 1πt = ≤ ≤ , đi từ điểm A ứng với tham

số t A =0 đến điểm B ứng với tham số t B =1

Answer

Ta có

( )

sin cos , 0,1 2

t

t

t

dz z dt dt







Vậy

1

0

sin t sin t cos t cos t 2cos t sin t 2

I = −∫ π π π −π π π + π π t dt

1 ( ) 1 ( ) 1

2 t sin 2 πt π dt 2 t sin 2 π t dt π dt

Câu 3: Tính diện tích mặt nón có pt sau:

z= x + y x≥ y≥

Ta có diện tích của mặt cong (S) là

S

S =∫∫ds

Ta có

ds= n dxdyuur = ∧rur ur′ r dxdy′ = A +B +C dxdy

( )2 ( )2

1

z′ z′ dxdy

với

Do đó

ds= −z′ + −z′ + dxdy= dxdy

Vậy

(x,y)

2

S =∫∫ds= ∫∫ dxdy

Đặt

cos

x r

y r

ϕ ϕ

=



Ta có

0 cos 0

0,

x

y

ϕ ϕ

Với D(x,y) là hình chiếu của mặt nón trên mp Oxy Do đó

(x, y) (x, y) / x 4, 0, 0

2

Câu 4: Giải phương trình vi phân cấp hai bằng pp biến thiên hằng số

2

4 4 xln

y′′+ y′+ y e= − x

Ta có pt đặc trưng của pt đã cho là

2

The general solution of the homogeneous eq of (*) is

We find the partial solution of the eq (*) as follows

*

(x) v (x) y (x) v (x) y (x),

in where

( )

2

2 2

(x)

1 , (x)

2 1 2

x

y f

x

e

x

−

−

1

2 1 2

x

x

−

1

2 2

1 , (x)

2 1 2

x

x

e

x

−

2 2

1

2 1 2

x

x

x e

x

−

−

Thus, the general solution of the given eq is

*

(x) (x) y (x)

y = y +

Câu 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau

2 4

1

( 1)n 2

n

n n

∞

=

Ta có

2 2

( 1)n 2 ( 1)n 2 ( 1)n 2