ĐỀ GT2 52

Do đó dãy {un} là dãy dương và giảm.

ĐỀ GT2-2015 – SỐ 52 1) Tính

2 2 (z 3) 4

V

với V được giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 0, z =0, z =4

Giải

Ta có

V T   y  z  z 

Ta đặt

cos sin

x r

y r

z z







�

� 

�

� 

�

( ,r,z) ( ,r,z) / ( , ) ( ,r),0 4

( ,r,z) / 0 � � 2 ,0 � �r 2,0� �z a

Từ miền D(x,y) ta chuyển sang miền cực D( ,r) là bằng cách đặt

cos sin

x r

y r







�

� 

�

Ta thay vào phương trình miền tròn

2 2 4

x  y � , ta có 0� �r 2 Vậy ta có

D( ,r)  ( ,r) / 0 � � 2 ,0 � �r 2 Vậy ta có

( ,r,z)

I x y dxdydz r r





2

d r r dr z dz





2) Tính khối lượng m của đường cong vật chất L có pt

2 2,0 2

y e e � �x

với khối lượng riêng là

Ta có

 

0

L

x

y

Ta có

2

x x

� �  �  

x x

�

1 ( )

2

�

Vậy

2 2

x x

x x L

x

m e e dx dx

e e





3) Tính thông lượng của trường vecto qua mặt ngoài của biên miền

T  x y � �z x�

Giải

Ta có

F n ds P Q R

Trong đó mặt S có phương trình mặt nón cong z = ≥ 0 được cắt bởi mặt z = 2 và lấy phần x ≥ 0

Đưa mặt S dưới dạng tham số là x và y

2 2

(x, y) (x, y) , (x, y) D(x, y) (x, y)

x x

y y

� 

�

�

�

�

Ta có

S x y

D y z D z x D x y

n r r

D D D

� �

uur ur ur

 z x, z y,1 2x 2 , 2y 2 ,1

x y x y

� �

Với

D  x y �R x  y �

Ta áp dụng công thức

(x,y)

.A Q.B R.C

D

4) Giải PTVP sau

Với y(0) = -3, y/ (0) = 15

Giải

Phương trình đặc trưng la

2

k  k   �k k k 

Vậy NTQ của PTVP thuần nhất của PTVP đã cho là

x

Bây giờ ta tìm NR PTVP không thuần nhất

Ta đặt f(x) = 8x3 - 44x2 + 68x -54 = eαx(8x3 - 44x2 + 68x -54) => α = 0 không là nghiệm của PTĐT nên NR có dạng

y  Bx Cx D

5) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1

( 1) 1

n

n

n n

�







�

Giải Đây là chuỗi đan dấu nên ta áp dụng tiêu chuẩn Leibnitz để khảo sát sự hội tụ

Ta có số hạng tổng quát là

1

n

n u

n





Ta xét hàm

1 (x 1)

2

x

�

Vậy hàm f(x) là hàm giảm Do đó dãy {un} là dãy dương và giảm

Mặt khác

1

n

n u

n

��  �� 

 Theo tiêu chuẩn Leibnitz ta có chuỗi đã cho hội tụ