Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC.. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 450.. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.. PHẦN RIÊNG
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y2x3 3mx2 (m1)x1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1
2 Tìm mđể đường thẳng y2x1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C 0;1 nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng 30
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3
2 Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
e
1
ln x 2
dx
x ln x x
Câu IV: (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450 Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a
Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn 2 2 2 3
y z
x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A xy yz zx x y z
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng (): 3x 4y 7 0 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng () tại hai điểm B, C sao cho ABC vuông tại A và có diện tích bằng 4
5.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 2
và điểm A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1
3
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển ( )10
1+2x .( 2)2
3+4x+4x = a0+ a1x + a2x 2 + .+a14x 14 Tìm giá trị của a 6
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3) Biết đỉnh A , C lần lượt thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1
1
1
z
;
2
:
Viết phương trình mp(P) song song với d và 1 d , sao cho khoảng cách từ 2 d 1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P).2
Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6
8x 2 3x y 2.3x y
-Hết -HƯỚNG DẪN
Trang 2Câu 1: Với m=1 ta có y2x3 3x21
TXĐ: D=R Sự biến thiên:
- Giới hạn: limx y ; limx y -Ta có: ' 6 (y x x1) ' 0 0
1
x y
x
-BBT:
x 0 1
y’ + 0 - 0 +
y 1
0
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;0) và (1; ), Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ=1, Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCT=0
Đồ thị:Ta có '' 12 6 '' 0 1
2
2 2
I
là điểm uốn của đồ thị
Câu 1: 2, Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số:y2x3 3mx2(m1)x1 là nghiệm
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại A 0;1 Đồ thi cắt trục Ox tại B 1;0 ;C 1;0
2
Học sinh Tự vẽ đồ thị phương
trình: 2x3 3mx2(m1)x 1 2x1 2
0
9
m
2
2
2 3 3 0 (*)
x mx m Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A;
C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu 2.(m 3) 0 m3
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn
3 2 3
2
A B
A B
m
m
x x
và 2 1
2 1
A A
B B
( vì A và B thuộc (d))
AB= 30 (x B x A)2(y B y A)2 30
2
B A B A B A m m
Câu 2: 1 Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3
Phương trình đã cho tương đương với: 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x
4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx
2cos3x= 3 osx+sinx
c
+ osx=0 x=
2
+
3x=x- 2 6
2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )
6
6
k
12
24 2
k x
Câu 2: 2 Giải hệ phương trình
2 2
2 1 2 4( 1)
.
Điều kiện: x+2y 1 0 Đặt t = x2y1 (t 0)
Trang 3Phương trỡnh (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0
2 / 3 t/m 2
+ Hệ 2 2 23
2 1
1 1
2
x x
Cõu 3: Ta cú: I =
e
1
ln x 2
dx
x ln x x
e
1
ln x 2
dx (ln x 1)x
Đặt t = lnx + 1 dt = 1
dx
x ; Đổi cận: x = 1 thỡ t = 1; x = e thỡ t = 2
Suy ra: I =
dt 1 dt
1
t ln | t | = 1 – ln2
BC SA
Suy ra gúc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là gúc SBA Theo giả thiết SBA = 450
Gọi M là trung điểm của SC, H là trung điểm của AC
Tam giỏc SAC vuụng tại A nờn MA = MS = MC, tam giỏc SBC vuụng tại B nờn MB = MC = MS
Suy ra M là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABC Suy ra tam giỏc SAB vuụng cõn tại A, do đú SA =
AB = a., SA(ABC), MH // SA nờn MH(ABC)
Suy ra MH là đường cao khối chúp M.ABC Suy ra
3
Cõu 5: Đặt txyz
2
3 )
( 2
Ta có 0 xyyzzxx2y2z2 3 nên 3 t2 9 3 t 3 vì t 0
2
3
2
t
t
2
3 5 2 )
t
t t f
Ta có ' ( ) 5 25 0
3
2
t
t t t t
f , t 3;3
Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó
3
14 )
3
(
)
(t f
f
Dấu đẳng thức xảy ra khi t 3 xyz 1 Vậy GTLN của A là
3
14 , đạt đợc khi xyz 1
Cõu 6a: 1 (1,0 điểm) Gọi AH là đường cao của ABC, ta cú 4
( ; )
5
ABC
S AH BC BC BC Gọi I ;R lần lượt là tõm và bỏn kớnh của đường
trũn cần tỡm, ta cú : 1
1 2
R AI BC Phương trỡnh tham số của đường thẳng (): x 1 4t
y 1 3t
ỡ =- + ùù
ớù = + ùợ
I ẻ () ị I(-1+4t; 1 + 3t) AI = 1 Û 16t 2 + (3t – 1) 2 = 1 Û t = 0 hoặc t = 9
5 + t = 0 ị I(-1; 1) Phương trỡnh của đường trũn là: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 1
+ t = 9
5 ị I(- 1
25;
43
25) Phương trỡnh của đường trũn là: (x +
1
25)
2 + (y –43
25)
2 = 1
Cõu 6a: 2 (1,0 điểm) : Đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và cú vtcp là u= (2 ; -1 ; 1) Gọi n= (a ; b ; c )
là vtpt của (P) .Vỡ ( )P nờn n u 0 2a – b + c = 0 b = 2a + c n=(a; 2a + c ; c )
H
M
C
B
A
S
Trang 4Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là: a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0
ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = 1
1 3 (2 )
a
a c 2 0
0
a c
Chọn a = 1 , c = -1 Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0
Câu 7 a: Cho khai triển ( )10
1+2x .( )2
2
3+4x+4x = a0+ a1x + a2x 2 + .+a14x 14 Tìm giá trị của a 6
1+2x .( )2
2
3+4x+4x = ( )10
1+2x ( )2 2
2 1 2x
é+ + ù
1+2x + 4( )12
1+2x + ( )14
1+2x
Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )10
1+2x là 4.2 6 6
10
C Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )12
1+2x là 4.2 6 6
12 C
Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )14
1+2x là 2 6 6
14
C Vậy a 6 = 4.2 6 6
10
C + 4.2 6 6
12
C + 2 6 6
14
C = 482496
Câu 6b: 1 (1,0 điểm) Vì điểm A thuộc đường thẳng x + y + 3 = 0 và C thuộc đường thẳng x+ 2y + 3 = 0 nên A(a ;
- a – 3) và C(- 2c – 3 ; c)
A(-1; -2); C(5 ;-4)
Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và có vtcp là u=(1;3) có ptts là x 2 t
y 3 3t
B BD B(2+t ; -3 +3t) .Khi đó : AB
= (3 +t ;–1+3t); CB = (- 3+t; 1+3t)
AB CB Û t = ± 1 Vậy A(-1; -2); C(5 ;-4), B(3;0) và D(1;-6) hoặc A(-1; -2); C(5 ;-4), B(1;-6) và D(3;0)
Câu 6b: 2 (1,0 điểm) d1 đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u1 1; 1;0 ; d2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 1; 2; 2 Gọi n là một vtpt của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n= [u u1;2] = (-2 ; -2 ; -1)
(P): 2x + 2y + z + D = 0 ,d(A ; (P) = 2d( B;(P)) 7D 2 5D 7 2(5 )
3 17 3
D D
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z - 17
3 = 0
Câu 7b: Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6 (1)
8x 2 3x y 2.3x y (2)
. Điều kiện: y – 2x + 8 > 0 (1) y – 2x + 8 = 2 6 y2x Thay y2x vào phương trình (2), ta được
8x2 3x x 2.3x 8x18x 2.27x 8 18
2
27 27
3
2
Đặt: t = 2
3
x
(t > 0) Ta có phương trình t3 t 2 0 t1 t2 t 2 0
0 1
0
x
t
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0)