2 Chứng minh rằng đường trung trực đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động... a Tính số đo ·CIF b Chứng minh rằng biểu thức AE.AC + BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên
Trang 1Bộ đề thi HSG Toán 9 các Tỉnh, TP HCM – Hà Nội
Phần 8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề
Đề số 1
Câu I.
1) Cho pt:x2−2m x+2m− =1 0. Chứng minh pt luôn có hai nghiệm x x với mọi m.1, 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1 2
2(1 )
x x P
+
= + + + khi m thay đổi.
2) a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1a b+ =1c. CMR: A = a 2 + + b 2 c 2 là số hữu tỉ b) Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đôi một phân biệt CMR : 2 2 2
B (x y) (y z) (z x)
− − − số hữu tỉ.
Câu II .
1) Giải phương trình:
10
+ =
− ÷ + ÷
2) Giải hệ phương trình:
2
2 3
1 4
x
+ + + =
Câu III Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE
cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính ·BPE.
Câu IV Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB∉ ) P là điểm di
động trên đoạn thẳng AB (P≠ A B, và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O)
tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠ P)
1) Chứng minh rằng ·ANP BNP= · và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn 2) Chứng minh rằng đường trung trực đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động
Câu V
1 Cho a a1, , ,2 a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 45 a1< < <a2 a45 ≤130. Đặt
1 , ( 1,2, ,44)
j j j
d =a + −a j= Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d xuất hiện ít nhất 10 lần. j
2 Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 = 2011
Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2011.
b c +c a +a b ≥
HẾT .
“Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm
“Bờ bến”.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề số 2
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
P
1 Rút gọn biểu thức P.
2 Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.
Bài 2 (4,0 điểm)
1 Tìm m để phương trình(x2 −1)(x+3)(x+ =5) m có 4 nghiệm phân biệt
x x x x1, , ,2 3 4thỏa mãn
1
x + x + x + x = −
2 Giải hệ phương trình :
2 2
= +
Bài 3 (4 điểm)
1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60
2 Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x3+ y3 +z3chia hết cho x y z2 2 2 Tìm thương của phép chiax3 +y3+z x y z3: 2 2 2
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC Các tiếp tuyến tại
B và C của (O) cắt nhau tại D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC và AC lần lượt tại M, N
1 Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân
2 Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K Chứng minh K là trung điểm của DM
3 Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q Gọi G là trung điểm của DK Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 ≤x y z, , ≤ 2 và x + y + z = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= x+ y+ z
-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3QUÃNG NGÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề số 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Cho a; b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a 2 + a = 3b2 + b
Chứng minh a b
2a+2b+1
−
là phân số tối giản
b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: 15x2 − 7y2 = 9
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho 3 x 3
− ≤ ≤ ; x≠0 và 3 2x+ − 3 2x− =a
Tính giá trị biểu thức P 6 2 9 4x2
x
b) Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn 1 1 1 2
1 a 1 b 1 c + + =
Tìm giá trị lớn nhất của Q =abc
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình: (x 1 x 2) ( ) (4 x 1) x 2 12
x 1
+
b) Giải hệ phương trình: 2 x 1 1 3
x y
1
x y
Bài 4: (6 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF là dây cung di động trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và EF=AB R
2 = Gọi H là giao điểm của AF và BE; C
là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB
a) Tính số đo ·CIF
b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC + BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên
nửa đường tròn
c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R
Bài 5: (2 điểm)
Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung
-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4NGHỆ AN NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN – Bảng A
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề số 4
Câu 1 (4 điểm):
a Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b
Chứng monh rằng a – b và a + b + 1 đều là các sô chính phương
b Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số
Câu 2 (5 điểm):
a Giải phương trình: 6x− +1 9x2− =1 6x−9x2
b Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2
2 4
x y xy
Câu 3 (3 điểm):
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 1 1
a b +b c +c a
Câu 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C) Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng:
a Ba điểm D, E, F thẳng hàng
b AB AC BC
MF +ME = MD
Câu 5 (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng
6 cm Chứng mỉnhằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 5BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề số 5
Câu 1 (5,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức A= 3 26 15 3 + − 3 26 15 3 −
P
a
−
Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: 3 x3+ =8 2x2− +3x 10
2) Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
1 4 ( 1)( 2)
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Cho hàm số y x= 2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng ∆ có phương trình y= −x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 thoả mãn: 4 4
(x −x) + (y −y ) = 18
2 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a b c, , đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
20abc< 30(ab bc ca+ + ) 21 < abc
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh
BC Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N OA và MN cắt nhau tại D
1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
2) Chứng minh : 1 1 1
AD = HB+HC
3) Cho AB=3 và AC=4 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc=1 Chứng minh rằng:
-Hết -SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 6HÀ NAM Năm học: 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề số 6
Bài 1.(6 điểm)
1 Cho biểu thức 6 2 5 13 48
A
3 1
=
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 − = A x(A x)(A x ) + + 2
2 Gọi d ,d1 2 là các đường thẳng lần lượt có phương trình:
1
d :y 2x 3m 2= + + và d : y (m2 = 2 + m)x 4 −
a) Tìm m để hai đường thẳng d ,d1 2 song song.
b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = 2x y 3m 2 − + + + (m + m)x y 4 − −
Bài 2.(6 điểm)
1 Giải phương trình: 2(x2 + =2) 3( x3+ +8 2x)
2 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x +3x −(2m 1)x− − 3m 1 x m+ + + =m 0
Bài 3.(1 điểm)
Giải hệ phương trình : ( ) ( )
3 3
Bài 4.(6 điểm)
Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó Đường tròn (O) đi qua
B và C (O không thuộc BC) Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF
1 Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi
2 Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’ Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang
3 Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng
cố định khi đường tròn (O) thay đổi
Bài 5.(1 điểm)
Cho tam giác ABC Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho
AM.BC BM.CA CM.AB + + đạt giá trị nhỏ nhất
……… Hết ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 7ĐĂK NÔNG NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề số 7
Bài 1: (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức 2 2 4 : 3 .
4
A
x
−
Tìm điều kiện của x để A > 0. 2) Cho
2
2 1 1 2 1 1
x=
−
Tính giá trị của biểu thức: B=(x4− − +x3 x2 2x−1)2011
Bài 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x2−3x+2+ x+3= x−2+ x2+2x−3
2) Cho x, y z là nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2
+ + =
Tính giá trị của biểu thức: C=x10+ +y3 z2011
Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm các cặp số ( a, b) thỏa mãn hệ thức: a b+ −2011= a+ b− 2011
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: n2 – 14n + 38 là một số chính phương
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau E là một điểm nằm trên cung nhỏ »AD Nối CE cắt OA tại M và nối BE cắt OD tại N.
1) Chứng minh: AM ED = 2OM EA
2) Chứng minh tích OM ON
AM DN× là một hằng số Từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
AM + DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E?
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho , ,a b c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:
9
-HẾT -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 8TP HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn Toán
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
-Đề số 8
Câu 1 (2 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : f x( )= x4 −4x+3
2
3 1 1 2
3 1
2
3 1 1 2
3 1
=
−
−
− + + + +
Câu 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình: x2− −1 10x x− − =2 9 2x2−14x+12
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2 điểm):
a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m 4 x− ) (+ m 3 y 1− ) = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
b) Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số xy sao cho: ( ) (2 )2
2.xy = x 2 + + y 4 +
Câu 4 ( 3 điểm):
1 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r), trong đó A di động, E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C Gọi giao điểm của AE với (O ; R) là I và K, M là trung điểm của đoạn thẳng AB
a) Chứng minh BC2 + IK2 không phụ thuộc vị trí điểm A
b) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng
CM luôn đi qua một điểm cố định
2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất
Câu 5 (1 điểm): Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn:
a2+b2 + b2+ +c2 c2+a2 =1
Chứng minh rằng:
2 2
b c c a a b+ + ≥
-
Hết -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 9TP THANH HÓA NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn Toán
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
-Đề số 9
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A =
2 3
1 12
10 2
3 )
2 )(
3 4 ( 2
3 ) 6 ( 6
−
−
−
− +
−
−
− +
−
− +
−
x x x
x x
x x
x x
x
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9 ; x ≠ 1
2) Rút gọn biểu thức: B =
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
−
−
− +
+ + +
Bài 2 (6,0 điểm)
1) Cho phương trình :
2
+ − − ( a là tham số)
a) Giải phương trình trên
b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố
2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:
2
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :
−
=
=
2
2
) 2 (
1
- n
n cba
abc
Với n ∈ Z; n >2
2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6
Chứng minh : 52 ≤ 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB Tia CN cắt tia DA tại E Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE Gọi M là trung điểm của EF
1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM
2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có B µ + C µ = 105 và AB0 + AC 2 = 2BC Tính B và C µ µ
………… Hết …………
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 10TP HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn Toán
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
-Đề số 10
Bài 1 (2,0đ) Cho biểu thức: A =
2
8 16 1
x x
− +
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0đ) Giải các phương trình:
a x2 −3x+2+ x+3= x−2+ x2 +2x−3
b (4x+2) x+ =8 3x2+7x+8
Bài 3 (1,5đ)
a Cho f x( ) (= x3+12x−31)2013 Tính f (a) với a = 3 16 8 5 − + 3 16 8 5 +
b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y2+2xy−3x− =2 0
Bài 4 (1,5 điểm)
a Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và a2 b2 c2 a2 b2 c2
b + c +a = c + a + b Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
b Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 2 2 2
3
Bài 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF
a Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA
b Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất
c Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và
3 3
BF = DF
d Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K∈EF; M∈BE và N∈BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF là 2 2
2
+ Hãy tính các góc nhọn của tam giác BEF?
……… Hết………
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 11VĨNH YÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn Toán
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
-Đề số 11
Câu 1: (3,5 điểm)
a Cho a>0, a≠4 và 2 1 : 2
a P
+
Rút gọn biểu thức P và
tính giá trị của biểu thức P khi a= −4 2 3
b Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A( ) ( ) ( )1;1 , B 3;2 , C 4;4 Hãy vẽ các điểm , ,
A B C và tính diện tích tam giác ABC
Câu 2: (1,5 điểm)
a Tìm tất cả các số nguyên dương x y, thỏa mãn 1 1 1
x+ =y
b Cho các số nguyên tố ,x y và số nguyên dương z thỏa mãn phương trình
1 2016
5
z
x+ y = Tìm tất cả các bộ số (x y z , , )
Câu 3: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:
a 1 1 1
a b c
2 a+2 b+2 c ≤
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O R và 1; 1) (O R (2; 2) R2 >R1) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A.
Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đã cho ( B∈(O R1; 1) và C∈(O R2; 2) )
Đường thẳng BC cắt đường thẳng O O tại điểm 1 2 D
a Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
b Tính độ dài đoạn thẳng DB theo R R1, 2
c Đường tròn ( )O tiếp xúc ngoài với (O R và 1; 1) (O R lần lượt tại 2; 2) E F, Chứng minh rằng D E F, , thẳng hàng
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2 + y2+z2 + z2+x2 =2015
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T
y z z x x y
-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
ĐỀ CHÍNH THỨC