Tuyen tap de HSG Toan 9(bo pass..)

3 Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ d m đi qua Câu 4: 3 điểm Cho tam giác vuông cân ABC vuông ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đ

Tuyển chọn đề thi HSG toán 9

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 1 trang

Cõu 1:(2 đi ểm)

1) Tính: A  9  17  9  17  2

2.2009

2009 1 2008 1

D 

Không dùng máy tính hãy so sánh C và D

Câu 2: (2điểm)

1) Cho đa thức f x  1.2 2.3 3.4    x x.  1

Tìm x để f x   2010

2) Giải hệ phơng trình:









Câu 3: (2điểm)

và điểm A di động

 

A m;0

vuông góc với AB tại A

đồng qui

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ

d m

đi qua

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh

huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình

chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N

xuống đờng thẳng PD

a) Tính số đo góc NEB

b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm

cố định

Câu 5: (1điểm)

Cho các số a1 , a , ,a 2 2009 đợc xác định theo công thức sau:



n

2 a

Chứng minh rằng:



2008

a + a + + a

2010

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm trang

H ớng dẫn chấm

m

2



18 2 17 18 2 17 4

2

2



0,25

2 17 1

17 1 17 1 2 2 17 2

2 17 1



 6 2 10 5 3   2 3

B      3 1 10 5 3      2 2  3

 3 1 10 5 3   2 2 3

     3 1 10 5 3       3 1  2

0,25

 3 1 2 10 5 3

   4 2 3 10 5 3       10 2  3 2   3  10 0,25

2009 1 2008 1

2009 1 2008 1 2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



0,25

2 2

2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



2009 2008 2009 2008

2009 1 2008 1



4017

2009 1 2008 1



0,25

4017

4018

2009  1  2008  1

0,25

Ta có f x   1.2 2.3 3.4    x x.  1

 3.f x   1.2.3 2.3.3 3.4.3    x x.  1 3

1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 x x 1 x 2 x 1

0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 x 1 x x 1 x x 1 x 2

   1 . 1  2

3

f x  x x x

0,25

Để f x   8  1 . 1  2 8

3x x x   x x.  1 x 2  24

 x3 3x2 2x 24 0   x3  2x2  5x2  10x12x 24  0

0,25

 x 2 x2  5x 12   0 2

2 0

5 12 0

x

 





 

 

1 2

0,25

Giải phơng trình  1

ta đợc x = 2 Giải phơng trình  2

Vô nghiệm Vậy với x = 2 thì f x   8

0,25

xy yz zx 1 (2)

  









(1)  (x + y + z)2 = 36

 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36

 xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))

 2zx = 12

 zx = 6

0,25

 xy + yz = 5

 y(x + z) = 5 (4)

y 1

y 5





  



0,25

0,25

 (z

1 2



)2 =

23 4



(phơng trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là S (3; 1; 2),(2; 1; 3)

0,25

Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)

A, B (d) nên





x 1

m 1

0,25

là y = a’x + b’

Vì d m

 AB tại A nên a.a’ = - 1



1

 y = (m – 1)x + b’

0,25

Vì d m

đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m – 1)m + b’



0,25

Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (dm) đồng qui tại điểm (xo; yô)

 yo = (m – 1)xo + (m – m2)

 m2 – m(xo + 1) + xo + yo = 0

0,25

Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất

0,25

 m2 – m(x1 + 1) + x1 + y1 = 0

0,25

chỉ có 1 nghiệm



2 1 1

y

4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol



2 1 1

y

4

0,25

Vẽ hình đúng

0,25

0,25

0,25

Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính

n

2 a

0,25

Do đó

 

1 1

2010

0,25

Mặt khác:





2

1

2009 1

2010 2 2009

0

0,25

nên

1

2010

2008

a + a + + a

5

3 điểm

Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB

 

 

 DCP = DBE (g.c.g)  CP = BE (1)

+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân

 NEB  450

+) Gọi O là trung điểm của EN

nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O

Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

0,25

0,25

Khi đó:

 1 

 1 

 OHN OHB   =

Vậy có BHN  BEN  450 (3)

Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB

Khi đó SAHB =

1 AB.HH' 2

Do đó SAHB lớn nhất khi HH’ lớn nhất

Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH’ lớn nhất khi nó

bằng bán kính, tức là khi H D Khi đó M  D

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

Sở giáo dục và đào tạo

hải d ơng

Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số:

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 1 trang

Cõu 1:(2 điểm)

1) Tính: A  9  17  9  17  2

2) Tính: B  6  2 10 5 3    2  3

3) Cho C  2009 11  20082 1 và

2.2009

2009 1 2008 1

D 

Không dùng máy tính hãy so sánh C và D

Câu 2: (2điểm)

1) Cho đa thức f x   1.2 2.3 3.4    x x.  1 Tìm x để f x   2010

2) Giải hệ ph ơng trình:









Câu 3: (2điểm)

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M

là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đ ờng thẳng PD

a) Tính số đo góc NEB

b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đ ờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: (1điểm)

Cho các số a1, a , ,a2 2009 đ ợc xác định theo công thức sau:

n

2 a

a + a + + a

2010

Hết

\

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 1 trang

Cõu 1:(2 đi ểm)

2.2009

2009 1 2008 1

D 

Không dùng máy tính hãy so sánh C và D

Câu 2: (2điểm)

1) Cho đa thức f x  1.2 2.3 3.4    x x.  1

Tìm x để f x   8

2) Giải hệ phơng trình:









Câu 3: (2điểm)

và điểm A di động

 

A m;0

vuông góc với AB tại A

đồng qui

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ

d m

đi qua

Câu 4: (3 điểm)

Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên cung

lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đờng cao AD, BE, CK cắt

nhau tại H

2) Nếu BHC BOC  Tính độ dài đoạn thẳng AH theo a.

Câu 5: (1điểm)

Cho các số a1 , a , ,a 2 2009 đợc xác định theo công thức sau:



n

2 a

Chứng minh rằng: 1 2 2009 

2008

a + a + + a

2010

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm 5 trang

H ớng dẫn chấm

1005 2009 1005 2009 2

2 1005 2009 1005 2009 2

2



2010 2009 2010 2009 4

2



 2009 12  2009 12 2

2



0,25

2009 1 2009 1 2 4

2 2

0,25

 6 2 10 5 3   2 3

B      3 1 10 5 3      2 2  3

 3 1 10 5 3   2 2 3

     3 1 10 5 3       3 1  2

0,25

 3 1 2 10 5 3

   4 2 3 10 5 3       10 2  3 2   3  10

Vậy B = 10

0,25

2009 1 2008 1

2009 1 2008 1 2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



0,25

2009 1 2008 1

2009 1 2008 1



2009 2008 2009 2008

2009 1 2008 1



0,25

2 2

4017

2009 1 2008 1



4017

4018

2009  1  2008  1

0,25

Ta có f x   1.2 2.3 3.4    x x.  1

 3.f x   1.2.3 2.3.3 3.4.3    x x.  1 3

1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 x x 1 x 2 x 1

0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 x 1 x x 1 x x 1 x 2

   1 . 1  2

3

f x  x x x

0,25

Để f x   8  1 . 1  2 8

3x x x   x x.  1 x 2  24

 x3 3x2 2x 24 0   x3 2x2  5x2 10x12x 24  0

0,25

 x 2 x2  5x 12   0 2

2 0

5 12 0

x

 





 

 

1 2

0,25

Giải phơng trình  1

ta đợc x = 2 Giải phơng trình  2

Vô nghiệm Vậy với x = 2 thì f x   8

0,25

xy yz zx 1 (2)

  









(1)  (x + y + z)2 = 36

 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36

 xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))

 2zx = 12

 zx = 6

 xy + yz = 5

 y(x + z) = 5 (4)

0,25

(4)  y(6 – y) = 5

y 1

y 5





  



0,25

 (z

1 2



)2 =

23 4



(phơng trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là S (3; 1; 2),(2; 1; 3)

0,25

Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)

A, B (d) nên





x 1

m 1

0,25

là y = a’x + b’

Vì d m

1

 y = (m – 1)x + b’

0,25

Vì d m

đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m – 1)m + b’



0,25

 yo = (m – 1)xo + (m – m2)

 m2 – m(xo + 1) + xo + yo = 0

0,25

Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất

0,25

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui.

 m2 – m(x1 + 1) + x1 + y1 = 0

0,25

chỉ có 1 nghiệm



2 1 1

y

4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol



2 1 1

y

4

0,25

Vẽ hình đúng

H

M

I

K

E

D

O A

0,25

Vì 3 đờng cao AD, BE, CK cắt nahu tại H

0,25

Kẻ BI là đờng kính, chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành

0,25

OM = MC.sin600 =

.

2 2 4



3 2

a

0,25

S

DBH

DB DH DAC

DA DC

0,25

áp dụng bất đẳng thức

4

a b

( Dấu = xảy ra khi a = b“=” xảy ra khi a = b ” xảy ra khi a = b )

 2 2

DB DC a

(Không đổi)

(Dấu = xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC“=” xảy ra khi a = b ” xảy ra khi a = b )

0,25

2

4

a

ABC

  cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC

Vậy khi A là điểm chính giữa của cung BC thì tích DH.DA đạt giá trị

lớn nhất

0,25



n

2 a

0,25

Do đó

1 2010

0,25

Mặt khác:

1

  



2

2010 2 2009

0

0,25

nên

1

2010

2008

a + a + + a

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 1 trang

Cõu 1:(2 đi ểm)

P

3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010

Câu 2: (2điểm)

x x x  3x 2 x  5x 6 x  7x 12 x  9x 20

Tìm x để

5 4050150

A 

2) Cho hệ phơng trình

x y a b







Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có

3) Cho x, y, z  0 và x + y + z 3 

x   y  z 

Câu 3: (2điểm)

1) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính

ph-ơng

với mọi n là số nguyên dơng Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số

chính phơng

2)

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh

huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình

chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N

xuống đờng thẳng PD

1) Tính số đo góc NEB

2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: (1điểm)

1  a1< a2 < < an+2  3n

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj 1 j i n + 2    

sao cho n < ai

– aj < 2n

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm 5 trang

H ớng dẫn chấm

ĐK: x0; y  0; x  1; y  1; x2 + y2 > 0 Mẫu thức chung:  a b 1  b 1  a

A



=

a a a b b b ab a b

0,25

=

a b a a b b ab a b

=



0,25



0,25

ơng với

1 1

1 1

a b a b

   

 

   



  

 





 



 



Suy ra

0 0

b b









3)

0,75 điểm Ta có:  1  2 1  1  2  3  1  1  2

4

k k k  k k k k  k k k k 

với   k

0,25

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011

1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4

1 2009.2010.2011.2012 2008.2009.2010.2011

4

0,25

1 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 2009.2010.2011.2012 2008.2009.2010.2011 4

1 2009.2010.2011.2012 4087371731776 4

Vậy Q 4087371731776

0,25

Ta có

x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5

x x 1 x + 1 x 2 x + 2 x 3 x + 4 x 5

0,25

-

x x 5 x x 5

Để

5 4050150

A 

  

5 4050150

x x 

0,25

 x2 5x 4050150 0 

Giải phơng trình này ta đợc x 1 2010; x 1 2015

Vậy với x 1 2010 hoặc x 1 2015 thì A 40501505 .

0,25

 (x – a)(x + b) + (y – b)(y + b) = 0 (1)

b y   x a   y b   0 

0

b y

x a y b

 



   



0,25

x b

y a









  x n  y n a n b n

Vậy trong mọi trờng hợp ta có

0,25

Ta có: x 12 0

với   x  2x x 2 1 

2

1



1

1 2

x

;

y   z  

0,25

3

3 2

khi x = 1; y = 1 ; z = 1

0,25

A = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2)

Đặt n2 + 3n = a

Vì a > 0 nên a2 < a2 + 2a < a2 + 2a + 1

0,25

Do đó a2 < A < (a + 1)2

Vậy A không là số chính phơng với mọi n nguyên dơng

0,25

Từ (1) và (2)  n   3; 2; 1;0   

(đều thoả mãn) Vậy với n   3; 2; 1;0   

thì A là số chính phơng

0,25

0,25

0,25

Vẽ hình đúng

0,25

Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB

 

 

 DCP = DBE (g.c.g)  CP = BE (1)

0,25

+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân

 NEB 45 0

0,25

+) Gọi O là trung điểm của EN

nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O

0,25

Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

Khi đó:

 1 