chỉnh hợp

PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢPA.Qui tắc cộng, qui tắc nhân : 1.Qui tắc nhân : 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn gắn liền nhau thì số cách chọn công việc A là tích các giai đoạn VD:

PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A.Qui tắc cộng, qui tắc nhân :

1.Qui tắc nhân : 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số

cách chọn công việc A là tích các giai đoạn

VD: có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải) Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ

Giải : chọn đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây

Chọn mặt : có 3 cách

Chọn dây : có 4 cách

Vậy số cách chọn đồng hồ là : 3 x 4 = 12 cách

Bài tương tự :

1/ Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi Hỏi bạn A có bao nhiêu cáhc mặt đồng phục đến trường ? 2/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu :

a.Số có 4 chữ số b.Số có 4 chữ số đôi một khác nhau

c.Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

d.Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

2.Qui tắc cộng : công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công

việc A là tổng các trường hợp (qui tắc công ít gặp hơn qui tắc nhân)

B.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp :

1.Hoán vị : sắp xếp n phần tử 1 cách thứ tự ta có 1 hoán vị của n phần tử

Kí hiệu : P n = =n! 1.2.3.4.5 n (n!:đọc là n giai thừa) Qui ước : 1!=0!=1 Công thức : n!=(n-1)!.n

VD: sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là 1 hoán vị của 4 phần tử :

4 4! 1.2.3.4 24

P = = = cách chọn

Chú ý :

• Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có P n =n! cách

• Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có P n−1= −(n 1)! cách

Bài tương tự : Có bao nhiêu cách xếp 4 người :

a/ Ngồi dọc thành 1 bàn dài 4 ghế

b/ Ngồi dọc thành 1 bàn tròn 4 ghế

2.Chỉnh hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (1 k n≤ ≤ ) sau đó sắp xếp có thứ tự ta được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử

k n

n A

n k

=

− (1 k n≤ ≤ )

VD: có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước

Giải : ta chọn 3 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4 của 6 : 64

3.4.5.6

(6 4)! 2!

−

Ta cần lưu ý cách chia giai thừa : ( )! ( 1).( 2).( 3) ( )

!

n k

n

VD : 7! 4.5.6.7

3!= , 9! 7.8.9

6!= , 8! 8

7!=

3.Tổ hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (0 k n≤ ≤ ) sau đó sắp xếp không cần thứ tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử

Kí hiệu : !

!.( )!

k n

n C

k n k

=

− (0 k n≤ ≤ )

n n

C =C = , C n k =C n n k− , 1 11

+

+ = ( côngthứcpascal) VD: 1 giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan Chọn ra 3 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự)

b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan

Giải :

a/ Chọn 4 bông bất kì từ 9 bông ( gồm hồng và lan ) ta được 1 tổ hợp chập 4 của 9 :

4

9

9! 9! 6.7.8.9

4!.(9 4)! 4!.5! 1.2.3.4

−

b/ ta chia làm 2 bước : chọn 1 hồng (từ 4 hồng) :C14

chọn 3 lan (từ 5 lan) : 3

5

C

vậy số cách chọn là : C x14 3

5

C =………

Bài tương tự :

Bài 1: Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :

a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ

d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ

f/ có ít nhất 3 nam g/ An và Bình không được tham gia

Bài 2:Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo :

a.Ngũ giác lồi b.đa giác lồi 12 cạnh c.đa giác lồi n cạnh

Bài 3: trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng Có boa nhiêu cách lập

tam giác

C.Nhị thức NewTon : (dùng để khai triển hằng đẳng thức mũ cao)

0

k

=

chú ý cần nhớ :

• số mũ của a : giảm từ n xuống 0

• số mũ của b : tăng từ 0 đến n

C − − >C

• Mũ a giảm thì mũ b tăng

• Số hạng thứ k + 1 : 1 k n k k

T+ =C a − b

• Số hạng tổng quát ;

0

n

n k n k k

n k

=

• Công thức cần biết :

1 1

2 1

n m

x

Chú ý:

n n

n n

Bài tập :

1/Khai triển : (x y+ )6 , (x+4)5 , (x−2 )y 6

2/Cho khai triển (x x+ −2 12)

a.tìm số hạng thứ 3,5,8 b.tìm hệ số của số hạng chứa x3

c.tìm số hạng không chứa x

3/Tìm số hạng không chứ x trong khai triển : (x 1)12

x

+

PHẦN 2: XÁC SUẤT

A.Phép thử, không gian mẫu, biến cố :

1.Phép thử : là thử 1 cách ngẫu nhiên, không biết trước kết quả mà chỉ biết tập hết quả.

VD: gieo 1 con súc sắc có 6 mặt là 1 phép thử, ta không biết trước sẽ ra mắt nào nhưng biết chắc chắn số nút gieo được từ 1 6

2.Không gian mẫu : tập các kết quả cúa phép thử, kí hiệu là Ω

VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt thì không gian mẫu là : Ω ={1, 2,3, 4,5,6}

3.Biến cố : là tập con của không gian mẫu

VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt Gọi biến cố A:”xuất hiện mặt chẵn” thì A={2, 4,6}∈Ω

Bài tập tương tự:

1/Gieo 1 đồng tiền cân đối đồng chất 2 lần

a.Xác định không gian mẫu

b.Xác định các biến cố sau :

 A:”kết quả 2 lần gieo như nhau”

 B:”có ít nhất 1 lần x.hiện mặt sấp”

 C:”lần gieo thứ 2 mới xuất hiện mặt sấp”

2/Gieo 1 đồng tiền 3 lần

a.xác định không gian mẫu

b.xác định các biến cố :

 A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp”

 B:”mặt sấp xảy ra đúng 1 lần”

 C:”mặt ngửa xảy ra ít nhất 1 lần”

B.Xác suất của biến cố:

• Biến cố hợp : A B∪ hay A B+ , Biến cố giao : A B∩ hay A B

• Biến cố bù : A là phần bù của A, kí hiệu A= Ω\A

VD: cho không gian mẫu Ω ={1, 2,3, 4,5,6} , biến cố A là : A={1, 2, 4, 6} thì A={ }3,5

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi A B∩ = ∅

( )

P A

n

Ω Ω , với A n A là số phần tử, ( )

trong A; Ω, ( )n Ω là số phần tử trong Ω

VD: gieo 1 con súc sắc vô tư ta được không gian mẫu là : Ω ={1, 2,3, 4,5,6}.tính xác suất để được : a/ biến cố A là số lẻ b/ biến cố B là 1 số lớn hơn 4

Giải:

a/ Ta có A={1,3,5} nên ( ) 3 1

b/ Ta có B={ }5,6 nên ( ) 2 1

Bài tập tương tự :

1/Trong 1 bình đựng 6 viên bi giống nhau trong đó có 4 bi xanh và 3 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi Tính xác suất để được 2 bi xanh

a.Mô tả không gian mẫu

b.xác định các biến cố sau :

A:” Tổng số chấm 2 lần gieo không bé hơn 10”

B:” mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”

c.tính P(A), P(B) ?

C.Tính chất xác suất :

1.Định lý 1: a) Với mọi xác suất ta đều có : 0≤P A( ) 1≤

b) ( ) 0; ( ) 1P ∅ = P Ω =

c) nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì (P A B∪ )=P A( )+P B( )

2.Định lý 2 : A là biến cố bù của A, tức là A= Ω\A thì ta luôn có ( )P A +P A( ) 1=

3.Công thức công xác suất : với 2 biến cố A và B bất kì ta luôn có :

Khi A,B xung khắc thì A B∩ = ∅suy ra ( ) 0P ∅ = nên trở về định lý 1

PHẦN 3: TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI ĐH

Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên :

a/ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau

b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

d/ số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Bài 2:

a)Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiên

là chữ số lẻ

c) Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán

d) Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

e) Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái Hỏi

có bao nhiêu cách chọn

f) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam

g) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9?

h) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?

k) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

l) Có 5 học sinh được xếp vào một bàn tròn Tính số cách xắp xếp 5 học sinh đó vào bàn tròn đó

m) Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong

đó có ít nhất một quả sâu?

n) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho hai bạn A, E ngồi

ở 2 đầu ghế

Bài 3: ( ĐH Đà Nẵng – 1997 ) Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có

2 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bài 4: ( ĐH Thái Nguyên – 1997 ) Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ Thầy chọn

ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng Hỏi có bao nhiêu cách :

a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp

b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữa

c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam

Bài 5: ( ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10

đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ?

Bài 6: ( ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông

hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông

1/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng

2/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng

đỏ ?

Bài 7: : Từ 1 tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác

gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau:

1 Không có điều kiện gì thêm

2 Tổ chỉ gồm 4 nam

3 Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ

Bài 8: Giải các pt , bpt sau :

1/A n3 =20n 2/ A n5 =18A n4−2 3/ 2A n2+50=A22n

4/P n+3 =720 A P n5 n−5 5/ 3 n 2 14

n n

A +C − = n 6/

7/ C n1+6C n2+6C n3 =9n2−14n 8/ 4 5 6

1 3

C +C = C + ( Tốt Nghiệp THPT – 2007 ) 9/ A x3+5A x2 ≤21x 10/ C n6 <C n4 11/ 22 2 3

10

2A x−A x ≤ x C x+

x x

A− −C = 13/ 3C x3+4A x2 =9x 14/ 0 3 1 32 2 3n 0 1024

15/ Tìm số nguyên dương n sao cho

16/

Bài 9: tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

1/

12

1

x

x

  2/

18 3

3

1

x x

  3/

10 3

2

1

2x

x

Bài 10: Cho các số: 1,2,4,6,8,9

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau đôi một

Bài 11: rút gọn biểu thức sau : 0 1 2 3 7

Bài 12: ( ĐH GTVT – 99 ) Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất Tính xác suất để ít

nhất 1 mặt sấp xuất hiện

Bài 13: ( ĐH Đà Nẵng -97 ) Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ Chọn ra 4 sinh viên đi lao động

Tính xác suất sao cho:

1/ Trong đó có 1 nữ 2/ Có không quá 3 nữ

Bài 14: ( Cao Đẳng Hải Quan – 98 ) Một hộp chứa 12 bóng đèn trong đó có 7 bóng tốt Lấy

ngẫu nhiên 3 bóng Tính xác suất để được :

a/ 3 bóng tốt b/ ít nhất 2 bóng tốt

Bài 15: Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4 Rút ngẫn nhiên 3 tấm.

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau :

A:” Tổng các số trên 3 tấm bìa = 8 “

B: “ Các số trên 3 tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp “

c) Tính P(A) ; P(B) ?

Bài 16: Một hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả câu đen, lấ ngẫu nhiên đồng thời 4 quả Tính xác suất

cho :

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

Bài 17: Gieo Đồng thời hai con súc sắc

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau và tính xác suất của chúng :

A:” số nút trên 2 súc sắc là như nhau “

B:” Mặt 5 chấm xuất hiện ở súc sắc thứ nhất “

C:”Tổng số chấm bé hơn 10”

D:”Tích số chấm là số lẻ”

E:”Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”

Bài 18: Gieo 3 đồng xu cân đối tính xác suất để :

a) Cả 3 đồng xu đều sấp

b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp

c) Có đ1ung 1 đồng xu sấp

Bài 17: Một câu lạc bộ có 25 thành viên.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ? (ĐS: 12650)

b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ Tịch, Phó Chủ tịch và thủ quỹ ? (ĐS:13800)

Bài 18: Trong không gian cho 9 điểm trong đó không điểm nào đồng phẳng Hỏi có thể lập bao

nhiêu tứ diện ? ( ĐS :126)

Bài 19: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao

cho :

a) Đôi một khác nhau b) Số lẻ đôi một khác nhau

c) Số chẵn đôi một khác nhau c) chia hết cho 5

Bài 20:

a) Trong khai triển

10

2 1

2x

x

  Tìm hệ số của số hạng chứa

8

x

b) Tìm hệ số x y trong khai triển 25 10 (x3+xy)15

c) Biết hệ số của 2

x trong khai triển (1 3 )− x nlà 95 Tìm n d) Từ khai triển (1+x2 14) Tìm tổng các hệ số của khai triển

e) Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức 2

3

1 n

x x

  , biết rằng

f) Tìm hệ số của trong khai triển của

g) Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niutơn của

biết rằng

Bài 21: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để :

a) Số được chọn là số nguyên tố b) Số được chọn chia hết cho 3

Bài 22: Một túi xách có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu Tính xác suất

để trong 4 quả cầu đó có cả màu đỏ và màu xanh ( ĐS : 97/105)

Bài 23: Cho P(A)=0,3;P(B)=0,4 và P(AB)=0,2 Hỏi 2 biến cố A và B có :

a) Xung khắc nhau không b) Độc lập vơi nhau không ?

Bài 24: Giải hệ phương trình:

Bài 25: Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 5 nữ sinh Giáo viên muốn chọn 4 học sinh trực thư viện.

Có bao nhiêu cách chọn như thế nếu:

a/ Chọn học sinh nào cũng được

b/ Có đúng 1 nữ sinh được chọn

c/ Có nhiều nhất 3 nữ sinh được chọn

d/ Có ít nhất 1 nữa sinh được chọn

Bài 26: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Bài 27: ( Cao Đẳng Hải Quan – 2000 ) Giải pt : 1 2 3 7

2

x x x

Bài 28: Chứng minh sự chia hết :

1/ 1110−1 chia hết cho 100 2/ 2.7n+1 chia hết cho 3

Bài 29: Chứng minh rằng:

a)

b) Cnk + 2Cnk-1 + Cnk-2 = Cn+2k

c)Cnk + 3Cnk-1 + 3Cnk-2 + Cnk-3 = Cn+3k

d) Cnk + 4Cnk-1 + 6Cnk-2 + 4Cnk-3 + Cnk-4 = Cn+4k

Bài 30:

a)Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh Xác suất để không có học sinh nữ nào là bao nhiu

b) Gieo đồng thời 2 con súc sắc Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2

c) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21.Xác suất để số được chọn chia hết cho 5 là bao nhiu ?

d) Một hộp bóng đèn có 10 bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn Tính xác suất để lấy ra cả 3 bóng đều tốt

Bài 31: Một hộp bóng đèn có 10 bóng đèn trong đó có 6 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3

bóng đèn Tính xác suất để có ít nhất một bóng tốt

Bài 32: cho T = (1+x) 9 + (1+x) 10 + (1+x) 11 + (1+x) 12 ,tìm hệ số x 9