Hai mặt phẳng vuông góc (11-Nâng cao)

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.. song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?. P Q Góc giữa hai mặt phẳng so

Kiểm tra bài cũ Câu hỏi 1: Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ?

Câu hỏi 2: Cho a(P), bP), b), b(P), bP), b)

Có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b?

P

Câu hỏi 3: Cho a//a’, b//b’ Có nhận xét gì về góc giữa hai

đường thẳng a và b và góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ ?

a b

'

a

'

b

p q O

Q P

a

b

'

a

'

b

Lấy a  (P), bP), b) và b  (P), bQ) )

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng

lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Định nghĩa 1

Cho hai mặt phẳng (P), bP), b) và (P), bQ) )

Góc giữa a và b có phụ thuộc

vào vị trí của a và b hay không ?

Ta gọi góc giữa a và b

là góc giữa (P) và (Q).

Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc

1 Góc giữa hai mặt phẳng

(Tiết 39)

a

Khi (P), bP), b) và (P), bQ) ) song song hoặc trùng nhau

thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu ?

P

Q

Góc giữa hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau bằng 00

Còn góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ?

Nếu góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là  thì 00 <  ≤ 900

P Q R



O H

K I

Cho (P), bP), b)(P), bQ) )=, (P), bR) )  , (P), bR) )(P), bP), b)=p, (P), bR) )(P), bQ) )=q

a) Trong (P), bR) ) lấy các đường thẳng

a và b sao cho ap, bq

Hãy chứng minh góc giữa

(P), bP), b) và (P), bQ) ) là góc giữa a và b

Bài toán:

b) So sánh góc giữa a và b với góc giữa p và q

Từ đó suy ra một cách xác định góc giữa (P), bP), b) và (P), bQ) ) ?

Cho hai mặt phẳng

(P), bP), b) và (P), bQ) ) cắt nhau

theo giao tuyến 

Để xác định góc giữa

(P), bP), b) và (P), bQ) ), ta có thể

làm như sau:

- Chọn mặt phẳng (P), bR) )

vuông góc với 

- Xác định các giao

tuyến p, q của (P), bR) ) với

(P), bP), b) và (P), bQ) )

- Góc giữa (P), bP), b) và (P), bQ) )

bằng góc giữa p và q

Chú ý

B

P

Q



O

p

q

Cho hai mặt phẳng

(P), bP), b) và (P), bQ) ) cắt nhau

theo giao tuyến 

Để đơn giản ta

có thể xác định góc

giữa (P), bP), b) và (P), bQ) ) như sau:

-Chọn một điểm O

-Trong (P), bP), b) và (P), bQ) ) lần lượt

dựng các đường thẳng

p và q cùng vuông góc

với  tại O

- Góc giữa (P), bP), b) và (P), bQ) )

bằng góc giữa p và q

Nếu AB và A(P), B(Q) thì ta có thể xác định góc giữa (P) và (Q) như sau:

Kẻ BO tại O Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa OA và OB

d) Kẻ OHSC tại H Khi đó (P), bBHD)SC.

Suy ra góc giữa (P), bSBC) và (P), bSCD)

bằng góc giữa HB và HD

(P), bTính toán xem như bài tập về nhà)

Ví dụ 1

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,

SA  (P), bABCD), SA=a Xác định góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) (P), bSAB) và (P), bABCD) b) (P), bSBC) và (P), bABCD).

c) (P), bSBD) và (P), bABCD) d) (P), bSBC) và (P), bSCD).

H O

C D

S

Giải:

Ta cã SA a

    

a) Ta có SA(P), bABCD) và AD(P), bSAB) nên góc giữa (P), bSAB) và (P), bABCD)

(P), bSBC) và (P), bABCD) bằng góc giữa SB và AB.

(P), bSBD) và (P), bABCD) bằng góc giữa AO và SO.

(P), bTính toán xem như bài tập về nhà)

Vậy góc giữa (P), bSBC) và (P), bABCD) bằng 45 0

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA  (P), bABC),

góc giữa (P), bABC) và (P), bSBC) bằng  CMR) : SABC=SSBC.cos.

(P), bký hiệu SABC là diện tích tam giác ABC)

H

A

B

C

S



Vì tam giác SAH vuông tại A nên ta có

Suy ra

S  BC AH  BC SH  S 

Kẻ AH vuông góc với BC tại H Khi đó BC  (P), bSAH),

suy ra SH  BC Do đó góc giữa (P), bABC) và (P), bSBC)

Giải:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P)

và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) Khi đó S’=S cos , trong đó  là góc giữa (P) và (P’).

'

H

H

P

'

P

Định lý 1

Công thức diện tích hình chiếu

Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc

1 Góc giữa hai mặt phẳng

2 Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau

nếu góc giữa chúng bằng 900

Định nghĩa 2

Hai mặt phẳng (P), bP), b) và (P), bQ) ) vuông góc với nhau

được ký hiệu là (P), bP), b)(P), bQ) )

Để chứng minh (P), bP), b)  (P), bQ) ) ta

chứng minh góc giữa (P), bP), b) và (P), bQ) ) bằng 900

làm như thế nào ?

A B

C

D

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD

đôi một vuông góc với nhau.

a) Hãy chỉ ra các đường thẳng

lần lượt vuông góc với các

mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD).

b) Từ đó suy ra các mặt phẳng đó

đôi một vuông góc.

H 1

Vì AB(ACD), AC(ABD) và ABAC nên góc giữa (ACD) và (ABD) là góc giữa AB và AC và bằng 90 0 Do đó (ACD)(ABD).

Giải:

Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc

1 Góc giữa hai mặt phẳng

2 Hai mặt phẳng vuông góc

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng

vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Định lý 2

 

 









b H

P

Q

a c

Nếu (P), bP), b)(P), bQ) ) thì có tồn tại a(P), bP), b) và a(P), bQ) ) hay không ?

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Tóm tắt

Gọi H là giao điểm của a và giao tuyến c

của (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đường thẳng

b vuông góc với c tại H Khi đó góc giữa

(P) và (Q) bằng góc giữa a và b.

Vì a(Q) nên ab Do đó góc giữa

(P) và (Q) bằng 90 0 , hay (P)(Q).

Chứng minh

Để chứng minh (P), bP), b)  (P), bQ) ) ta có thể làm như thế nào ?

tìm trong (P), bP), b) một đường thẳng a sao cho a(P), bQ) )

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q)

đều vuông góc với (Q)

Định lý 3

   

   

   

  







 













b H

P

Q

a c

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Tóm tắt

Gọi H là giao điểm của a và c Trong (P), bQ) ) kẻ đường thẳng b vuông góc Với c tại H Khi đó góc giữa a và b bằng góc giữa (P), bP), b) và (P), bQ) )

Vì (P), bP), b)(P), bQ) ) nên ab Mặt khác ac nên a(P), bQ) )

Chứng minh

Vớ dụ: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C,

SAC là tam giỏc đều và (P), bSAC)(P), bABC).

a) CMR) : (P), bSBC)(P), bSAC).

b) Gọi I là trung điểm của SC CMR) : (P), bABI)(P), bSBC).

Hướng dẫn:

a) Ta có

 



 















Ta có BC SBC

 









b) BC SAC

 



 







Vì SAC đ u ề nên AI  SC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI  SBC Do đó ABI   SBC .

Định lý 3

 

 SBC  SAC

B

C S

I

Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc

1 Góc giữa hai mặt phẳng

2 Hai mặt phẳng vuông góc

a Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

b Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

c Công thức diện tích hình chiếu

a Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

b Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

c Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau

nếu góc giữa chúng bằng 900

(Hệ thống kiến thức)

Hướng dẫn học ở nhà

1 Ôn lại lý thuyết

2 Làm các bài tập trang 111, 112 SGK

3 Đọc trước phần còn lại của bài học