1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
Trang 1TỔNG ÔN TOÁN 11
CHỦ ĐỀ 16 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
0
0 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
− = lim0
x
y x
∆ →
∆
∆ (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0thì nó liên tục tại điểm đó
2 Đạo hàm bên trái, bên phải
0
0 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
+
+
→
−
=
0 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
−
−
→
−
=
Hệ quả : Hàm f x( )có đạo hàm tại x0 ⇔ ∃f x( 0+) và f '(x0−) đồng thời f '(x0+)= f '(x0−)
3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
• Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b
• Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ]a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b
đồng thời tồn tại đạo hàm trái '( )f b− và đạo hàm phải '( )f a+
4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
• Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x thì 0 f x( ) liên tục tại x 0
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x 0 nhưng hàm đó không
có đạo hàm tại x 0
B – BÀI TẬP
Câu 1 Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f x( ) tạix0 < ? 1
0
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
0 0 0
( ) ( ) lim
x
f x f x
x x
→
−
0 0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
lim
x
x
∆ →
+ ∆ −
Câu 2 Cho hàm số f x liên t( ) ục tại x0 Đạo hàm của f x t( ) ại x là 0
A f x ( )0
B f x( 0 h) f x( 0)
h
+ −
0
lim
h
f x h f x
h
→
+ − (nếu tồn tại giới hạn)
0
lim
h
f x h f x h
h
→
(nếu tồn tại giới hạn)
VIP
Trang 2Câu 3 Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm tại x là 0 f x Kh'( )0 ẳng định nào sau đây sai?
A
0
0 0
0
( ) ( )
x x
f x f x
f x
x x
→
−
0
x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
h
f x h f x
f x
h
→
0
0
0
x x
f x x f x
f x
x x
→
−
Câu 4 Số gia của hàm số ( ) 3
f x = ứng với x x0 = và 2 ∆ =x 1 bằng bao nhiêu?
Câu 5 Tỉ số y
x
∆
∆ của hàm số f x( )=2x x( − theo x và 1) ∆xlà
A 4x+ ∆ +2 x 2 B ( )2
C 4x+ ∆ −2 x 2 D ( )2
4x x∆ +2 ∆x − ∆2 x
Câu 6 Số gia của hàm số ( ) 2
2
x
f x = ứng với số gia ∆xcủa đối số x tại x0 = −1 là
A 1( )2
Câu 7 Cho hàm số ( ) 2
f x =x − , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x ∆xcủa đối số x tại x0 là
0
C lim0( 2 1 )
0
∆ → ∆ + ∆ + ∆
(II) Hàm số không có đạo hàm tại
Mệnh đề nào đúng?
A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai đều sai D Cả hai đều đúng
Câu 9
khi 1
0 khi 1
x
x
tại điểm x0 = 1
A 1
1
1
1
4
1
x x
tại x0 = 1
( )
x
x
x
>
=
( )0 1
f ′ =
0
x =0
Trang 3Câu 11 Cho hàm số
khi 0 4
( ) 1 khi 0 4
x
x
f x
x
=
Khi đó f ′( )0 là kết quả nào sau đây?
A 1
1
1
Câu 12 Cho hàm số Khi đó là kết quả nào sau đây?
Câu 13 Cho hàm số
2 2
khi 2 ( )
6 khi 2 2
=
Để hàm số này có đạo hàm tại x=2 thì giá
trị của b là
Câu 14 Số gia của hàm số ( ) 2
f x =x − x+ ứng với x và ∆xlà
A ∆ ∆ +x( x 2x−4 ) B 2x+ ∆x C ∆x 2( x− ∆ 4 x) D 2x− ∆4 x
Câu 15 Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f x ( ) có đạo hàm tại điểm x= thì x0 f x liên t( ) ục tại điểm đó
(2) Nếu hàm số f x liên t( ) ục tại điểm x= thì x0 f x ( ) có đạo hàm tại điểm đó
(3) Nếu f x ( ) gián đoạn tại x= thì chắc chắn x0 f x ( ) không có đạo hàm tại điểm đó
Trong ba câu trên:
A Có hai câu đúng và một câu sai B Có một câu đúng và hai câu sai
C Cả ba đều đúng D Cả ba đều sai
Câu 16 Xét hai câu sau:
(1) Hàm số
1
x y
x
= + liên tục tại x=0
(2) Hàm số
1
x y
x
= + có đạo hàm tại x=0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (2) đúng B Chỉ có (1) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai
Câu 17 Cho hàm số ( ) 2
f x =x + Xét hai câu sau: x
(1) Hàm số trên có đạo hàm tại <nguyenthuongnd86 @gmail com >
(2) Hàm số trên liên tục tại x=0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai
Câu 18 Tìm a b, để hàm số ( ) 2 1
x x khi x
f x
ax b khi x
=
có đạo hàm tại x=1
1
a
b
=
= −
3 11
a b
=
= −
33 31
a b
=
= −
3 1
a b
=
= −
2
( )
f x = x f ′( )0
0
Trang 4Câu 19 Cho hàm số
2
x
x
f x
≤
=
Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại x=1?
2
2
a= b=
Câu20
( )
x
=
tại x=0
2
Câu 21
2
2
sin khi 0 ( )
khi 0
x
x
>
=
tại x0 =0
Câu 22
2
1 ( ) x x
f x
x
+ +
= tại x0 = − 1
Câu 23 Tìm a,b để hàm số ( ) 22 1 0
f x
x ax b khi x
=
có đạo hàm trên
A a=10,b=11 B a=0,b= −1 C a=0,b=1 D a=20,b=1
Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP
Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys
Contact us:
Hotline: 099.75.76.756
Admin: fb.com/khactridg
Email: tailieukys@gmail.com
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser
Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP
VIP
KYS
Trang 5HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f x( ) tạix0 < ? 1
0
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
0 0 0
( ) ( ) lim
x
f x f x
x x
→
−
0 0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
lim
x
x
∆ →
+ ∆ −
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng
Ch ọn C
Câu 2 Cho hàm số f x liên t( ) ục tại x0 Đạo hàm của f x t( ) ại x là 0
A f x ( )0
B f x( 0 h) f x( 0)
h
+ −
0
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
(nếu tồn tại giới hạn)
0
lim
h
f x h f x h
h
→
+ − − (nếu tồn tại giới hạn)
Hướng dẫn giải:
Ch ọn C
lim
x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
lim
h
f x h f x
f x
h
→
′ = (nếu tồn tại giới hạn)
Câu 3 Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm tại x là 0 f x Kh'( )0 ẳng định nào sau đây sai?
A
0
0 0
0
( ) ( )
x x
f x f x
f x
x x
→
−
0
x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
h
f x h f x
f x
h
→
0
0
0
x x
f x x f x
f x
x x
→
−
Hướng dẫn giải:
Ch ọn D
A Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm)
B Đúng vì
0
0 0
( ) ( ) ( ) lim
x x
y f x x f x
f x x f x f x x f x
f x f x
f x
→
∆ = − ⇒ = ∆ +
−
′
C Đúng vì
Đặt h= ∆ = − ⇒ = +x x x0 x h x0, ∆ =y f x( 0+ ∆ −x) ( )f x0
0
0 0
x x
f x f x
f x
→
−
′
Câu 4 Số gia của hàm số ( ) 3
f x = ứng với x x0 = và 2 ∆ =x 1 bằng bao nhiêu?
Trang 6A −19 B 7 C 19 D −7
Hướng dẫn giải:
Ch ọn C
Với x0 = và 2 ∆ =x 1 thì ∆ =y 19
Câu 5 Tỉ số y
x
∆
∆ của hàm số f x( )=2x x( − theo x và 1) ∆xlà
A 4x+ ∆ +2 x 2 B ( )2
C 4x+ ∆ −2 x 2 D ( )2
4x x∆ +2 ∆x − ∆2 x
Hướng dẫn giải:
Ch ọn C
0 0
y
x x
−
Câu 6 Số gia của hàm số ( ) 2
2
x
f x = ứng với số gia ∆xcủa đối số x tại x0 = −1 là
A 1( )2
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
Với số gia ∆xcủa đối số x tại x0 = − Ta có 1
2
Câu 7 Cho hàm số ( ) 2
f x =x − , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x ∆xcủa đối số x tại x0 là
0
0
0
0
∆ → ∆ + ∆ + ∆
Hướng dẫn giải:
Ch ọn B
Ta có :
( ) ( )
2
2
0
2
2
= ∆ + ∆ − ∆
2
y
∆
0
x
∆ →
Trang 7Câu 8 Cho hàm số Xét hai mệnh đề sau:
(II) Hàm số không có đạo hàm tại
Mệnh đề nào đúng?
A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai đều sai D Cả hai đều đúng
Hướng dẫn giải:
Ch ọn B
Gọi là số gia của đối số tại 0 sao cho
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0
Câu 9
khi 1
0 khi 1
x
x
tại điểm x0 = 1
A 1
1
1
1
4
Hướng dẫn giải:
Ch ọn C
Vậy '(1) 1
2
f =
1
x x
tại x0 = 1
Hướng dẫn giải:
Ch ọn D
2
1
x
−
Dẫn tới
x + f x x − f x
→ ≠ → ⇒ hàm số không liên tục tại x=1 nên hàm số không có đạo hàm tại
x =
( )
x
x
x
>
=
( )0 1
f ′ =
0
x =0
x
f
Trang 8Câu 11 Cho hàm số
khi 0 4
( )
1 khi 0 4
x
x
f x
x
=
Khi đó f ′( )0 là kết quả nào sau đây?
A 1
1
1
Hướng dẫn giải:
Ch ọn B
Ta có ( ) ( )
x
−
16
Câu 12 Cho hàm số Khi đó là kết quả nào sau đây?
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
Câu 13 Cho hàm số
2 2
khi 2 ( )
6 khi 2 2
=
Để hàm số này có đạo hàm tại x=2 thì giá
trị của b là
Hướng dẫn giải:
Ch ọn B
Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
f
x
( )
f x có đạo hàm tại x=2 khi và chỉ khi f x liên t( ) ục tại x=2
Câu 14 Số gia của hàm số ( ) 2
f x =x − x+ ứng với x và ∆xlà
A ∆ ∆ +x( x 2x−4 ) B 2x+ ∆x C ∆x 2( x− ∆ 4 x) D 2x− ∆4 x
Hướng dẫn giải:
2
( )
f x = x f ′( )0
0
2
( )
0 (0)
x
f
∆
∆ + −
x
x x
∆ →
∆
∆
Trang 9Ch ọn A
Ta có
Câu 15 Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f x ( ) có đạo hàm tại điểm x= thì x0 f x liên t( ) ục tại điểm đó
(2) Nếu hàm số f x liên t( ) ục tại điểm x= thì x0 f x ( ) có đạo hàm tại điểm đó
(3) Nếu f x ( ) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn f x ( ) không có đạo hàm tại điểm đó
Trong ba câu trên:
A Có hai câu đúng và một câu sai B Có một câu đúng và hai câu sai
C Cả ba đều đúng D Cả ba đều sai
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
(1) Nếu hàm số f x ( ) có đạo hàm tại điểm x= thì x0 f x liên t( ) ục tại điểm đó Đây là mệnh đề đúng
(2) Nếu hàm số f x liên t( ) ục tại điểm x= thì x0 f x ( ) có đạo hàm tại điểm đó
Phản ví dụ
Lấy hàm f x( )= ta có D = nên hàm số x f x liên t( ) ục trên
Nhưng ta có
0
0
x
x
−
Nên hàm số không có đạo hàm tại x=0
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai
(3) Nếu f x ( ) gián đoạn tại x= thì chắc chắn x0 f x ( ) không có đạo hàm tại điểm đó
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f x không liên t( ) ục tại x= thì x0 f x ( ) có đạo hàm tại điểm đó
Vậy (3) là mệnh đề đúng
Câu 16 Xét hai câu sau:
(1) Hàm số
1
x y
x
= + liên tục tại x=0
(2) Hàm số
1
x y
x
= + có đạo hàm tại x=0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (2) đúng B Chỉ có (1) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai
Hướng dẫn giải:
Ch ọn B
Trang 10Ta có :
0
0
1
1
x
x
x
x f x
x f
→
→
=
+
Vậy hàm số
1
x y x
= + liên tục tại x=0
Ta có : ( ) ( )
0
x
x
−
Do đó :
x
f x f
x
f x f
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của ( ) ( )0
0
f x f x
−
− khi x→0
Vậy hàm số
1
x y
x
= + không có đạo hàm tại x=0
Câu 17 Cho hàm số ( ) 2
f x =x + Xét hai câu sau: x
(1) Hàm số trên có đạo hàm tại <nguyenthuongnd86 @gmail com >
(2) Hàm số trên liên tục tại x=0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai
H ướng dẫn giải:
Ch ọn B
Ta có
x − f x x − x x
+) f ( )0 = 0
x + f x x − f x f
⇒ = = Vậy hàm số liên tục tại x=0
Mặt khác:
0
0
+
0
0
−
( )0 ( )0
f′ + f′ −
⇒ ≠ Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0
Câu 18 Tìm a b, để hàm số ( ) 2 1
x x khi x
f x
ax b khi x
=
có đạo hàm tại x=1
1
a
b
=
= −
3 11
a b
=
= −
33 31
a b
=
= −
3 1
a b
=
= −
Hướng dẫn giải:
Trang 11Ch ọn D
→ = → + = +
Hàm có đạo hàm tại x=1 thì hàm liên tục tại x=1 ⇔ + =a b 2 (1)
2
x
a
Hàm có đạo hàm tại x=1 3
1
a b
=
⇔ = −
Câu 19 Cho hàm số
2
x
x
f x
≤
=
Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo
hàm tại x=1?
2
2
a= b=
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
Hàm số liên tục tại x=1 nên Ta có 1
2
a+ =b
Hàm số có đạo hàm tại x=1 nên giới hạn 2 bên của ( ) ( )1
1
f x f x
−
− bằng nhau và Ta có
a a
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
1
x
−
Vậy 1; 1
2
a= b= −
Câu20
( )
x
=
tại x=0
2
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
Ta có:
f x f
x
Vậy f '(0) = 0
Câu 21
2
2
sin khi 0 ( )
khi 0
x
x
>
=
tại x0 = 0
Trang 12A 1 B 2 C 3 D 5
Hướng dẫn giải:
Ch ọn A
Ta có
2
( 2)
x − f x x − x x
→ = → + = nên hàm số liên tục tại x=0
2 2
và
2
Vậy f '(0) = 1
Câu 22
2
1 ( ) x x
f x
x
+ +
= tại x0 = − 1
Hướng dẫn giải:
Ch ọn D
Ta có hàm số liên tục tại x = −0 1 và
2
1 ( ) ( 1)
x x x
f x f
+ + +
Nên
2
2
Do đó
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = − 1
Nh ận xét: Hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x= thì phải liên tục tại điểm đó x0
Câu 23 Tìm a,b để hàm số ( ) 22 1 0
f x
x ax b khi x
=
có đạo hàm trên
A a=10,b=11 B a=0,b= −1 C a=0,b=1 D a=20,b=1
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta thấy với x≠0 thì f x( ) luôn có đạo hàm Do đó hàm số có đạo hàm trên khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tạix=0
Ta có:
→ = → = ⇒ f x( ) liên tục tạix= ⇔ =0 b 1
Khi đó:
'(0 ) '(0 ) 0
Vậy a= 0,b= 1 là những giá trị cần tìm