vi phân, đạo hàm cấp cao

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

Câu 6 Tìm vi phân của các hàm số 3

C

2 3

1

x y

x

=

3dd

1

x y

1

x y

1

x y

Câu 14 Cho hàm số y=sinx−3cosx Vi phân của hàm số là:

A dy= −( cosx+3sinx)dx B dy= −( cosx−3sinx)dx

C dy=(cosx+3sinx)dx D dy= −(cosx+3sinx)dx

Câu 15 Cho hàm số 2

sin

y= x Vi phân của hàm số là:

A dy=– sin 2 dx x B dy=sin 2 dx x C dy=sin dx x D dy=2cos dx x

Câu 16 Vi phân của hàm số y tan x

Câu 17 Hàm số y=xsinx+cosx có vi phân là:

A dy=(xcos – sinx x)dx B dy=(xcosx)dx

C dy=(cos – sinx x)dx D dy=(xsinx)dx

Câu 18 Hàm số 2

1

y x x

=+ Có vi phân là:

Câu 19 Cho hàm số Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

Câu 22 Cho hàm số y = Vi phân của hàm số là:

2

khi 0( )

2

khi 0( )

Câu 30 Cho hàm số Chọn kết quả đúng:

x y

x

−

=+

1

x y

x

−

=+

C

2 3

′+

x y

x

=

3dd

1

x y

1

x y

1

x y

x x

x x

=

Câu 14 Cho hàm số y=sinx−3cosx Vi phân của hàm số là:

A dy= −( cosx+3sinx)dx B dy= −( cosx−3sinx)dx

C dy=(cosx+3sinx)dx D dy= −(cosx+3sinx)dx

dy=d sin x = sin x ′dx=cos 2 sin dx x x=sin 2 dx x

Câu 16 Vi phân của hàm số y tan x

Câu 17 Hàm số y=xsinx+cosx có vi phân là:

A dy=(xcos – sinx x)dx B dy=(xcosx)dx

C dy=(cos – sinx x)dx D dy=(xsinx)dx

=+ Có vi phân là:

và hàm số không có vi phân tại

Câu 28 Cho hàm số Vi phân của hàm số là:

dy=d cos 2x =2 cos 2 (cos 2 ) 'dx x x= −4 cos 2 sin 2 dx x x= −2 sin 4 dx x

2

khi 0( )

Câu 31 Cho hàm số Vi phân của hàm số là:

x y

x

−

=+

1

x y

x

−

=+

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

B – BÀI TẬP

Câu 1 Hàm số

2

x y x

y x

′′ =

42

y x

x

+ ++

x

+ +

=+ có đạo hàm cấp 5 bằng :

y x

=

+

′′ =+

Câu 12 Cho hàm số y=sin2x Chọn khẳng định đúng

A Chỉ ( )I đúng B Chỉ ( )II đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

Câu 14 Nếu ( ) 2 sin3

y′′′ = C ( ) 3

18

y′′′ = − D ( ) 1

14

y π

Câu 24 Cho hàm số y=sin 2x Tính y( )n

+

=+

A

1 ( )

1

(1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x

− +

=

1 ( )

1

( 1) !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

C

1 ( )

1

( 1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

Câu 26 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 1 ,a 0

n

a n y

n n n

n

a n y

−

=+

C ( ) ( 1) !1

n n

n

n y

n

a n y

ax b +

−

=+

Câu 27 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

x y

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

Câu 30 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

x y

y x

′′ =

42

y x

Câu 3 Hàm số y= 2x+5 có đạo hàm cấp hai bằng:

x

+ ++

x

+ +

=+ có đạo hàm cấp 5 bằng :

y x

y x

′′ =

61

y

x

= −

+

′′ =+

++

Câu 10 Hàm số 2 2 3

1

x x y

Câu 12 Cho hàm số y=sin2x Chọn khẳng định đúng

I y f x

x

6:

− + +

=

−

21

x x

= − +

21

y x

y′′′ = C ( ) 3

18

y′′′ = − D ( ) 1

14

y x

′′ =

63

( )4

Suy ra '''( ) 8 cos2 4; ( )(4) 16 sin 16

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 1

2

x y x

+

=+

A

1 ( )

1

(1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x

− +

=

1 ( )

1

( 1) !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

C

1 ( )

1

( 1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

Hướng dẫn giải:

Ch ọn D

Ta có

' 2

n n

n

n y

x

− +

−

=+

k k

k

k y

x

− +

−

=+

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 26 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 1 ,a 0

n

a n y

n n n

n

a n y

−

=+

C ( ) ( 1) !1

n n

n

n y

n

a n y

ax b +

−

=+

n

a n y

ax b +

−

=+

k

a k y

ax b +

−

=+

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 27 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

x y

Nên ( ) ( 1) 7 !1 ( 1) 5 !1

n n n

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

n n

n

n y

Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n n n

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Ý nghĩa vật lí :

• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s=s t( ) tại thời điểm t0 là

( )0 '( )0

v t =s t

• Cường độ tức thời của điện lượng Q=Q t( )tại thời điểm t0 là : I t( )0 =Q t'( )0

Câu 1 Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2

A Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = hoặc 0 t= 2

B Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= là 2 v=18m s/

C Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = là 3 2

A Gia tốc của chuyển động khi t=4s là a=18m / s2

B Gia tốc của chuyển động khi t =4s là a=9m / s2

C Vận tốc của chuyển động khi t =3s là v=12m / s

D Vận tốc của chuyển động khi t =3s là v=24m / s