Bài 44 mặt cầu khối cầu

Định nghĩa a Mặt cầu Tập R hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.. Nếu OA OB, là hai bán kính của mặt c

Trang 1

1

Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

a) Mặt cầu

Tập R hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R

không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R

Kí hiệu: S O R( ; )={M OM| =R}

b) Khối cầu

Mặt cầu S O R( ; ) cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu

tâm O , bán kính

Kí hiệu: B O R( ; )={M OM| £R}

Nếu OA OB, là hai bán kính của mặt cầu sao cho ,A O B, thẳng hàng thì đoạn

thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu

Định lí: Cho hai điểm cố định , A B Tập hợp các điểm M trong không gian

sao cho AMB=900 là mặt cầu đường kính AB

 AÎS O R( ; )ÛOA=R

 OA1<RÛA1 nằm trong mặt cầu

 OA2 >RÛA2 nằm ngoài mặt cầu

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S O R( ; ) và mặt phẳng ( )P , gọi d là khoảng cách từ O đến ( )P và H là hình chiếu vuông góc

của O trên ( )P Khi đó:

 Nếu d R< thì mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu S O R( ; ) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng ( )P

có tâm là H và có bán kính 2 2

r= R -d

O

P

O

H

R O

A O

A2

B

A1

O

Trang 2

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – BÀI TẬP |

2

Khi d = thì mặt phẳng 0 ( )P đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt

cầu

 Nếu d =R thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu S O R( ; ) có một điểm chung duy nhất H

Khi đó ta nói ( )P tiếp xúc với S O R( ; ) tại H và ( )P gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp điểm

Chú ý: Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S O R( ; ) và mặt phẳng ( )P qua H Thế thì ( )P tiếp xúc với

S O R ÛOH^ P

 Nếu d R> thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu S O R( ; ) không có điểm chung

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S O R( ; ) và đường thẳng D Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên D và d OH= là khoảng

cách từ O đến D Khi đó:

 Nếu d R< thì D cắt S O R( ; ) tại hai điểm ,A B và H là trung điểm của AB

 Nếu d =R thì D và S O R( ; ) chỉ có một điểm chung H, trong trường hợp này D gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S O R( ; ) hay D tiếp xúc với S O R( ; ) và H là tiếp điểm

 Nếu d R> thì D và S O R( ; ) không có điểm chung

4 Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính của mặt cầu thì:

 Diện tích mặt cầu: S =4pR2

 Thể tích khối cầu: 4 3

3

V = pR

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

I) Đường kính AB thuộc D

(II) D cố định và đường kính AB thuộc D

(III) D cố định và hai điểm ,A B cố định trên D

C Chỉ (III) D Không cần thêm điều kiện nào

d

H A

B O

d

O H

d O

H

Trang 3

3

A Thiết diện của mặt cầu với một mặt phẳng luôn là một đường tròn

B Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu sẽ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có đường kính lớn nhất

C Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau

D Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu

(I) Mọi đường thẳng đi qua A đều cắt ( )S tại hai điểm phân biệt

(II) Mọi mặt phẳng đi qua A đều cắt ( )S theo một đường tròn

(III) Trong các mặt phẳng đi qua A , mặt phẳng vuông góc với OA sẽ cắt ( )S theo một đường tròn

có bán kính nhỏ nhất

Trong các mệnh đề trên:

A Cả ba mệnh đề đều đúng B Có một mệnh đề đúng

C Không có mệnh đề nào đúng D Có hai mệnh đề đúng

A Hình tròn B Đường tròn C Hai điểm phân biệt D.Duy nhất 1 điểm

A Hình chóp tam giác (tứ diện) B Hình chóp ngũ giác đều

C Hình chóp tứ giác D Hình hộp chữ nhật

khẳng định nào đúng ?

A AB là một đường kính của mặt cầu

B Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C Tam giác ABC vuông tại C

D Mặt phẳng (ABC cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn )

A Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính

B Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng nhỏ hơn bán kính

C Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng lớn hơn bán kính

D Mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu

Trang 4

4

là:

A Cát tuyến B Tiếp tuyến C Tiếp diện D Không có đáp án

A IA R< B IA R> C IA R= D IA=2R

A a2-d2(I P;( )) B a2+d2(I P;( )) C 4a2-d2(I P;( )) D 4a2+d2(I P;( ))

Câu 14 Cho mặt cầu S O R và một điểm A , biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ một cát tuyến cắt ( )S tại B và C sao

cho BC=R 3 Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

2

R Khi đó thiết diện

tạo bởi mặt phẳng ( )P với S O R là một đường tròn có đường kính bằng: ( ; )

2

R

bằng 2, 4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

M tùy ý thuộc ( )S Đường thẳng OM cắt ( )P tại N Hình chiếu của O trên ( )P là I Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A NI tiếp xúc với ( )S B ON =R 2ÛIN =R C Cả A và B đều sai D Cả A và B đều đúng

Trang 5

5

B Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

2

có diện tích là

2p Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( )a bằng:

A p

2

p

giữa OA và ( )P bằng 60° Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

A 2

R

2

R

4

R

8

R

6

r = Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )P bằng:

điểm chung giữa ( )S và ( )P

A 4 Rp 2 B 2 Rp 2 C 2

R

A

3

4

3

R

4

R

3

R

2

R

3

V = pR D 3V =S R

Câu 26 Cho mặt cầu ( )S có bán kính 1 R1, mặt cầu ( )S2 có bán kính R2 và R2 =2R1 Tỉ số diện tích của mặt

cầu ( )S2 và mặt cầu ( )S bằng: 1

Trang 6

6

A 1

1

3

27

a

p , khi đó bán kính mặt cầu là:

A 6

3

2

3

a

A R= 8a B R=2a C R a= D R=a 2

ngoại tiếp hình trụ là:

C ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C D A D B C C C B C C D A B B C D D D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C D A A A D A D B B

Trang 7

1

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt

quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

I) Đường kính AB thuộc D

(II) D cố định và đường kính AB thuộc D

(III) D cố định và hai điểm ,A B cố định trên D

C Chỉ (III) D Không cần thêm điều kiện nào

A Thiết diện của mặt cầu với một mặt phẳng luôn là một đường tròn

B Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu sẽ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có đường kính lớn nhất

C Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau

D Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu

(I) Mọi đường thẳng đi qua A đều cắt ( )S tại hai điểm phân biệt

(II) Mọi mặt phẳng đi qua A đều cắt ( )S theo một đường tròn

(III) Trong các mặt phẳng đi qua A , mặt phẳng vuông góc với OA sẽ cắt ( )S theo một đường tròn

có bán kính nhỏ nhất

Trong các mệnh đề trên:

A. Cả ba mệnh đề đều đúng B Có một mệnh đề đúng

C Không có mệnh đề nào đúng D Có hai mệnh đề đúng

A Hình tròn B Đường tròn C Hai điểm phân biệt D.Duy nhất 1 điểm

A Hình chóp tam giác (tứ diện) B Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác D Hình hộp chữ nhật

Trang 8

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |

2

khẳng định nào đúng ?

A AB là một đường kính của mặt cầu

B Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C. Tam giác ABC vuông tại C

D Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn

A Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính

B Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng nhỏ hơn bán kính

C Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng lớn hơn bán kính

D Mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu

là:

A Cát tuyến B. Tiếp tuyến C Tiếp diện D Không có đáp án

A IA R< B IA R> C. IA R= D IA=2R

A a2-d2(I P;( )) B a2+d2(I P;( )) C. 4a2-d2(I P;( )) D 4a2+d2(I P;( ))

Câu 14 Cho mặt cầu S O R và một điểm A , biết ( ; ) OA=2R Qua A kẻ một cát tuyến cắt ( )S tại B và C sao

cho BC=R 3 Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

2

Hướng dẫn giải:

Trang 9

3

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

Ta có OB OC R= = , suy ra H là trung điểm của BC

2

R

OH = OC -HC =

2

R Khi đó thiết diện

tạo bởi mặt phẳng ( )P với S O R là một đường tròn có đường kính bằng: ( ; )

2

R

Gọi H là hình chiếu của O xuống ( )P

Ta có ( ,( ) )

2

R

d O P =OH = <R nên ( )P cắt S O R theo ( ; )

đường tròn C H r ( ; )

Bán kính đường tròn C H r là ( ; ) 2 2 3

2

R

r= R -OH = Suy ra đường kính bằng R 3

bằng 2, 4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

A.1, 2cm B 1,3cm C 1cm D 1, 4cm

Mặt phẳng cắt mặt cầu S O( ; 2,6cm) theo một đường

tròn (H r ; )

Vậy r= R2-OH2 = ( ) ( )2,6 2- 2, 4 2 =1cm

H

B O

A C

O

H A

R H O

A

Trang 10

4

M tùy ý thuộc ( )S Đường thẳng OM cắt ( )P tại N Hình chiếu của O trên ( )P là I Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A NI tiếp xúc với ( )S B ON =R 2ÛIN =R C Cả A và B đều sai D. Cả A và B đều đúng

Vì I là hình chiếu của O trên ( )P nên d O P( ,( ) )=OI

mà d O P( ,( ) )=R nên I là tiếp điểm của ( )P và ( )S

Đường thẳng OM cắt ( )P tại N nên IN vuông góc với

OI tại I Suy ra IN tiếp xúc với ( )S

Tam giác OIN vuông tại I nên ON =R 2ÛIN =R

B Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

2

Vì AB tiếp xúc với ( )S tại B nên AB^OB Suy ra AB= OA2-OB2 = 4R2-R2 =R 3

có diện tích là

2p Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( )a bằng:

A p

2

p

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt

hình cầu và đi qua tâm của hình cầu Gọi R là bán kính hình cầu thì

hình tròn lớn cũng có bán kính là R

Theo giả thiết, ta có 2 p

p

= Û =

Suy ra 2 2

2

p

giữa OA và ( )P bằng 60° Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

O

N M

R

r

Trang 11

5

A 2

R

2

R

2

4

R

2

8

R

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ( )P thì H là tâm

của đường tròn giao tuyến của ( )P và ( )S

( )

(OA P, )=(OA AH, )=60°

Bán kính của đường tròn giao tuyến: cos 600

2

R

r=HA=OA = Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến:

p =pæ öç ÷ç ÷ =

è ø

6

r = Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )P bằng:

( )

2 2

I P

d = R -r =

điểm chung giữa ( )S và ( )P

Giao tuyến là đường tròn tâm I

A. 4 Rp 2 B 2 Rp 2 C 2

R

O

H A

Trang 12

6

A.

3

4

3

R

3

3 4

R

3

2 3

R

3

3 2

R

3

V = pR D 3V =S R

3

S= pR V = pR Þ V = pR =S R

Câu 26 Cho mặt cầu ( )S1 có bán kính R , mặt cầu 1 ( )S2 có bán kính R và 2 R2=2R1 Tỉ số diện tích của mặt

cầu ( )S2 và mặt cầu ( )S1 bằng:

A 1

1

2 2

2

4

4 4

p

æ ö

ç ÷

= =ç ÷ =

è ø

3

27

a

p , khi đó bán kính mặt cầu là:

A 6

3

a

3

a

2

a

3

a

3 3

p

A R= 8a B R=2a C R a= D R=a 2

2

8

2

ngoại tiếp hình trụ là:

Trang 13

7

2

xq

S = pr l= pr r = pr = p Þ = r

Gọi O là tâm của thiết diện qua trục

O

Þ là tâm khối cầu ngoại tiếp hình trụ

2

1

2

AB= ÞR=OA= AC= ÞS= pR = p

3

4

3

V = pR = ÞR=

O

D

A

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	548,48 KB