Bài 45 mặt cầu ngoại tiếp

Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC.. Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của kh

1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện ( )H gọi là mặt cầu

ngoại tiếp hình đa diện ( )H và khi đó ( )H được gọi là nội tiếp mặt cầu đó

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một

đa giác nội tiếp một đường tròn

Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp

2 Mặt cầu nội tiếp hình chóp

 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với

với tất các mặt của hình chóp

 Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp

3 Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính của mặt cầu thì:

4 Một số phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Loại 1: Cạnh bên SA vuông góc đáy và ABC =90°, khi đó

2

SC

R = và tâm là trung điểm SC

Loại 2: Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được

bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là R , khi đó ta có công thức: D

p p a p b p c

=

trong đó p là nửa chu vi

Đặc biệt: Nếu ABCD vuông tại A thì: 2 1( 2 2 2)

S

B

C A

S

I K

S

2

Loại 3: Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA SB SC SD= = = Khi đó bán kính

mặt cầu ngoại tiếp:

22

SA R SO

=

Đặc biệt:

 ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường chéo

 ABCD vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền

 ABCD đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm

Loại 4: Hai mặt phẳng (SAB và ) (ABC vuông góc với nhau và có giao tuyến )

AB Khi đó ta gọi R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác 1, 2

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB^BC BC CD CD, ^ , ^AB và

Câu 4 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a = Cạnh bên SA vuông

góc với đáy (ABC Gọi ,) H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC

Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:

a

32

B

C A

J I

A

S

3 66

a

3 68

a

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Gọi AH là đường cao của tứ diện và S là trung điểm đoạn thẳng

AH Mặt cầu đi qua bốn điểm S B C D, , , có bán kính bằng:

Câu 8 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng AB AC AD, , lần lượt

tại các điểm B C D, , Bán kính mặt cầu đó bằng:

Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a= Cạnh bên SA a= 2, hình

chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp khối chóp S ABC là:

khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R

Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

mặt phẳng (ABC là trung điểm ) H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC )bằng 60 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , 0 R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt

phẳng (SAB Đẳng thức nào sau đây sai? )

C Giao điểm của hai đường chéo AC và BD D Trọng tâm tam giác SAC

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

ABCD và SA a= Gọi E là trung điểm của CD Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm , , , S A B E

a

S= p C

2414

a

S = p D

223

a

S= p

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB BC CD a= = = và AD=2a Cạnh

bên SA=2a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Câu 17 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a= 2 Từ B và C dựng các đoạn BD CE vuông góc ,

với mặt phẳng (ABC ở về một phía của ) (ABC sao cho BD CE a) = = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCED là:

A S=2pa2 B S =pa2 C S=3pa2 D S=4pa2

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a , AB BC CD a= = =

Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD

Tỉ số R

a nhận giá trị nào sau đây?

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – BÀI TẬP |       

5

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a , AD a = Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45 Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối 0chóp S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ giữa R và

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Đường thẳng SA a= 2 vuông

góc với đáy (ABCD Gọi ) M là trung điểm SC , mặt phẳng ( )a đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại , E F Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc đáy

(ABCD Gọi ) H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA a= 6 và vuông góc với

đáy (ABCD Tính theo ) a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ta được:

A a2 2 B 8 ap 2 C 2a 2 D 2 ap 2

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác vuông tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là:

Câu 24 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Diện tích của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S ABCD là:

Câu 25 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:

27

36pa

Câu 27 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có AB a ' ' ' = , góc giữa hai mặt phẳng (A BC và ' ) (ABC )

bằng 60° Gọi G là trọng tâm tam giác ' A BC Diện tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

bằng:

A 7 2

249

249

249

32

31

Câu 34 Người ta xếp 7 quả bóng bàn có cùng đường kính vào một cái hộp hình trụ sao cho tất cả các quả bóng

bàn đều tiếp xúc với mặt đáy hình trụ, quả bóng nằm giữa tiếp xúc với 6 quả bóng xung quanh và mỗi

Câu 35 Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng

hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính quả banh Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số diện tích 1

Câu 37 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có SA^(ABCD) trong đó ABCD là hình chữ

nhật với AB=2AD=2a đồng thời cos 1

Câu 38 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết rằng SA^(ABC), tam giác ABC vuông tại

A và tam giác SBC đều cạnh a

Câu 39 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết rằng SA^(ABC), tam giác ABC đều cạnh

a đồng thời (SBC tạo với mặt phẳng đáy góc 60° )

Câu 41 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều S ABCD có thể tích bằng 2 3 và diện tích

xung quanh đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 43 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB

nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy đồng thời SA a= 3,SB a=

Câu 44 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy biết rằng thể tích của khối chóp đã cho bằng

3

4 33

Câu 45 Chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA^(ABCD), góc giữa (SBD và ) (ABCD bằng )

60° Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H ABCD

Câu 46 Chóp S ABC có SA^(ABC), các tam giác ABC vuông tại B và tam giác SAC vuông cân tại A

Mặt phẳng ( )P đi qua A , vuông góc với SC và cắt SB SC lần lượt tại , M N Xác định tỷ số thể ,

tích của hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN và khối chóp A BMNC

Câu 47 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết rằng SA^(ABC), tam giác ABC vuông tại

B, AB a BAC= , =30°, góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) (ABC bằng 60° )

a

V = p D

3

16 554

a

V= p

Câu 48 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đồng thời tam

giác SAB vuông cân và tam giác SCD đều

Câu 49 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC biết rằng SA^(ABC), tam giác ABC vuông tại

A có AB=3 ,a AC=4a và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là 2a

a

S = p C

21615

a

S = p D

21103

Câu 52 Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn ( )C đường kính AB=2R Gọi M là một điểm di động trên

đường tròn Kẻ MH vuông góc với AB tại H với AH=x(0< <x 2R) Dựng đường thẳng vuông góc với ( )P tại M Trên đường thẳng đó lấy điểm S sao cho MS MH= Xác định giá trị lớn nhất

bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ?

Câu 53 Chóp S ABCD có SA vuông góc mặt phẳng đáy Đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=2a và

AB a= Góc giữa hai mặt (SBD và ) (ABCD là 45° Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp )

a

V = p

3 212

a

3 324

a

V =

Câu 56 Lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác vuông cân cạnh a , khoảng cách giữa AB và ' ' B C

là 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Câu 58 Hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB AD a CD= = , =2a Gọi 't Dt là đường thẳng

vuông góc với (ABCD tại D Trên đường thẳng đó lấy M sao cho ) MD=2a Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD

Câu 59 Cho mặt cầu ( )S tâm O bán kính R Gọi V là thể tích khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu đã

cho Giá trị lớn nhất của V là?

R

312881

R

381

Câu 1 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB^BC BC, ^CD CD, ^AB và

AB^BCÞ DABC vuông tại B

Gọi M là trung điểm của ACÞM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD

Gọi N là trung điểm của CD

N

M

B S

Câu 4 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = Cạnh bên SA vuông a

góc với đáy (ABC) Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC

Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:

a

32

I S

B

C A

H K

AN AO AON ABG g g

a

3 66

a

3 68

1

62

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Gọi AH là đường cao của tứ diện và S là trung điểm đoạn thẳng

AH Mặt cầu đi qua bốn điểm S B C D, , , có bán kính bằng:

Câu 8 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng AB AC AD, , lần lượt

tại các điểm B C D, , Bán kính mặt cầu đó bằng:

AOB AOC AOD c c c

ABO ACO ADO AB BO AC CO AD DO

Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=a Cạnh bên SA=a 2, hình

chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp khối chóp S ABC là:

Gọi M là trung điểm AC , suy ra SM ^(ABC)ÞSM ^AC

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên SACD cân tại S

Ta có AC= AB2+BC2 =a 2, suy ra tam giác SAC đều

Gọi G là trọng tâm SACD , suy ra GS =GA GC= ( )1

Tam giác ABC vuông tại B , có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lại có SM ^(ABC) nên SM là trục của tam giác ABC

Mà G thuộc SM nên suy ra GA GB= =GC( )2

O

H

M C

A

D B

H B

O

A

G M S

B

C A

của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

Gọi M là trung điểm SA , ta có SMID ∽DSOA nên

R

h =

Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

mặt phẳng (ABC là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ) (ABC )bằng 60 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt 0phẳng (SAB) Đẳng thức nào sau đây sai?

I

d G SAB = d C SAB = d H SAB

Gọi M E, lần lượt là trung điểm AB và MB

2

CM AB

a CM

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra HK^(SAB) nên d H( ,(SAB) )=HK

Trong tam giác vuông SHE , ta có

A. Trung điểm cạnh SC B Trung điểm cạnh SD

C Giao điểm của hai đường chéo AC và BD D Trọng tâm tam giác SAC

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

G

E M

S

D A

C

S

Gọi M là trung điểm của ABÞSM^(ABCD)

Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm

của CD , G là trọng tâm tam giác SAB , I là giao điểm

của đường thẳng qua O vuông góc với MN và đường

thẳng qua G vuông góc với SM (trong mặt phẳng

ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC

Gọi M là trung điểm của AC , O là trung điểm của SC

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

ABCD và SA= a Gọi E là trung điểm của CD Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S A B E, , ,

a

2414

a

223

M

O B

S

C

A

D S

S

8

Gọi G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABE Qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AG , cắt trung trực của

SA tại I Vậy I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm S A B E, , ,

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB =BC =CD =a và AD =2a Cạnh

bên SA=2a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

ABCD là hình thang cân nội tiếp đường tròn đường kính AD

Gọi O là trung điểm của AD , I là trung điểm của SD

Câu 17 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a 2 Từ B và C dựng các đoạn BD CE, vuông góc

với mặt phẳng (ABC) ở về một phía của (ABC) sao cho BD =CE =a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCED là:

E

M

S

D A

S

Gọi M là trung điểm của BC ABCD vuông cân tại A nên M là tâm

đường tròn ngoại tiếp ABCD

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a , AB BC CD a= = =

Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD

Gọi E là trung điểm AD

Ta có EA AB BC= = nên ABCE là hình thoi

Ta có  SAD=SBD=SCD=900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I của

SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a , AD a = Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45 Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối 0chóp S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ giữa R và

C

D B

E A

I

E

B S

C

Lại có NA^AC Do đó hai điểm ,A B cùng nhìn đoạn NC dưới

một góc vuông nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là

trung điểm NC , bán kính

2 2

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Đường thẳng SA=a 2 vuông

góc với đáy (ABCD) Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng ( )a đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại , E F Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm , , ,S A E M F,nhận giá trị nào sau đây?

Do đó SEA= SMA=SFA=900 nên năm điểm , , ,S A E M F, cùng

thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA , bán kính 2

SA a

R= =

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc đáy

(ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?

J N

O

D A

S

I

F E

M

O B

C S