‒ Tình các tỷ số độ dài của đường cao nếu cùng đa giác đáy hoặc diện tích đáy nếu cùng đường cao của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể
Trang 11
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Thể tích khối chóp
1 3
Trong đó: S: Diện tích đa giác đáy
h: Đường cao của hình chóp
2 Tỉ số thể tích trong chóp tam giác
Hai khối chóp S ABC và S MNP có đung đỉnh S và các góc ở đỉnh
S Khi đó:
.
S MNP
S ABC
3 Một số khối chóp đặc biệt
Khối tứ diện đều:
‒ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
‒ Tất cả các mặt là các tam giác đều
‒ G là trọng tâm của tam giác đáy và AG^(BCD)
Khối chóp đa giác đều:
‒ Đáy là đa giác đều
‒ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
‒ H là tâm của đa giác đáy và SH ^(A A1 2 A n)
3 Một số công thức tính diện tích
Tam giác thường
( )( )( )
4
ABC
abc
p p a p b p c R
-B C
A
H
B
S
M
P N
G
D A
A1 A n
A2
H S
Trang 22
2
a b c
= là bán kính đường trong ngoại tiếp
2
4
a
2
2
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Một số phương pháp tính thể tích của khối chóp
Cách 1:
‒ Xác định đa giác đáy
‒ Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông góc với mặt phẳng đáy)
‒ Tính thể tích khối chóp theo công thức
Cách 2:
A
a A
a
b a
C B
D A
A
D
C
B H
H
Trang 33
‒ Xác định đa giác đáy
‒ Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
Cách 3: Dùng tỉ số thể tích
C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
A. V =3Bh B. V =Bh C 1
2
V = Bh D 1
3
V = Bh
Câu 2 Cho một khối chóp có thể tích bằng V Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống 3 lần
thì thể tích khối chóp lúc đó bằng:
A.
3
V
9
V
Câu 3 Cho khối tứ diện đều ABCD Điểm M thuộc miền trong của khối tứ diện sao cho
thể tích các khối MBCD MCDA MDAB MABC, , , bằng nhau Khi đó:
A M cách đều tất cả các đỉnh của khối tứ diện đó
B M cách đều tất cả các mặt của khối tứ diện đó
C M là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạch đối diện của tứ diện
D Tất cả các mệnh đề trên đều đúng
Câu 4 Tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc và OA OB OC a= = = có thể
tích bằng:
A 1 3
3
1
3
1
3
1
4a
Câu 5 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a AC, =a 3 , cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a 2 Tính theo a thể tích của khối
chóp S ABC
A.
3
.
3 3
S ABC
a
3
3
S ABc
a
3
2 3
S ABM
a
3
3 2
S ABM
a
Câu 6 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SB=2a Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A.
3
.
4
S ABC
a
3
3
S ABC
a
3
2
S ABC
a
3
7
S ABC
a
V =
Câu 7 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Hai mặt bên (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp biêt SC=4a
Trang 44
.
S ABC
. 2
S ABC
. 3
S ABC
. 4
S ABC
Câu 8 Cho hình chóp S ABC SB=SC=BC=CA= Hai mặt a (ABC) và (ASC) cùng
vuông góc với (SBC) Thể tích khối chóp S ABC bằng:
A
3
.
3 12
S ABC
a
3
3 2
S ABC
a
3
3 6
S ABC
a
3
3 3
S ABC
a
Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a SB, =a 2, cạnh
bên SA vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A
3
.
21
S ABC
a
V = B
3
18
S ABC
a
3
6
S ABC
a
V = D
3
12
S ABC
a
V =
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc BAC bằng 120o Tính theo a thể tích của khối
chóp S ABC
A
3
2
36
S ABC
a
3
2
12
S ABC
a
3
2
6
S ABC
a
3
2
3
S ABC
a
Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a = , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30o
Gọi M là trung điểm của SC Tính theo a thể tích của khối chóp S ABM
A
3
.
3 3
S ABM
a
3
3 36
S ABM
a
3
3 6
S ABM
a
3
36
S ABM
a
Câu 12 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, 2 , 30o
chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC và SH =a 2
Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A
3
.
6 17
S ABC
a
3
6 3
S ABC
a
3
6 5
S ABC
a
3
6 6
S ABC
a
Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SC=2a 5 Hình chiếu
vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm M của cạnh AB, góc giữa đường thẳng
SC với mặt phẳng đáy bằng 60o Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A
3
2 15
3
S ABC
a
3
15 3
S ABC
a
3
2 3
S ABC
a
V = D
3
3 15 2
S ABC
a
Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A ,
,
Tính theo
Trang 55
A
3
.
3 12
S ABC
a
3
3 5
S ABC
a
3
3 18
S ABC
a
3
12
S ABC
a
Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa SA và mặt đáy bằng
45° Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H thuộc đoạn BC sao cho
3
BC= BH Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A
3
.
21 36
S ABC
a
3
31 36
S ABC
a
3
13 36
S ABC
a
3
41 36
S ABC
a
Câu 16 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , tam giác SAC cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, AB a = , góc giữa SB và mặt đáy bằng
60o Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A.
3
.
3 8
S ABC
a
3
3 18
S ABC
a
3
3 28
S ABC
a
3
3 38
S ABC
a
Câu 17 Cho H là khối tứ diện đều cạnh a Thể tích của H bằng bao nhiêu?
A
3 2
6
a
3 3 12
a
3 2 12
a
3 3 4
a
Câu 18 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , độ dài cạnh bên gấp đôi
chiều cao của hình chóp Thể tích khối chóp là:
A 3
3
2
3 3 2
a
3 3 36
a
Câu 19 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi I
là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp S ABI
A.
3
.
41 24
S ABC
a
3
11 24
S ABC
a
3
31 24
S ABC
a
3
21 24
S ABC
a
Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, 3, 60o
AB=a ACB= Hình
chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trọng tâm của ABCD Gọi E là trung điểm
của AC , SE=a 3 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC
A
3
.
18 78
S ABC
a
3
87 18
S ABC
a
3
78 8
S ABC
a
3
78 18
S ABC
a
Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi tâm O , AB=a 5;AC=4 ,a
2 2
SO= a Gọi M là trung điểm SC Biết SO vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) Tính thể tích khối chóp M OBC
Trang 66
A 2 2a3 B 2a3 C
3
2 3
a
D 4a3
Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD=CD=a,
3
AB= a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa SC với mặt đáy
bằng 45o Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD
A
3
2 3
S ABCD
a
3
2 3
S ABCD
a
V = C
3
3
S ABCD
a
3
3
S ABCD
a
V =
Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD) Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60° Tính
thể tích khối chóp S ABCD
A
3
3
6
a
3
2 3
a
3
6 3
a
Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD , biết AB= , góc giữa a
SD và mặt phẳng (SAB) bằng 30°
A
3
3 3
S ABCD
a
3
3 2
S ABCD
a
3
3
S ABCD
a
3
2 3
S ABCD
a
Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD , biết BD=2a, góc giữa
mặt phẳng (SBD) và mặt đáy bằng 60°
A
3
3
S ABCD
a
3
3 3
S ABCD
a
3
2 3
S ABCD
a
V = D
3
5
S ABCD
a
Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , AB=3 ,a BC=4 ,a
, 45o
S ABCD
S ABCD
S ABCD
. 10
S ABCD
Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2, , 60o
cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD
S ABCD
S ABCD
S ABCD
S ABCD
Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB cân tại S Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD , biết rằng: đáy ABCD
là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt (SBD) và mặt đáy bằng 60°
Trang 77
S ABCD
3
6 5
S ABCD
a
3
12
S ABCD
a
V = D
3
6 12
S ABCD
a
Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB cân tại S Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD , biết rằng: đáy ABCD
là hình chữ nhật, AB=a AD, =a 2, góc giữa mặt SAC và mặt đáy bằng 60°
A
3
3
S ABCD
a
V = B
3
6
S ABCD
a
V = C
3
2
S ABCD
a
V = D
3
8
S ABCD
a
V =
Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi, AB=BC=BD = , mặt bên SAB là a
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích của khối chóp
S ABCD
4
S ABCD
a
6
S ABCD
a
2
S ABCD
a
8
S ABCD
a
Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi, AC=2 ,a BD=4a , mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích của khối
chóp S ABCD
A.
3
15 3
S ABCD
a
3
2 3
S ABCD
a
3
2 15 9
S ABCD
a
3
2 15 3
S ABCD
a
Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ,
3 , 2 ,
AB= a AD= a CD=a , tam giác SAD cân tại S , mặt phẳng (SAD) vuông góc
với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 60o
Tính thể tích của khối chóp S ABCD
A
3
3
S ABCD
a
3
3
S ABCD
a
3
3
S ABCD
a
3
6 3
S ABCD
a
Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB vuông
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi M N P, , lần lượt là
trung điểm của BC CD SD, , Tính theo a thể tích của khối chóp P ABMN
A.
3
5
96
P ABMN
a
3
5 8
P ABMN
a
3
5 4
P ABMN
a
3
48
P ABMN
a
Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , tam giác SAD đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, 6
2
a
SC= Tính theo a thể tích của khối
chóp S ABCD
A.
3
3
S ABCD
a
3
2
S ABCD
a
V = C
3
4
S ABCD
a
3
11
S ABCD
a
V =
Trang 88
Câu 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a AD, =2 2a Hình chiếu
vuông góc của S lên (ABCD) trùng với trọng âm của BCDD , góc giữa SA và mặt
đáy bằng 45o Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD
A.
3
.4 2 3
S ABCD
a
3
2 3
S ABCD
a
3
.2 2 9
S ABCD
a
3
.4 2 9
S ABCD
a
Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD=2a
,
AB=CD=BC=a Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là H thuộc đoạn
AC sao cho HC=2HA Góc giữa (SCD) và mặt đáy bằng 60o
Tính theo a thể
tích của khối chóp S ABCD
A.
3
2 3
S ABCD
a
3
3 2
S ABCD
a
3
.2 2 3
S ABCD
a
3
2
S ABCD
a
Câu 37 Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc
30
BCA= °, và 3
4
a
SO= Khi đó thể tích của khối chóp là:
A.
3 2
8
a
3 3 4
a
3 3 8
a
3 2 4
a
Câu 38 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng 60o
Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD
6
S ABCD
a
6
S ABCD
a
5
S ABCD
a
5
S ABCD
a
Câu 39 Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh gấp đôi
diện tích đáy Khi đó thể tích của khối chóp là:
A. 3 3
3
a
12
a
6
a
3
a
Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD=2a , tam giác SAC
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SC=a 3 Tính theo
a thể tích của khối chóp S ABCD
A
3
3 3
S ABCD
a
3
3 2
S ABCD
a
S ABCD
S ABCD
Câu 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a,
2
AD= a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2a Gọi M N, lần lượt
là trung điểm của SA SD, Tính theo a thể tích của khối đa diện ABCDNM
3
Trang 99
Câu 42 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh SA= , tất cả các cạnh còn lại có độ dài x
bằng 1 Với giá trị nào của x thì V S ABCD. đạt giá trị lớn nhất?
A x= 3 B 6
2
3
Câu 43 Cho tứ diện ABCD Gọi B' và 'C lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ
số thể tích của khối tứ diện AB C D ¢ ¢ và khối tứ diện ABCD bằng:
A. 1
1
1
1
8
Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi A B¢ ¢, lần lượt là trung điểm của SA và SB
Mặt phẳng (A B C¢ ¢ ) chia hình chóp thành hai phần Tỉ số thể tích của hai phần đó
bằng:
A. 1
1
1
2
3
Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD Tính tỉ
số thể tích của hai khối chóp S AMN và S ABD
A. 1
3
1
1
5
Câu 46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi A B C D¢ ¢ ¢, , , ¢ lần
lượt là trung điểm của SA SB SC SD, , , Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp
' ' ' '
S A B C D và S ABCD là:
A. 1
1
1
1
2
Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông
góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60o Gọi M là trung điểm của SA ,
mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N Mặt phẳng (MBCN) chia khối chóp S ABCD
thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
A 2
3
5
3
5
Câu 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I là trung điểm của
SC Biết thể tích khối chóp S ABI là V Thể tích khối chóp S ABCD là:
A 2V B 6V C 4V D 8V
Trang 1010
Câu 49 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A' trên cạnh SA sao
cho 1
3
SA¢ = SA Mặt phẳng qua A' và song song với đáy của hình chóp cắt cạnh
, ,
SB SC SD lần lượt tại B C D¢ ¢, , ¢ Khi đó thể tích khối chóp ' ' ' 'S A B C D bằng:
A.
3
V
9
V
27
V
81
V
Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành Gọi
'
C là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AC và song song với ' BD cắt các cạnh
,
SB SD lần lượt tại B D', ' Khi đó thể tích của khối chóp ' ' ' 'S A B C D bằng:
A
3
V
3
V
4
V
2
V
D ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A D A B A B A C A B D A A A A C D B D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C C A A A D A D A A D A A C A B C A C A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B B B A A D C C A