Bài 46 mặt trụ hình trụ khối trụ

 Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy... Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: S xq =2pRh.. Cho hình chữ nhật ABCD

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Mặt trụ tròn xoay

Cho hai đường thẳng l và d sao cho l song song với d và d l d( ), =R Khi ta

quay l quanh trục d một góc 360° thì l tạo thành một mặt trụ tròn xoay ( )T

(hoặc đơn giản hơn là mặt trụ)

vuông góc với d , ta được giao tuyến là hai đường tròn ( )C và ( )C'

 Phần của mặt trụ ( )T nằm giữa ( )P và ( )P cùng với hai hình tròn xác '

định bởi ( )C và ( )C' gọi là hình trụ

 Hai đường tròn ( )C và ( )C' gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ

 OO gọi là trục của hình trụ '

 Độ dài OO gọi là chiều cao của hình trụ '

 Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ

 Với mỗi điểm MÎ( )C , có một điểm M'Î( )C' sao cho MM' OO'

Các đoạn thẳng như MM gọi là đường sinh của hình trụ '

b) Nhận xét

 Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ

 Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau

 Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy

 Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M lên một mặt phẳng ' ( )a và M di 'động trên một đường tròn ( )C cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định ( )T chứa ( )C và có trục vuông góc

O

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: S xq =2pRh

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy của nó

Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là: V =pR h2

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh cạnh AB Khi đó đường gấp khúc ADCB tạo ra hình nào

sau đây?

A. Mặt trụ tròn xoay B. Hình trụ tròn xoay C Mặt nón tròn xoay D Hình nón tròn xoay

Câu 2 Cho hai đường thẳng d và ' d song song với nhau Quay đường thẳng d quanh đường thẳng ' d Khi

đó hình tạo thành là:

A Mặt trụ tròn xoay B Hình trụ tròn xoay C Mặt nón tròn xoay D Hình nón tròn xoay

Câu 3 Xét các mệnh đề sau:

(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng D cố định

một khoảng không đổi là một mặt trụ

(II) Hai điểm ,A B cố định Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB

không đổi là một mặt trụ

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

C. Cả (I) và (II) D Không có mệnh đề đúng

Câu 4 Gọi , ,l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Công thức đúng là:

Câu 9 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Diện tích xung quanh và diện

tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

Câu 14 Cho hình chữ nhật ABCD chiều dài AB = , chiều rộng AD bằng nửa chiều dài quay hình chữ nhật 6

quanh cạnh AB sinh ra hình trụ có thể tích V và quay hình chữ nhật đó quanh 1 AD sinh ra hình trụ

Câu 16 Một hình trụ có bán kính đáy R=53cm, khoảng cách giữa hai đáy h=56cm Một thiết diện song

song với trục là hình vuông Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện là:

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – BÀI TẬP |       

4

Câu 17 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và ' O , đường kính đáy bằng 6 Trên đường tròn đáy

tâm O lấy hai điểm A sao cho AO' 5= Diện tích xung quanh là:

Câu 19 Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông Gọi V là thể tích

hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ và V' là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số

Câu 21 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a AD, =a 3 quay quanh cạnh AB của nó Diện tích xung quanh

của khối tròn xoay sinh ra bằng:

A 2pa2 3 B 6 ap 2 C 12 ap 2 D pa2 3

Câu 22 Hình trụ ( )T được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC=2a 2 và

ACB=450 Diện tích toàn phần S của hình trụ tp ( )T là:

Câu 24 Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục

và cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ vả mặt phẳng bằng:

A. 56cm2 B. 54cm2 C. 52cm2 D. 58cm2

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – BÀI TẬP |       

5

Câu 25 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3

2R Mặt phằng ( )a song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng

Câu 26 Cho hình trụ có có bán kính R AB CD lần lượt là hai dây cung song song với nhau và nằm trên hai ,

đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD) không song song và cũng không

chứa trục của hình trụ Khi đó tứ giác ABCD là hình gì:

A Hình chữ nhật B Hình bình hành C Hình vuông D Hình thoi

Câu 27 Một hình trụ có bán kính đáy R=70cm, chiều cao hình trụ h=20cm Một hình vuông có các đỉnh

nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

A 80cm B 100cm C 100 2cm D 140cm

Câu 28 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Hai điểm ,A B lần lượt nằm

trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30° Khoảng cách giữa AB

Câu 29 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và ' O , bán kính bằng chiều cao và bằng a Trên đường

tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm ' O lấy điểm B sao cho AB=2a Thể tích của khối tứ diện OO AB' bằng:

Câu 30 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O , thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông '

Gọi ,A B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn ( )O và ( )O' Biết AB=2a và khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và OO bằng ' 3

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – BÀI TẬP |       

6

Câu 31 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O' , chiều cao 2R và bán kính đáy R Một mặt

phẳng ( )a đi qua trung điểm của OO và tọa với ' OO một góc 30' ° Hỏi ( )a cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Câu 32 Cho hình trụ có có bán kính R AB CD, lần lượt là hai dây cung song song với nhau và nằm trên hai

đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD không song song và cũng không )

chứa trục của hình trụ Góc giữa (ABCD và mặt đáy bằng ) 30° Thể tích khối chóp bằng:

R

3 62

R

3 63

Câu 34 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng ' ' ' ' a 6 Thể tích

của khối trụ có hai đáy nội tiếp hai đáy của hình lăng trụ ABCD A B C D bằng: ' ' ' '

A. pa3 6 B. pa3 3 C. 4pa3 3 D. 2pa3 6

Câu 35 Khối trụ ( )T có bán kính đáy là R và thiết diện qua trục là một hình vuông Thể tích của khối lăng

trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ ( )T trên tính theo R bằng:

A 2R 3 B 3R3 C 4R 3 D 5R3

Câu 36 Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R , ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường

tròn tâm O Dựng các đường sinh AA và ' BB Góc giữa ' (A B CD với đáy hình trụ là 60' ' ) ° Thể tích của khối trụ là:

R

p

Câu 37 Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF A B C D E F có cạnh đáy bằng ' ' ' ' ' ' a Các mặt bên là hình chữ

nhật có diện tích bằng 2a2 Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là:

A 2 ap 3 B 4 ap 3 C 6 ap 3 D 8 ap 3

Câu 38 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập phương

đó là:

Câu 39 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Diện tích xung

quanh khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '

Câu 40 Cho lăng trụ đều ABC A B C Biết rằng góc giữa ' ' ' (A BC và ' ) (ABC là 30) °, cạnh đáy bằng a

Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C là: ' ' '

Câu 41 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng ' ' ' a , cạnh bên bằng a 3 Thể tích của

khối trụ có hai đáy nội tiếp hai đáy của hình lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '

a

3 36

a

3 33

a

p

Câu 42 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng ' ' ' a 3 Diện tích

xung quanh của khối trụ có hai đáy nội tiếp hai đáy của hình lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '

Câu 43 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Thể tích khối

trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '

A 2 ap 3 B

3

23

a

p

Câu 44 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C Biết tam giác ' ' ' ABC vuông tại A có cạnh AB= AC= và góc a

ABA' 45= ° Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là:

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – BÀI TẬP |       

8

Câu 46 Một cái ca hình trụ không nắp đường kính đáy bằng độ cao của cái ca và bằng 10cm Hỏi ca đó đựng

được bao nhiêu nước?

A 200 cmp 3 B 250 cmp 3 C 300 cmp 3 D Đáp số khác

Câu 47 Một máy bơm nước bơm ống nước có đường kính 50cm , tốc độ dòng chảy nước trong bồn là 0,5 / m s

Hỏi trong một giờ máy đó bơm được bao nhiêu nước (giả sử nước lúc nào cũng đầy ống)?

A Chiều dài 60p( )cm cm chiều rộng 60 cm ( ) B Chiều dài 65 cm chiều rộng ( ) 60 cm ( )

C Chiều dài 180 cm chiều rộng ( ) 60 cm ( ) D Chiều dài 30p( )cm chiều rộng 60 cm ( )

Câu 49 Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn) Người ta cuốn tấm

nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó

Câu 50 Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn Nếu hộp

sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:

Câu 1 Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh cạnh AB Khi đó đường gấp khúc ADCB tạo ra hình nào

(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng D cố định

một khoảng không đổi là một mặt trụ

(II) Hai điểm A B cố định Tập hợp các điểm , M trong không gian mà diện tích tam giác MAB

Hiển nhiên (I) đúng

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R )

Câu 9 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Diện tích xung quanh và diện

tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

A 2( 3 1 R+ )p 2 và 2 3 Rp 2 B 2 3 Rp 2 và 2( 3 1 R+ )p 2

C 2 3 Rp 2 và 2 Rp 2 D 2 3 Rp 2 và 2 3 Rp 2+R2

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq =2pR R 3 2 3= pR2 (đvdt)

Diện tích toàn phần của hình trụ: S tp =S xq +2.S day=2 3pR2+2( )pR2 =2( 3 1+ )pR2 (đvdt)

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – ĐÁP ÁN |       

4

2 2

Câu 14 Cho hình chữ nhật ABCD chiều dài AB = , chiều rộng AD bằng nửa chiều dài quay hình chữ nhật 6

quanh cạnh AB sinh ra hình trụ có thể tích V và quay hình chữ nhật đó quanh 1 AD sinh ra hình trụ

2 2

3

33

Câu 16 Một hình trụ có bán kính đáy R=53cm, khoảng cách giữa hai đáy h=56cm Một thiết diện song

song với trục là hình vuông Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện là:

Câu 17 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và ' O , đường kính đáy bằng 6 Trên đường tròn đáy

tâm O lấy hai điểm A sao cho AO' 5= Diện tích xung quanh là:

H O

N

B

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – ĐÁP ÁN |       

6

Câu 19 Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông Gọi V là thể tích

hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ và V' là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số

Câu 21 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a AD, =a 3 quay quanh cạnh AB của nó Diện tích xung quanh

của khối tròn xoay sinh ra bằng:

A

C'

B' A'

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – ĐÁP ÁN |       

7

Câu 22 Hình trụ ( )T được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC=2a 2 và

ACB=450 Diện tích toàn phần S của hình trụ tp ( )T là:

Câu 24 Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục

và cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ vả mặt phẳng bằng:

B C

a

B' A'

H O

O' A

B

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ – ĐÁP ÁN |       

8

Câu 25 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3

2R Mặt phằng ( )a song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng

Thiết diện của hình trụ với ( )a là hình chữ nhật ABB A ' '

Gọi H là trung điểm của AB

Câu 26 Cho hình trụ có có bán kính R AB CD, lần lượt là hai dây cung song song với nhau và nằm trên hai

đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD) không song song và cũng không

chứa trục của hình trụ Khi đó tứ giác ABCD là hình gì:

A Hình chữ nhật B Hình bình hành C Hình vuông D Hình thoi

Hướng dẫn giải:

,

OA OC OA=OCÞ Tứ giác AOCO là hình bình hành '

Tương tự, tứ giác BOCO' là hình bình hành

Gọi I là trung điểm của OO'Þ là trung điểm của AC và I

BD

Mà IA IB IC ID= = = Þ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Câu 27 Một hình trụ có bán kính đáy R=70cm, chiều cao hình trụ h=20cm Một hình vuông có các đỉnh

nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

A 80cm B. 100cm C 100 2cm D 140cm

Hướng dẫn giải:

B' A'

H O

C

Suy ra 'A C là đường kính đáy nên A C' =2R=140cm.

Xét tam giác vuông AA C , ta có ' AC= AA'2+A C' 2 =100 2cm.

Suy ra cạnh hình vuông bằng 100cm

Câu 28 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Hai điểm ,A B lần lượt nằm

trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30° Khoảng cách giữa AB

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA=O B' =R

Gọi AA là đường sinh của hình trụ thì ' O A' '=R AA, '=R 3 và BAA' 30= °

Vì OO' (ABA') nên d OO( ',( )AB )=d OO( ',(ABA') )=d O( ',(ABA') )

Gọi H là trung điểm ' A B , suy ra

Tam giác ABA' vuông tại 'A nên BA'=AA' tan 30° =R

Suy ra tam giác 'A BO' đều có cạnh bằng R nên ' 3

2

R

O H =

Câu 29 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và ' O , bán kính bằng chiều cao và bằng a Trên đường

tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm ' O lấy điểm B sao cho AB=2a Thể tích của khối tứ diện OO AB bằng: '

O

O'

B A

Trong tam giác vuông 'A BD có BD= A D' 2-A B' 2 = a

Do đó suy ra tam giác BO D' nên 3

2

a

BH = Vậy

3 2

Câu 30 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O , thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông '

Gọi ,A B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn ( )O và ( )O Biết ' AB=2a và khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và OO bằng ' 3

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO'=BB' 2 = R

Trong tam giác vuông AB B' , ta có AB'2= AB2-BB2 =4a2-4R2

Trong tam giác vuông OIB', ta có

Câu 31 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O' , chiều cao 2R và bán kính đáy R Một mặt

phẳng ( )a đi qua trung điểm của OO và tọa với ' OO một góc 30' ° Hỏi ( )a cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có: OA OB R= = , OO' 2= R và IMO=30°

Trong tam giác vuông MOI , ta có tan 30

Câu 32 Cho hình trụ có có bán kính R AB CD, lần lượt là hai dây cung song song với nhau và nằm trên hai

đường tròn đáy và cùng có độ dài bằng R 2 Mặt phẳng (ABCD không song song và cũng không )

chứa trục của hình trụ Góc giữa (ABCD và mặt đáy bằng 30) ° Thể tích khối chóp bằng:

R

3 62

R

3 63

R

p

Hướng dẫn giải:

Gọi O và ' O lần lượt là tâm các đường tròn đáy, M và M' lần

lượt là trung điểm của AB và CD

O O'

M

M' I