Bài 43 mặt nón hình nón khối nón

Khái niệm về diện tích hình nón và thể tích khối nón Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu:  Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón... Thiết diện qua trục của

< < Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh

a gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón)

Cho mặt nón N với trục a , đỉnh O , góc ở đỉnh 2a Gọi ( )P là mặt phẳng

vuông góc với a tại điểm I khác O Mặt phẳng ( ) P cắt mặt nón theo một

đường tròn ( )C có tâm I Lại gọi ( )P là mặt phẳng vuông góc với a tại '

O

 Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )P cùng với '

hình tròn xác định bởi ( )C được gọi là hình nón

 O gọi là đỉnh của hình nón

 Đường tròn ( )C gọi là đường tròn đáy của hình nón

 Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn ( )C , đoạn thẳng OM gọi là

đường sinh của hình nón

 Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của

hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy)

b) Khối nón

Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón

3 Khái niệm về diện tích hình nón và thể tích khối nón

Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu:

 Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

M

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Một mặt nón tròn xoay có bao nhiêu đường sinh:

Câu 2 Khi quay tam giác ABC vuông tại A quanh cạnh AB thì được hình tròn xoay nào?

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với (ABC và BD vuông góc với BC Khi quay tất cả các )

cạnh của tứ diện đó quanh AB thì được hình nào?

Câu 4 Cho một mặt nón tròn xoay N Một mặt phẳng ( )P cắt mặt nón và song song với một đường sinh

duy nhất thì thì giao tuyến của chúng là:

Câu 5 Cho một mặt nón tròn xoay N có trục là D, đỉnh O Một mặt phẳng ( )a không đi qua O và vuông

góc với D sẽ cắt mặt nón N theo một giao tuyến là:

Câu 6 Hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h có thể tích là

Câu 18 Cho hình nón tròn xoay có đường cao bằng 20cm , bán kính đáy bằng 25cm Thể tích của khối nón

được tạo bởi hình nón đó

Câu 21 Khối nón có thể tích bằng 30p Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón lên 2 lần thì thể

tích của khối nón mới là:

A 40p B 480p C 60p D 120p

Câu 22 Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân Hãy chọn khẳng định sai

trong các câu sau:

Câu 23 Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R=a 2, góc ở đỉnh bằng 60° Diện tích xung quanh của hình

Câu 25 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện tích

xung quanh của hình nón là:

2 22

a

2 23

a

2 24

a

p

Câu 27 Thể tích của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục

là tam giác đều là:

2

22

a

p và

3

212

a

p

Câu 30 Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có

khoảng cách đến tâm là 12cm Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là:

A 600 cm ( )2 B 550 cm ( )2 C 500 cm ( )2 D 450 cm ( )2

Câu 31 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Một thiết

diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° Diện tích của thiết diện này bằng:

2 22

a D a2 2

Câu 32 Cho hình nón có đường cao SO=4cm và bán kính đáy R=2cm Gọi M là một điểm trên đoạn OS

, đặt OM =x cm( )(0< <x 4) Diện tích của thiết diện ( )D cắt bởi mặt phẳng đi qua M và vuông góc với SO là:

Câu 33 Cho hình nón ( )N có bán kính đáy bằng 10, mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón

theo một đường tròn có bán kính bằng 6, khoảng cách giữa mặt phẳng này với mặt phẳng chứa đáy của hình nón ( )N là 5 Chiều cao của hình nón ( )N là:

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – BÀI TẬP |       

6

Câu 34 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và đáy là một thiết

diện song song với đáy của hình nón đã cho Chiều cao x của khối nón này là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h< < ?

Câu 35 Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , bán kính R Dựng hai đường sinh SA và SB , biết

AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng

Câu 36 Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi , A B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho

khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO=30 ,°SAB=60° Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:

A l a= B l=a 2 C l=a 3 D l=2a

Câu 37 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ tâm O của đường tròn

ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là

a

3

427

a

3

23

a

3

409

a

3

40027

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – BÀI TẬP |       

7

Câu 41 Cho khối chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAC=45° Diện tích xung quanh

của hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng:

2 22

a

2 23

a

Câu 42 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi V V1, 2 lần lượt là

thể tích các khối chóp có đỉnh là S , đáy là các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Tỉ số thể tích hai khối chóp là:

Câu 44 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O' , chiều cao R 3 và bán kính đáy R Một hình

nón có đỉnh là 'O và đáy là hình tròn (O R Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón ; )bằng:

Câu 45 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông

ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A B C D' ' ' ' Diện tích xung quanh của hình nón

a

2 32

a

2 22

a

Câu 46 Cho mặt cầu tâm O , bán kính R a = Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn

tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho 3

V = px R-x B 1 2( )

23

V = px R x- C 1 2( )

24

V = px R x- D 1 2( )

212

V = px R x-

Câu 48 Cho hình cầu bán kính R Một hình nón tròn xoay có chiều cao x nội tiếp trong hình cầu Với giá trị

nào của x thì thể tích của hình nón đạt giá trị lớn nhất?

Câu 49 Nam có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12 Sau đó Nam cắt ra một hình quạt với góc ở tâm

là 120° và phần còn lại cũng là một hình quạt Lúc này, Nam tạo ra hai hình hòn với hai hình quạt này Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là:

Câu 1 Một mặt nón tròn xoay có bao nhiêu đường sinh:

Câu 2 Khi quay tam giác ABC vuông tại A quanh cạnh AB thì được hình tròn xoay nào?

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với (ABC và BD vuông góc với BC Khi quay tất cả các )

cạnh của tứ diện đó quanh AB thì được hình nào?

Câu 4 Cho một mặt nón tròn xoay N Một mặt phẳng ( )P cắt mặt nón và song song với một đường sinh

duy nhất thì thì giao tuyến của chúng là:

Câu 5 Cho một mặt nón tròn xoay N có trục là D, đỉnh O Một mặt phẳng ( )a không đi qua O và vuông

góc với D sẽ cắt mặt nón N theo một giao tuyến là:

Câu 6 Hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h có thể tích là

Câu 18 Cho hình nón tròn xoay có đường cao bằng 20cm , bán kính đáy bằng 25cm Thể tích của khối nón

được tạo bởi hình nón đó

Câu 21 Khối nón có thể tích bằng 30p Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón lên 2 lần thì thể

tích của khối nón mới là:

Câu 22 Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân Hãy chọn khẳng định sai

trong các câu sau:

Theo giả thiết, ta có: OA=a 2 và OSA=30°

Suy ra độ dài đường sinh: 2 2

sin 30

OA

l=SA= = a

°Vậy diện tích xung quanh bằng: S xq =pRl=4pa2 (đvdt)

Theo giả thiết, ta có: SA= =l 2a và SAO=60°

Suy ra: R=OA=SA.cos 60° = a

Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S =pRl+pR2 =3pa2 (đvdt)

Câu 25 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện tích

xung quanh của hình nón là:

a

2 23

a

2 24

a

Hướng dẫn giải:

2 22

Câu 27 Thể tích của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục

là tam giác đều là:

h

2

22

a

p và

3

24

a

2

22

a

p và

3

212

a

p

Hướng dẫn giải:

Gọi S O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là ,

tam giác SAB

Theo bài ra ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB=SB 2=a 2,

2a

r l

h

Câu 30 Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có

khoảng cách đến tâm là 12cm Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là:

Câu 31 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Một thiết

diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° Diện tích của thiết diện này bằng:

2 22

a D a2 2

Hướng dẫn giải:

22

a

l= Þ = =a h r

Gọi ,A B là giao điểm của thiết diện với đường tròn đáy,

M là trung điểm của AB

2 32

Câu 32 Cho hình nón có đường cao SO=4cm và bán kính đáy R=2cm Gọi M là một điểm trên đoạn OS

, đặt OM =x cm( )(0< <x 4) Diện tích của thiết diện ( )D cắt bởi mặt phẳng đi qua M và vuông góc với SO là:

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – ĐÁP ÁN |       

8

Giả sử SA là một đường sinh của hình nón, B là giao

điểm của ( )D với SA

Câu 33 Cho hình nón ( )N có bán kính đáy bằng 10, mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón

theo một đường tròn có bán kính bằng 6, khoảng cách giữa mặt phẳng này với mặt phẳng chứa đáy của hình nón ( )N là 5 Chiều cao của hình nón ( )N là:

h

h h

Câu 34 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và đáy là một thiết

diện song song với đáy của hình nón đã cho Chiều cao x của khối nón này là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h< < ?

M

10 5 6

R x r h

ê =ê

Câu 35 Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , bán kính R Dựng hai đường sinh SA và SB , biết

AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60 °, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng

Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R

Gọi E là trung điểm AB , suy ra OE^AB và

SO =OH -OE = R Þ =

Câu 36 Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho ,

khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO=30 ,°SAB=60° Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm AB , suy ra OI ^AB SI, ^AB và OI a=

Trong tam giác vuông SOA , ta có .cos 3.

S

A B

H

I O S

B A

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – ĐÁP ÁN |       

10

Câu 37 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ tâm O của đường tròn

ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là

Gọi E là trung điểm của BC , dựng OH ^SE tại H

Chứng minh được OH ^(SBC) nên suy ra ( ,( ) )

Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu)

và nội tiếp trong tam giác cân SAB

Trong tam giác vuông SOB , gọi I là giao điểm của đường phân giác trong

góc B với đường thẳng SO

Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính

r=IO=IE ( E là hình chiếu vuông góc của I trên SB )

Theo tính chất phân giác, ta có 13

5

IS BS

IO = BO = Lại có IS+IO=SO= SB2-OB2 =12

E I

O

S

B A

Câu 41 Cho khối chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAC=45° Diện tích xung quanh

của hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng:

2 22

a

2 23

a

Hướng dẫn giải:

D C S

O B

A

B S

O

Câu 42 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi V V1, 2 lần lượt là

thể tích các khối chóp có đỉnh là S , đáy là các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Tỉ số thể tích hai khối chóp là:

r GM R GA

pp

O B

A

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – ĐÁP ÁN |       

13

Câu 44 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( )O và ( )O , chiều cao ' R 3 và bán kính đáy R Một hình

nón có đỉnh là 'O và đáy là hình tròn (O R; ) Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Câu 45 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông

ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A B C D' ' ' ' Diện tích xung quanh của hình nón

a

2 32

a

2 22

Câu 46 Cho mặt cầu tâm O , bán kính R a = Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn

tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho 3

B'

D A

C'

D' A'

O'

O M

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN – ĐÁP ÁN |       

14

Gọi 'S là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là

một điểm trên đường tròn đáy của hình nón

Tam giác SAS' vuông tại A và có đường cao AH

-Câu 48 Cho hình cầu bán kính R Một hình nón tròn xoay có chiều cao x nội tiếp trong hình cầu Với giá trị

nào của x thì thể tích của hình nón đạt giá trị lớn nhất?

f x = px R-x trên [0;2R ]

04

ëBảng biến thiên:

S

S' O

S

B A

O

H

S

B A

O

H

Câu 49 Nam có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12 Sau đó Nam cắt ra một hình quạt với góc ở tâm

là 120° và phần còn lại cũng là một hình quạt Lúc này, Nam tạo ra hai hình hòn với hai hình quạt này Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là:

nho nho nho

ppp

pp

non tru non non tru tru