Bài 31 ứng dụng tích phân tính thể tíchđa

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x , trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a... Thể tích của khối t

Trang 1

1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH – ĐÁP ÁN

Câu 1 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi

đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a( <b), xung quanh trục Ox

A b 2( )

a

V =pòf x dx B b 2( )

a

V =òf x dx C ( )

b

a

V =pòf x dx D ( )

b

a

V =òf x dx

Đề minh họa 2017 – Lần 1

Câu 2 Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành

được tính theo công thức nào?

b

a

V =òéëf x -g x ùû dx B b 2( ) 2( )

a

V =pòéëf x -g x ùûdx

b

a

b

a

V =pòéëf x -g x ùûdx

Câu 3 Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại

các điểm x=a x, =b a( <b), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

hoành độ x a( £ £x b) là S x ( )

A ( )

b

a

V =pòS x dx B ( )

b

a

V =pòS x dx C. ( )

b

a

V =òS x dx D 2b ( )

a

V =pòS x dx

Câu 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox phần hình phẳng gạch chéo

trong hình vẽ, biết ( ) 2

4 4

f x =x - x+

Trang 2

2

3

V = p C 33

5

V = D

5

V p

=

Hướng dẫn giải:

3

1

3

V =pò x- dx=pò x- d x- =p x- = p

Câu 5 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3+1,y=0,x=0,x= 1

quanh trục Ox là:

A 79

63

p B. 23

14

p C 5

4

p D 9p

1

23

x x

Câu 6 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0,x= quanh 1

trục Ox là:

A. 8

3

p B 4

3

p C 2

3

p D

p

1 3 1

8

x

ò

Câu 7 Cho hình phẳng ( )S được giới hạn bởi đường 1

, 1, 4

y y y

x= = = và trục Oy Để xác định thể tích vật

tròn xoay khi cho ( )S quay quanh trục Oy ; một học sinh đã làm như sau:

I

2 4

1

y

pæç ö÷

4

1

V

y

p

æ ö

ç ÷

= - ç ÷

è ø

4

V p

= Hỏi học sinh đã làm sai từ bước nào?

Trang 3

3

A Không có B. I C II D III

Học sinh đó sai ngay bước I Sửa đúng phải là:

2 4

1

y

p æ öç ÷

= ç ÷

è ø

ò

Câu 8 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4,y 0,x 1,x 4

x

= = = = quanh trục Ox là:

A 4p B 6p C 8p D.12p

2

12

p

p æ öç ÷ p p

è ø

Câu 9 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +1 x Ox x, , =0,x= 4

A

2

28

3

p B 68

3

p C 28

3

p D

2

68 3

p

4 2

x x x

Câu 10 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình

1

x

y=x e Ox x= x = quay quanh trục Ox có số đo bằng:

A ep B. 2

e

p C 4p D 16p

2 1

x

V =p æççx e ö÷÷ dx=p xe dx

1

u x du dx

V xe e dx xe e e

Câu 11 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x, 0, 0, 1

y= e y= x= x= Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục Ox là:

A p(e+1) B ep C. p(e-1) D p e- 1

Trang 4

4

0

1

V =pò e dx=pòe dx=pe =p e-

Câu 12 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 0, ( x 1 ,) 0, 1

y= y= x e + x= x= Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành

A V =p B 3

2

V p

2

V p

2

V p

=

( )

1 2 2

0

V x e dx x e dx xe dx xe dx p

u v du dx

xe dx xe e dx e e

dv e dx v e

3

2 2

p

Câu 13 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cos 4 , , 0,

8

y x Ox x x p

A

2

2 16

4

p D ( 1)

16

p+ p

2

sin 8

x

Câu 14 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường tan , 0, 0,

3

y x y x x p

A V =p 3 B 2

3

V p

3

pæç ö÷

= ç + ÷

3

pæç ö÷

= ç - ÷

è ø

1

x

Câu 15 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 , 0, 0, 2

4

x

-quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích)

Trang 5

5

A 2p B. 4p C 6p D 8p

2

4

x

Câu 16 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 ( )

y =x x=a x=b < <a b

A 2b

a

V =pòxdx B b

a

V =pò xdx C. 2b

a

V =pòxdx D 2b

a

V=pò xdx

Với xÎ[ ]a b; thì 2

y = Û =x y x

( )2

V =pò x dx=pòxdx

Câu 17 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=x2,y=0,x = Tính thể tích V của khối tròn xoay 2

thu được khi quay ( )H quanh trục Ox

A 8

3

V = B 32

5

V = C 8

3

V p

5

V p

=

Chuyên Thái Bình – Lần 3

Phương trình hoành độ giao điểm: 2

x = Û = x

( )

2 5

32

x

Câu 18 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x-1,Ox x, = quanh trục 3

Ox là:

A 3p B 2p C 3

2p D p

Phương trình hoành độ giao điểm: x- = Û = 1 0 x 1

3 2

2

x

V =p x- dx=p x- dx=pæçç -xö÷÷ = p

Câu 19 Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y= 1-x2;x=0;y = khi quay quanh trục Ox 0

không được tính bằng công thức nào sau đây?

Trang 6

6

A 1( 2)2

0

1 x dx

pò - B 1( 2)

0

1 x dx

pò - C

1 3

0

3

x x

pæç - ö÷

D 2

3

p

1-x = Û = ± 0 x 1

1 3

2

x

Câu 20 Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y=x2+ , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y=x2+ 1

tại điểm ( )1; 2 , khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A 4

5

V = p B 28

15

V = p C 8

15

V = p D V =p

Tiếp tuyến với đồ thị y=x2+ tại điểm 1 ( )1; 2 có phương trình là y=2x

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng C quanh trục Ox bằng:

1

Ox

x x

Câu 21 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x y, = - và x x= Tính thể tích của khối tròn 4

xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây:

3

V p

3

V p

3

V p

2

V p

=

Phương trình hoành độ giao điểm là x x x 20 x 0

x x

ì- ³ ï

=

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

4 2 0

Ox

V =pòx -x dx Xét phương trình 2 0

0

1

x

x x

x

é = ê

- = Û

ê = ë

41

Ox

Câu 22 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x y, = - +x 2,y= 0

quay quanh trục Oy , có giá trị là kêt quả nào sau đây?

Trang 7

7

A 1

3

V = p B 2

3

V = p C 32

15

V = p D 11

6

V = p

Ta có y x y 02

x y

ì ³ ï

= Û í

=

ï và y= - + Û = - x 2 x 2 y

1

y

y y y y

y

é = -ê

ê = ë

Do y³ nên 0 y= 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính khi quay quanh trục Oy là:

1

2

32

Oy

y y

Câu 23 Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi ( )C :y=lnx,

trục Ox và đường thẳng x e= là:

A.V =p(e-2) B V =p(e-1) C V =pe D V =p(e+1)

Xét phương trình lnx= Û = 0 x 1

Thể tích cần tính là 2

1

ln

e

Ox

V =pò xdx Đặt

u x

x

dv dx

v x

ì

ï

Þ

=

1 1

e e Ox

V =pæççx x - xdxö÷÷=p e- I

Tính

1

ln

e

I=ò xdx Đặt

1 ln

a x da dx

x

db dx

b x

ì

ï

Þ

=

î

1

e e

I= x x -òdx= -e e- = Vậy V Ox =p(e-2)

Câu 24 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0,x=2 quanh trục

Ox là:

A 2 ln 2 4 ln 2 22 - + B p(2 ln 2 4 ln 2 22 + - ) C p(2 ln 2 4 ln 2 22 - + ) D p(2ln 2 1- )

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2

1

lnx= Û = Þ0 x 1 V =pòln xdx

Đặt

2 1

2ln ln

ln 2 ln

x du

u x

V x x xdx x

dv dx

v x

p

ì

=

Trang 8

8

Đặt

1 ln

u x du

x

dv dx

v x

ì

ï

Û

=

î

2

1

V =péêx x - x x + dxùú=péêx x - x x + x ùú=p - +

Câu 25 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln ,x y=0,x= quanh e

trục Ox là:

A

3

9

e

p + B

3

9

e

p - C

3

9

e

3

9

e

p -

Tọa độ giao điểm của đường x e= với y=x lnx là điểm C( )3;3 Tọa độ giao điểm của đường y=x lnx

với y= là 0 A( )1;0

V =pò x x dx=pòx xdx

Đặt

1

3

e e

e

dx du

dv x dx x

v

ì

= ï

=

ï î

ò

Câu 26 Viết kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2( 1) x,

y= x- e trục tung và trục hoành

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox

A V = -4 2e B V =(4 2- e)p C V =e2- 5 D V =(e2-5)p

1

V =pòéë x- e ùû dx= pò x - x+ e dx= pI

2 2

0 0

2 2

2 1

2 2

x

x x

x

du x

e v

dv e dv

1

2 I

=

1 2

0

1

2

x x

x

du dx

e

dv e dx v

=

( )

2

2 1

5

5 4

e

Trang 9

9

Câu 27 Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị ( )P :y=2x-x2

và trục Ox sẽ có thể tích là:

A 16

15

V p

15

V p

15

V p

=

Xét phương trình 2 0

2

x

x x

x

é = ê

ê = ë

Hình phẳng D giới hạn bởi ( )P và trục Ox quay quanh Ox tạo nên khối tròn xoay có thể tích là:

2 5

Ox

x

Câu 28 Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=x -x với trục hoành

A 512

32

512 15

p D 32

3

p

Phương trình hoành độ giao điểm: (4 ) 0 0

4

x

x x

x

é = ê

ê = ë

4

Câu 29 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi y= -2 x2;y= 1

quanh trục Ox

A 56

15

56

15

56

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1

1

x

é = ê

ê = -ë

1

x x

Câu 30 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong 2

y=x và y= x

quanh trục Ox

A 13

5

V p

15

V p

10

V p

5

V p

=

Trang 10

10

1

x

x x

x

é = ê

ê = ë

1

3

x x

V =p éê x - x ùúdx=p x-x dx=pæçç - ö÷÷ = p

Câu 31 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=2x-x2 và y x = khi quay quanh trục Ox tạo thành

khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

3

V p

4

V p

5

V p

= D V =p

1

x

x x x x x

x

é = ê

ê = ë Thể tích khối tròn xoay cần tìm là ( ) ( )

1 5

Ox

x

Câu 32 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y= -4 x2 và y= +2 x2

quay quanh trục Ox là kết quả nào sau đây?

A V =10p B V =12p C V =14p D V =16p

Xét phương trình 4-x2 = +2 x2Û = ± x 1

Thể tích cần tìm là 1 ( 2) (2 2)2 1( 2) ( 3)1

1

Ox

Câu 33 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= -x2+2 ,x y= quanh trục 0

Ox là:

A 196

15

p B 4

3

p C 64

15

p D 16

15

p

2 0

2

x

x x

x

é = ê

ê = ë

2

Câu 34 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 1-x2,y= quanh trục 0

Ox là:

Trang 11

11

A 3

2

p B 2

3

2

p D 4

3

p

Phương trình hoành độ giao điểm: 1-x2 = Û = ± 0 x 1

1 3

4

x

Câu 35 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4y=x2,y= qua quanh x

trục hoành bằng bao nhiêu?

A 124

15

V p

=

Xét phương trình ( )

4 0

4 4

x x

x x x

x

é = ê

ê = ë Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

4 2

128

Ox

p æç ö÷ p p æç ö÷

Câu 36 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= -x2+2x và y= Tính thể tích của khối tròn xoay 0

tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục Oy là:

A 7

3

V p

3

V p

3

V p

3

V p

=

1 1

y x x y x

é = + -ê

= - + Û - = - Û ê = -

-ê Xét phương trình 1+ 1-y = -1 1- Û = y y 1

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

3

0

Oy

y

Câu 37 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 =4x và đường thẳng x=4 Thể tích của khối tròn

xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

A 4p B 16p C. 32p D 64p

Trang 12

12

Phương trình tung độ giao điểm:

2

4

y

= Û = ± Phần phía trên Ox của đường y2 =4x có phương trình y=2 x

( )

2 0

V =pò x dx=pò xdx=p x = p

Câu 38 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-6x2+9 ,x y= quanh 0

trục Ox là:

A. 729

35

p B 27

4

35

p D 7776

5

p

3

x

x x x

x

é = ê

ê = ë

4

729

35

V x x x dx x x dx p

Câu 39 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2 ,x2 y2 =4x quanh trục

Ox là:

A 88

5

p B 9

70

p C 4

3

p D 6

5

p

Trang 13

13

1

x

x x

x

é = ê

ê = ë

1 5

x

Câu 40 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi 1 3 2

3

y= x -x và Ox Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay ( )H

quanh Ox bằng:

A. 81

35

p B 53

6

p C 81

53

6

Quảng Xương – Thanh Hóa – Lần 1

Phương trình hoành độ giao điểm: 1 3 2 0

0

3 3

x

x x

x

é = ê

ê = ë

3

x

V =p æçç x -x ö÷÷ dx=p æçç x - x +x ö÷÷dx=pæçç x - x + ö÷÷ = p

Câu 41 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ax y2, =bx a b( , ¹0)

A

3

2

15

b

V

a

p

5

b V

a

p

5 3

3

b V

a

p

5 3

2 15

b V

a

p

0

x

ax bx b

x a

é = ê

= Û ê

= ê ë

3

2

b

a

V bx ax dx b x a x dx

a

Trang 14

14

Câu 42 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2

3

y= -x y= x quanh

trục Ox là:

A 24 3

5

V p

5

V p

5

V p

5

V p

3

x x x

3

x x

Câu 43 Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )

2 2

1 ,

x

y f x y g x

x

+ Tính thể tích khối

tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng

T =mp +np m nÎ thì tổng giá trị m n+ là ?

A 1

13

2

3

5

Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2

1 1

1

x x

é = ê

ê =

1

-+

Tính

( )

1

2 2 1

1 1

x

-=

+

ò

2

1

t

p p

æ- ö

2 2

2

1 tan

t

p

-+

+

Câu 44 Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x= và 0 x= , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng 3

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0£ £x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước

bằng x và 2 9 x- 2 , bằng:

A V = 3 B.V =18 C V =20 D V =22

Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước x và 2 9 x- 2 bằng: 2x 9-x2

Trang 15

15

Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng 3 2

0

2 9

V =ò x -x dx

Đặt 9-x2 = Þt x2 = -9 t2Þ xdx= -tdt Đổi cận 0 3

x t

ì = Þ = ï

í

= Þ = ï

Suy ra

0 0

2

3

V t dt æ t ö

= - = -ç ÷ =

ò

Câu 45 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x= và 0 x= , biết rằng thiết diện của vật 2

thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ xÎ[ ]0; 2 là một phần tư đường tròn bán kính 2x , ta được kết quả nào sau đây? 2

A V =32p B V =64p C. 16

5

V = p D V =8p

Ta có diện tích thiết diện là ( ) 1 ( 2)2 1 4

2

S x = p x = px Thể tích cần tìm là

2 5 2

4

x

p æç p ö÷

ò

Câu 46 Tính thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0,x=p và có

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x

A V =2 B.V =2p C V =4 D V =4p

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường y= sin ,x Ox x, =0,x=p

quay trục Ox

p

Câu 47 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= và 1 x= , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt 3

phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1£ £x 3) thì được thiết diện là một hình

chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2- 2

A V =32 2 15+ B 124

3

V = D V =(32 2 15+ )p

Diện tích thiết diện hình chữ nhật là: S x( )=3x 3x2- 2

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	371,84 KB