Một số không gian hàm phụ thuộc thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ****** LÊ THỊ HUỆ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

******

LÊ THỊ HUỆ

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

******

LÊ THỊ HUỆ

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

PHỤ THUỘC THỜI GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa họcThs PHÙNG ĐỨC THẮNG

Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS.Phùng Đức Thắng, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành khóa luận

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáotrong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Hà Nội, tháng 5 năm 2014Sinh viên

Lê Thị Huệ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS Phùng Đức Thắng,khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Một số không gian hàm phụ thuộc thời gian” được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tôi

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014Sinh viên

Lê Thị Huệ

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian Banach 5

1.2 Không gian C[a, b] 6

1.3 Không gian Lp[a, b] 9

1.4 KHÔNG GIAN Wpm(Ω) 15

Chương 2 MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM PHỤ THUỘC THỜI GIAN 21

2.1 Không gian C([0, T ]; X) 21

2.2 Không gian Lp(0, T ; X) 23

2.2.1 Xây dựng tích phân 23

2.2.2 Không gian Lp(0, T ; X) 26

2.3 Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1(0, T ; X) 40 Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, nhiều vấn đề trong lĩnh vực vật lý, hóa học,sinh học dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạohàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượngnghiên cứu bằng các đại lượng toán học Từ đó dẫn đến các hệ thứcphi tuyến giữa các tham biến nên ta cần phải xét phương trình viphân phi tuyến Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toánhọc thực sự Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộcphải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến béhoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đãcho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính Vẫn chưa đủ, đểgiải quyết bài toán này ta lại có những thay đổi nhất định đối vớigiả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thayđổi nhất định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mớivẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suyrộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó lànghiệm cổ điển của bài toán Nói như vậy để thấy rằng, không giannghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với khônggian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn cáckhông gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quantrọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán Trong những không

gian hàm thường được chọn phải kể đến không gian các hàm phụthuộc thời gian.

Trong quá trình học tập được thầy cô giới thiệu, đặc biệt được sựhướng dẫn gợi ý của thầy Phùng Đức Thắng, tôi đã chọn đề tài:

“Một số không gian hàm phụ thuộc thời gian” làm khóa luậntốt nghiệp đại học của mình

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Không gian các hàm phụ thuộc thời gian

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Những định nghĩa, tính chất, định lý và các vấn đề liên quan củamột số không gian hàm phụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X),không gian Lp(0, T ; X) và không gian Sobolev phụ thuộc thời gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm tài liệu, phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bàymột cách có hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của khóa luận

5 Đóng góp của khóa luận

- Làm rõ ràng, chi tiết hơn hệ thống tri thức mới, chuyên sâu về bộmôn phương trình đạo hàm riêng hiện đại Đó là các khái niệm kiếnthức mới như: định nghĩa đạo hàm yếu, một số không gian hàm phụthuộc thời gian

- Khóa luận cung cấp thêm các tính chất và vấn đề liên quan củamột số không gian hàm phụ thuộc thời gian

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phục lục, khóaluận gồm 02 chương:

Chương 1 được dành để đưa ra một số kiến thức cơ bản về khônggian Banach, không gian C[a, b], không gian Lp[a, b], không gian

Wpm(Ω)

Chương 2 tổng hợp một cách có hệ thống một số không gian hàmphụ thuộc thời gian: không gian C([0, T ]; X), không gian Lp(0, T ; X),không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Wp1(0, T ; X)

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không giantuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P(P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R,

ký hiệu là k·k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1 (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu θ là phần tửkhông)

2 (∀x ∈ X)(∀α ∈ P) kαxk = |α| kxk

3 (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của véctơ x Ta cũng ký hiệu không gian địnhchuẩn là X Các tiên đề 1.,2.,3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi

là hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim

n→∞ kxn− xk = 0 Ký hiệu

lim

n→∞xn = x hay xn −→ x (n −→ ∞) Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn giảnsau đây:

1 Nếu dãy (xn) hội tụ tới x, thì dãy chuẩn (kxnk) hội tụ tới kxk.Hay nói cách khác, chuẩn k·k là một hàm giá trị thực liên tụctheo biến x.

2 Nếu dãy điểm (xn) hội tụ trong không gian định chuẩn X, thìdãy chuẩn tương ứng (kxnk) bị chặn

3 Nếu dãy điểm (xn) hội tụ tới x, dãy điểm (yn) hội tụ tới y trongkhông gian định chuẩn X, dãy số (αn) hội tụ tới số α thì

xn+ yn −→ x + y (n −→ ∞) , αnxn −→ αx (n −→ ∞)Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn Xgọi là dãy cơ bản, nếu

lim

m,n→∞ kxn − xmk = 0

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi là một không gianBanach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

1.2 Không gian C [a, b]

Định nghĩa 1.5 Tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b](−∞ < a < b < +∞) với khoảng cách giữa hai phần tử x (t) và y (t)bất kỳ là

d (x, y) = max

a≤t≤b |x (t) − y (t)|

là không gian C[a, b]

Không gian C[0, 1] thường được gọi tắt là không gian C

Định lý 1.1 Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩnxác định:

Vậy không gian C[a, b] với chuẩn (1.1) là một không gian định chuẩntrên trường số thực R.

Định lý 1.2 Không gian C[a, b] là một không gian Banach vớichuẩn (1.1)

n→∞xn(t), cho t thay đổi trên [a, b] thì ta cóhàm số x(t) xác định trên [a, b] Từ (1.2) cho m −→ ∞ ta có:(∀ > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀n ≥ n0)(∀t ∈ [a, b]) |xn(t) − x(t)| ≤ Suy ra

max

a≤t≤b |xn(t) − x(t)| ≤  ∀n ≥ n0Tức là dãy hàm số {xn(t)}∞n=1 ⊂ C[a, b] hội tụ đều tới hàm số x(t)trên đoạn [a, b] Suy ra x(t) ∈ C[a, b] Nhưng sự hội tụ trong khônggian C[a, b] tương đương với sự hội tụ của dãy hàm liên tục trên

đoạn [a, b] nên dãy cơ bản {xn(t)}∞n=1 đã cho hội tụ tới x(t) trongkhông gian C[a, b].

Vậy C[a, b] là không gian Banach với chuẩn (1.1)

Giả sử Ω là một tập mở trong Rn khi đó C(Ω) là tập hợp tất cả cáchàm liên tục được xác định trên Ω và C(Ω) cũng là một không gianBanach Ta kí hiệu:

Cm(Ω) là tập hợp các hàm trên Ω sao cho đạo hàm đến cấp m tồntại và liên tục

E

|f |pdµ < +∞

gọi là không gian Lp(E, µ)

Khi E là một tập đo được Lebesgue trong Rk và µ là độ đo Lebesguethì ta viết Lp(E) Nếu E = [a, b] ⊂ R1 và µ là độ đo Lebesgue thì

ta viết Lp[a, b] và nếu E = [0, 1] thì ta viết đơn giản Lp

Định lý 1.3 Tập hợp Lp(E, µ), trong đó ta không phân biệt cáchàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là mộtkhông gian véctơ định chuẩn, với các phép toán thông thường cộnghai hàm số và nhân một số thực với hàm số, và với chuẩn:

∀f, g ∈ Lp(E, µ) ta có

|f + g|p ≤ (2 max {|f | , |g|})p ≤ 2p(|f |p+ |g|p)

Do đó f + g ∈ Lp(E, µ) Mặt khác ∀f ∈ Lp(E, µ), ∀α ∈ R, ta có:

|αf |p = |α|p|f |p ⇒ αf ∈ Lp(E, µ)

Vậy Lp(E, µ) kín đối với các phép cộng hai hàm số và phép nhânmột số thực với hàm số Hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đềtuyến tính do đó tập Lp(E, µ) là không gian tuyến tính trên trường

Vậy Lp(E, µ) là không gian định chuẩn

Định lý 1.4 Không gian Lp(E, µ) là không gian Banach

Chứng minh

Lấy một dãy cơ bản tùy ý {fn(t)} trong không gian Lp(E, µ) Theođịnh nghĩa:

(∀ > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀m, n ≥ n0) kfn− fmk <  (1.4)

22)(∃n2 ∈ N∗, n2 > n1)(∀n ≥ n2) kfn − fn2k ≤ 1

22

⇒ kfn2 − fn1k ≤ 1

2Tiếp tục quá trình này ta nhận được dãy con {fnk} của dãy {fn}sao cho

fnk+1 − fnk < 1

2k (k = 1, 2, · · · )Đặt gs(t) = |fn1(t)| +

E

lim

s→∞[gs(t)]pdµ < +∞ (1.5)

Suy ra lim

s→∞[gs(t)]p hữu hạn h.k.n trên tập E, nghĩa là lim

s→∞gs(t) tồntại và hữu hạn h.k.n trên tập E Vì vậy chuỗi

Từ đó, suy ra lim

k→∞kf0 − fnkk = 0, nghĩa là(∃k0 ∈ N∗)(∀k ≥ k0) kf0 − fnkk <  (1.6)Đặt K = max {n0, nk0} thì ∀n ≥ K kết hợp các hệ thức (1.4) và(1.6) ta được:

(∀n, nk ≥ K) kf0 − fnk ≤ kf0 − fnkk + kfnk − fnk < 2Vậy dãy fn(t) hội tụ tới f0(t) trong không gian Lp(E, µ) Do đó

Lp(E, µ) là không gian Banach

Định lý 1.5 Khi p = 2 không gian L2(E, µ) là không gian Hilbertvới tích vô hướng:

Dễ thấy (1.8) thỏa mãn bốn tiên đề về tích vô hướng Chuẩn sinh

ra bởi tích vô hướng (1.8) là:

kf k =p(f, f ) =

sZ

E

f2(t)dµ vớif (t) ∈ L2(E, µ)trùng với chuẩn (1.3) đã biết trên không gian Lp(E, µ) với p = 2.Nên không gian vectơ L2(E, µ) cùng với tích vô hướng (1.8) là một

không gian Hilbert.

Khi p lấy giá trị khác nhau, chuẩn của f trongLp(E, µ) được viết là

kf kp Giả sử Ω là một tập đo được Lebesgue trong Rn khi đó Lp(Ω)cũng là không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Với 1 ≤ p < ∞ ta nói một hàm là hàm địa phươngtrong Lp trên Ω, hoặc thuộc Lploc(Ω) nếu nó thuộc Lp(K) với mỗitập con compact K của Ω

Lploc(Ω) = f : f ∈ Lp(K) với mỗi K ⊂⊂ Ω

Định nghĩa 1.8 (Đạo hàm yếu)

Giả sử u, v ∈ L1loc(Ω) và α là một đa chỉ số Ta nói rằng v là đạohàm yếu cấp α của u nếu

Bổ đề 1.1 (Tính duy nhất của đạo hàm yếu)

Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định mộtcách duy nhất (sai khác trên tập có độ đo không)

Sau đây là ví dụ chỉ ra sự tồn tại đạo hàm yếu của một hàm:

Ví dụ 1.1 Trong không gian L1loc(0, 2) xét các hàm

xφ0dx +

Z 2 1

φ0dx

= (xφ)|10 −

Z 1 0

φdx + φ(2) − φ(1)

= φ(1) −

Z 1 0

φdx − φ(1) ( Vì φ(2) = 0)

= −

Z 1 0

φdx = −

Z 2 0

vφdx

Suy ra điều phải chứng minh

Tiếp theo là ví dụ chỉ ra một hàm không tồn tại đạo hàm yếu:

Ví dụ 1.2 Trong không gian L1loc(0, 2) xét hàm

uφ0dx = −

Z 2 0

uφ0dx =

Z 1 0

xφ0dx + 2

Z 2 1

φ0dx

= (xφ)|10 −

Z 1 0

φdx + 2φ(2) − 2φ(1)

= φ(1) −

Z 1 0

φdx − 2φ(1)

= −

Z 1 0

φdx − φ(1)

Suy ra

Z 2 0

vφdx −

Z 1 0

vφmdx −

Z 1 0

vφmdx



= 0 (vô lý)Vậy ta có điều phải chứng minh

Cố định 1 ≤ p < ∞ và cho m là một số nguyên không âm Bây giờ

ta định nghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạohàm yếu nằm trong không gian Lp

Định nghĩa 1.9 Không gian Sobolev Wpm(Ω) là tập gồm tất cảnhững hàm khả tích u: Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ m,đạo hàm yếu Dαu tồn tại và thuộc Lp(Ω)

Định nghĩa 1.10 Nếu u ∈ Wpm(Ω)(1 ≤ p < ∞), ta định nghĩachuẩn của nó là:

kukWm

p (Ω) =



X

Định lý 1.6 Giả sử Ω là một miền trong Rn và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.Khi đó Wpm(Ω) là một không gian Banach

=



X

.theo định nghĩa chuẩn của f ∈ Lp(Ω) thì

Ω

|f |pdxnên ta có

ku + vkWm

p (Ω) =



X

≤



X



X

= kukWm

p (Ω) + kvkWm

p (Ω)

2 Ta chứng minh Wpm(Ω) là không gian Banach

Giả sử {uk}∞k=1 là dãy cơ bản trong Wpm(Ω) Vì Wpm(Ω) là khônggian con của Lp(Ω) nên {uk}∞k=1 cũng là dãy cơ bản trong Lp(Ω), mà

Lp(Ω) là không gian Banach Do đó {uk}∞k=1 hội tụ về u ∈ Lp(Ω).Tức là với mọi  > 0 bé tùy ý, tồn tại k0 để kuk− uk0kLp (Ω) <

 với mọi k ≥ k0 Tương đương

tự nhiên m, ta có

kuk − uk+mkWm

p (Ω) −→ 0 khi k −→ ∞hay

⇔ kDαuk − Dαuk+mkLp (Ω) −→ 0 khi k −→ ∞ với mọi α : |α| ≤ m.

Do đó {Dαuk}∞k=1 là dãy cơ bản trong Lp(Ω) Do Lp(Ω) là khônggian Banach nên Dαuk −→ uα trong Lp(Ω) với mỗi α : |α| ≤ m.Bây giờ chúng ta khẳng định u ∈ Wpm(Ω) thì Dαu = uα với |α| ≤ m.Thật vậy với φ bất kỳ ∈ Cc∞(Ω) ta có:

Định nghĩa 1.11 Không gian Sobolev Hm(Ω) được định nghĩa bởi:

Hm(Ω) = u ∈ L2

(Ω) : Dαu ∈ L2(Ω), ∀ |α| ≤ m

kf kC([0,T ];X) = max

0≤t≤T kf (t)kX < ∞Định lý 2.1 Không gian C([0, T ]; X) là một không gian Banach.Chứng minh

1 Trước hết ta kiểm tra kf kC([0,T ];X) = max

iii) Với mọi f, g ∈ C([0, T ]; X) ta có:

2 Ta chứng minh C([0, T ]; X) là không gian Banach

Giả sử {fn(t)} là dãy cơ bản tùy ý trong không gian C([0, T ]; X).Theo định nghĩa dãy cơ bản: (∀ > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀n, m ≥ n0)

Nếu f : (0, T ) → X đo được thì kf k : (0, T ) → R cũng đo được.Nếu f : (0, T ) → X đo được và φ : (0, T ) → R đo được thì φf :(0, T ) → X cũng đo được Nếu {fn : (0, T ) → X} là một dãy cáchàm đo được và fn(t) −→ f (t) trên X với t h.k.n theo từng điểmtrên (0, T ) thì f : (0, T ) → X cũng đo được.

Định nghĩa 2.3 Một hàm f : (0, T ) → X được gọi là đo đượcyếu nếu hàm nhận giá trị thực hw, f i : (0, T ) → R đo được với mỗi

Do đó, nếu X là một không gian Banach tách được thì f : (0, T ) →

X đo được mạnh khi và chỉ khi hw, f i : (0, T ) → R đo được với mỗi

w ∈ X0

Định nghĩa 2.6 Một hàm f : [0, T ] → X nhận giá trị trongkhông gian Banach X là liên tục yếu nếu hw, f i : [0, T ] → R liêntục với mỗi w ∈ X0 Không gian các hàm liên tục yếu ký hiệu là

trong đó |Ej| là độ đo Lebesgue của Ej

Giá trị tích phân Bochner của một hàm đơn giản không phụ thuộcvào cách mà nó được biểu diễn bởi các hàm đặc trưng

Định nghĩa 2.8 Một hàm đo được mạnh f : (0, T ) → X được gọi

là khả tích Bochner (gọi tắt là khả tích), nếu có một dãy các hàmđơn giản chẳng hạn fn(t) → f (t) h.k.n theo từng điểm trên (0, T )và

lim

n→∞

Z T 0

kf − fnk dt = 0

Tích phân Bochner của f được định nghĩa bởi

Z T 0

f dt = lim

n→∞

Z T 0

fndt

ở đó giới hạn tồn tại trong X

Giá trị tích phân Bochner của f không phụ thuộc vào dãy {fn} cáchàm đơn giản và

Z T 0

f dt ≤

Z T 0

kf k dtHơn nữa, nếu A : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn từkhông gian Banach X vào không gian Banach Y và f : (0, T ) → Xkhả tích thì Af : (0, T ) → Y khả tích và

A

Z T 0

f dt



=

Z T 0

Af dtTổng quát hơn, đẳng thức này vẫn đúng khi A : D(A) ⊂ X → Y làmột toán tử tuyến tính đóng và f : (0, T ) → D(A), trong đó

Z T 0

f dt ∈ D(A)

Định lý 2.2 Một hàm f : (0, T ) → X khả tích Bochner khi và chỉkhi nó đo được mạnh và

Z T 0

kf k dt < ∞

Do đó, để kiểm tra xem một hàm đo được f là khả tích Bochner tachỉ cần kiểm tra hàm nhận giá trị thực kf k : (0, T ) → R đo được làhàm khả tích

Định lý 2.3 Giả sử fn : (0, T ) → X khả tích Bochner với mỗi

n ∈ N, fn(t) −→ f (t) trên X khi n −→ ∞, t h.k.n trên (0, T ) và có

f dt,

Z T 0

kf kpX dt < ∞với chuẩn

kf kLp (0,T ;X) =

Z T 0

kf kpX dt



1 p

Không gian L∞(0, T ; X) bao gồm tất cả các hàm đo được mạnh

f : (0, T ) → X sao cho

kf kL∞ (0,T ;X) = ess sup

0≤t≤T

kf (t)kX < ∞Định lý 2.4 Nếu X là một không gian Banach và 1 ≤ p ≤ ∞ thì

Lp(0, T ; X) là một không gian Banach

Chứng minh

1 Trước hết ta chứng minh

kf kLp (0,T ;X) =

Z T 0

kf kpX dt



1 p

với 1 ≤ p < ∞

kf kL∞ (0,T ;X) = ess sup

0≤t≤T

kf (t)kX