Một số bài toán về số phức

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên.. Tro

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng

biết ơn chân thành nhất đến ThS Nguyễn Thị Bình – Người đã tận tình

hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học,hơn nữa do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi những thiếu xót Em kính mong nhận được sư đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện

của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của ThS Nguyễn Thị Bình

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận, em có tham khỏa một số tài liệu có ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan, đề tài “ Một số bài toán về số phức” không có

sự trùng lặp cũng nhƣ sao chép kết quả của các đề tài khác

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Hằng

MỤC LỤC

PHẦN I LỜI NÓI ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN II PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1 Khái niệm số phức 3

2 Biểu diễn hình học số phức 3

3 Phép cộng và phép trừ số phức 4

4 Phép nhân số phức 4

5 Số phức liên hợp và môđun của số phức 5

6 Phép chia cho số phức khác 0 5

7 Căn bậc hai của số phức 6

8 Phương trình bậc hai 6

9 Dạng lượng giác của số phức 6

10 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 7

11 Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng 7

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶPVỀ SỐ PHỨC 8 1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức 8

2 Tính mô đun của số phức 12

4 Giải phương trình trong tập hợp số phức 22

5 Dạng lượng giác của số phức 23

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN 27

1 Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 27

2 Tính tổng 33

3 Số phức trong việc giải hệ phương trình, phương trình 35

4 Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng 40

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

1

PHẦN I LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong trường phổ thông, môn Toán giữ vai trò hết sức quan trọng

Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó “Một số bài

toán về số phức” là một dạng toán cơ bản và quan trọng được sử dụng

nhiều trong đại số cũng như trong thực tế

Tuy nhiên cho đến nay, các bài toán về số phức mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại, hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về các bài toán về số phức còn ít nên việc nghiên cứu một số bài toán về số phức còn gặp nhiều khó khăn

Với lí do trên và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của ThS

Nguyễn Thị Bình em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Một số bài toán về số

phức” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm tìm hiểu kĩ hơn một số bài

toán về số phức trong môn toán ở nhà trường phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về một số bài toán về số phức

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán về số phức

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu các vấn đề:

● Chương 1: Cơ sở lí thuyết

● Chương 2: Một số dạng toán thường gặp về số phức

2

● Chương 3: Ứng dụng số phức trong giải toán

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu,phân tích các tài liệu

- Hệ thống,khái quát các vấn đề

- Sưu tầm,giải quyết các bài toán

- Tổng kết kinh nghiệm

Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i đƣợc gọi là đơn vị ảo, a đƣợc gọi là phần thực và b đƣợc gọi là phần ảo của số phức z = a + bi

Vì vậy, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức nhƣ thế đƣợc gọi là mặt phẳng phức

 Tính chất kết hợp: (z + z’) + z” = z + (z’+ z”) với mọi , ', "z z z 

 Tính chất giao hoán: z + z’ = z’ + z với mọi , 'z z 

 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z

 Với mỗi số phức z = a + bi ( ,a b ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z + (-z) = (-z) + z = 0

Số -z đƣợc gọi là số đối của số phức z

5

 Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi , ', "z z z 

 Nhân với 1: 1.z = z.1 với mọi z

 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Ta nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số

phức liên hợp) Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox

b) Mô đun của số phức

z của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích

của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là ' 1

'

z

z z z



  trong đó  là một căn bậc hai của 

- Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2

Định nghĩa 11

Dạng zr c( osisin ) trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z0 Còn dạng z = a + bi ( ,a b ) được gọi là dạng đại số của số phức z

b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Từ công thức Moavro dễ thấy số phức zr c( osisin ) trong

đó r > 0 có hai căn bậc hai là: os +isin

8

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

VỀ SỐ PHỨC

1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức

Ví dụ 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

Ví dụ 5 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu

diễn số phức z sao cho số 2

2

z z

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2

1 2

13

nhất là z = i

z z

2w

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b

Thay vào phương trình ta được:

23

Phương trình có thể phân tích thành    2 

Các nghiệm của phương trình là z = -3i; z  1 2i

Ví dụ 3 Giải phương trình trên tập hợp số phức

Giải

Nhận biết được hai nghiệm z = -1 và z = 2

Phương trình đã cho tương đương với     2 

 là

34

Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lƣợng giác (Nhân vế

trái với 2sin

29

Do đó

5 5

Ví dụ 4 Cho a, b, c là các số thực sao cho

cosacosbcoscsinasinbsinc0

2cos cos isin

2sin sin isin

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 8 Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện 3

3

12

z z

sin sin 2 sin

cos os2 cos

na

c a

sin21sin os

sin2

na S

a

na c S

4 Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng

- Trong mặt phẳng phức, nếu các điểm A, B có tọa độ là a, b thì

độ dài đoạn thẳng AB là AB = |a-b|

- Nếu O là gốc tọa độ thì OA = |a|, OB = |b|

- Một số đẳng thức đại số: Với mọi a,b,c thõa mãn điều kiện xác

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt

phẳng Chứng minh rằng: a MB MC b MC MA c MA MB   abc với

41

Theo (1) thì

yz yz  z x z x x y xy  x yyz z x

nên bài toán được chứng minh

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt

Dấu đẳng thức xảy ra khi M tâm đường tròn nội tiếp tam giác

43

KẾT LUẬN

Sau một thời gian nghiên cứu khóa luận này em đã tìm hiểu và trình bày về các bài toán về số phức Trong khóa luận em đã đưa ra cơ sở lí thuyết của số phức, một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức trong giải toán

Qua quá trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp này, bước đầu em đã tiếp xúc và làm quen với phương pháp nghiên cứu một đề tài khoa học

Em đã tìm hiểu thêm về “ Một số bài toán về số phức “ và nhìn nhận

vấn đề một cách sâu sắc hơn Đây là cơ sở tốt cho quá trình công tác sau này Từ đó, em biết cách đọc và phân tích tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy cũng như nghiên cứu khoa học

Hy vọng tài liệu bày sẽ giúp ích được một phần nào đó cho các bạn sinh viên quan tâm đến Đại số nói riêng và Toán học nói chung

Chắc chắn khóa luận này không tránh khỏi sai xót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến chân thành của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức và hình học

phẳng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội

2 Nguyễn Văn Mậu – chủ biên (2009), Chuyên đề số phức và áp

dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội

3 Đoàn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục

4 Võ Thanh Vân – chủ biên (2009), Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc

Giang, Chuyên đề ứng dụng số phức trong giải toán THPT, NXB

ĐH Sư Phạm