Một số định lý cơ bản của số học

HàNội, tháng5năm2008Sinhviên NgôThịMinhDiệu... HàNội, tháng5năm2008Sinhviên NgôThịMinhDiệu... Dựavàonhậnxéttrêntacóthểkiểmtraxemmộtsốnguyêndươngchotrước bấtkỳ là số nguyên tốhay không?..

Trườngđại họcsưphạmhà nội

Bảnkhoáluậntốtnghiệpnàylàbướcđầutiênđểemlàmquenvớiviệcnghiêncứukhoahọc.Trướcsựbỡngỡvàgặpnhiềukhókhănkhimớilàmquenvớicôngtácnghiêncứukhoahọcemđãnhậnđượcsựgiúpđỡ,độngviêncủacácthầycôgiáovàcácbạnsinhviêntrongkhoa.EmxinchânthànhcảmơnsựgiúpđỡquýbáucủacácthầycôtrongtổĐạisố,cácthầycôtrongkhoaToán,cácthầycôtrongtrườngĐHSPHàNội2vàcácbạnsinhviên.ĐặcbiệtemxingửilờicảmơnchânthànhsâusắctớiThạcsĩNguyễnHuyHưngngườiđãgiúpđỡ,hướngdẫntậntìnhđểemhoànthànhkhoáluậnnày.EmcũngxinchânthànhcảmơnbanchủnhiệmkhoaToánđãtạođiềukiệnchoemcó

cơhộiđểtậpdượtvớiviệcnghiêncứukhoahọc

HàNội,

tháng5năm2008Sinhviên

NgôThịMinhDiệu

Một số địnhlýcơbảncủasố học

Lờicamđoan

Khoáluậncủae m đượchoànthànhdướis ự hướngdẫnc ủ a Thạcs ỹ NguyễnHuyHưngcùngvớisựcốgắngcủabảnthân.Trongquátrìnhnghiêncứuvàthựchiệnkhoáluậnemcóthamkhảotàiliệucủamộtsốtácgiảcónêutrongmụct à i liệuthamkhảo E

mx i n camđ o a n nhữngkếtquảtrongkhoáluậnlàkếtquảnghiêncứucủabảnthân,khôngtrùngvớikếtquảcủacáctácg iả khác Nếusaiemxinhoàntoànchịutráchnhiệm

HàNội, tháng5năm2008Sinhviên

NgôThịMinhDiệu

Trang

Lờicảmơn……… 1

Lờicamđoan……… 2

Mụclục……… 3

Lờimởđầu……… 4

Chương1.Mộtsốđịnhlýcơbảnvềsốnguyêntố 1.1 Địnhnghĩasốnguyêntố……… 6

1.2 Mộtsốđịnhlýcơbảnvềsốnguyêntố……… 6

1.3M ộ t sốứngdụng……… 10

1.4Mộtsốbàitoánvềsốnguyêntố……… 11

Chương2.Mộtsốđịnhlýcơbảnvềđồngdư 2.1Quanhệđồngdư……… 21

2.2ĐịnhlýEuler ĐịnhlýWilson…… ……… 25

2.3Phươngtrìnhđồngdư……… 27

2.4 ĐịnhlýThặngdư TrungHoa……… 31

2.5 Thặngdưtoànphương.Luậtthuậnnghịchbìnhphương… 34 2.6Mộtsốbàitậpápdụng……… 40

Kếtluận……… 49

Tàiliệuthamkhảo……… 50

Toỏnhọclàmụnkhoahọccơbản,làchỡakhoỏmởranhiềumụnkhoahọckhỏc.Từthờixaxưa,doyờucầucủathựctếđ ờ i sống,sảnxuất,sinhhoạt,đầuthếkỷthứVII,ngườiẤnĐộđóbiếtdựngcỏckýhiệuđặcbiệtđểviếtcỏcchữsố0,1,2…,9(NgàynaygọilàcỏcchữsốẢ

Rập).TừthếkỷIItrướccụngnguyờn,ngườiLaMóđódựnghỡnhảnhngúntay,bàntayđểkýhiệuchỉcỏcchữsố1,5…

Rồiđếnsựrađờicủachiếcbàntớnhđầutiờn,đếnnaylàchiếcmỏytớnhvớinhiềuchứcnăngtinhvi,hiệnđại

Cỏckiếnthứcvềsốhọcmàđiểmxuấtphỏtđầutiờnlàsốtựnhiờnlàchỡakhoỏđểmởcửavàothếgiớicỏcconsố

NhữngkiếnthứcnềnmúngvàquantrọngvềToỏnhọcnúichungvàsốhọcnúiriờngsẽmangđếnchochỳngtanhiềuđiềumớimẻvà thỳvị

NgaytừcấphọcTiểuhọc,họcsinhđóđượclàmquenvàcúkỹnăngthànhthạokhigiảicỏcbàitoỏnliờnquanđếncỏcphộptớnhcộng,trừ,nhõn,chiasốtựnhiờn.KhihọcsinhhọclờncấphọcTHCS,THPTbờncạnhviệcđượcụntập,hệthốnghoỏcỏcnộidungvềsốtựnhiờnđóhọc,cỏcemcũntỡmhiểuthờmnhiềunộidungmới:phộpnõnglờnluỹthừa,sốnguyờntốvàhợpsố, ướcchungvàbộichung,quanhệđồngdư…

Trongchươngtrỡnhtoỏnphổthụng,lýthuyếtsốđượcxemlànộidungkhúvớinhữngbàitoỏnphứctạpvớinhiềucỏchgiảithỳvị.Trongcỏckỳthihọcsinhnăngkhiếu,họcsinhgiỏicỏccấp,nộidungsốhọc:Sốnguyờntố,quanhệđồngdư…

chiếmtỷlệkhỏcaotrongcỏcđềthi.Vỡvậy,đểgiỳpcỏcemhọcsinhcúcỏchnhỡntổngquỏt,toàndiệnvềhệthốngsố,đặcbiệtlàcỏckiếnthức,cỏcđịnhlýcơbảnđểtừđócúthểgiảiđượcnhữngbàitoỏnvềsốnguyờntố,bàitoỏnvềquanhệđồngdư…

nờnemchọnnộidung:“Mộtsốđịnhlýcơbảncủasốhọc”làmluậnvănnghiờncứu

Khoáluậncủaemgồmhaichương:

Mặcdùđãcónhiềucốgắngsongkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót,vìv ậ y emrấtmongnhậnđượcýkiếnđónggópcủacácthầycôgiáovàcácbạnsinhviênchobàikhoáluậncủaem.Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội,tháng5năm2008Sinhviên:

NgôThịMinhDiệu

sốnguyêntố 1.1Địnhnghĩasốnguyêntố:

* Định nghĩa:

- Mộtsốtựnhiênlớnhơn1vàkhôngcóướctựnhiênnàokhácngoài1vàchínhnóđượcgọilàsốnguyêntố

* Nhậnxét:

- Số1vàsố0đềukhôngphảilàsốnguyêntốmàcũngkhôngphảilàhợpsố(số1chỉcómộtướcsố,số0cóvôsốướcsố)

Nếunlàhợpsốthìncóướcdươngavớia≠1,a ≠n.Giảsửn = a.b

Nếua> nthìtừb≥1ta cón=a.b >n.1 =n,mâuthuẫn Vậy1 < a<

n.Theogiảthiếtquynạp,a cóướcnguyêntốp.Từp |a,a|n suyra p |n

…,pnmàthôi.Tuynhiên,theođịnhnghĩacủaN,Nkhôngthểchiahếtchosốpinàocả.Mâuthuẫnnàychotađiềuphảichứngminh

Chứngminh:

Giảsửp|abnhưngpkhôngchiahếtavàkhôngchiahếtb.Khiđótheo

địnhlý(1.2.3)tacó(a,p)=1và(b,p)=1,từđótacó(ab,p)=1 (tráigiảthiếtp

|ab).Từđó,tacóđiềuphảichứngminh

n nn

Dựavàonhậnxéttrêntacóthểkiểmtraxemmộtsốnguyêndươngchotrước bấtkỳ là số nguyên tốhay không?

11 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

Vídụ:Đểxácđịnha =89cólàsốnguyêntốkhôngtachỉcầnxemnócó

ướcnguyêntốbé hơnhoặcbằng không?Tacó =9,43vàcácsốnguyêntốnhỏhơnhoặcbằng9,43là2;3;5;7đềukhônglàướccủa89.Vậy89làsốnguyêntố

Chomộtsốtựnhiêna>1bấtkỳ.Vấnđềđặtralàliệucóthểbiểuthịadướidạngtíchcủacácthừasốnguyêntốđượch ay khôngvà cóbaonhiêucáchbiểuthịnhư vậy?Vấnđềđóđượcgiảiquyếttrongđịnhlýsau:

Địnhlý1.2.7<Địnhlý cơbảncủasốhọc>

Mọisốtựnhiêna>1đềuphântíchđượcthànhtíchnhữngthừasốnguyêntốvà sựphântíchđólàduynhấtnếukhôngkểđếnthứtựcủacácthừasố

Chứngminh:

a Sựphântíchđược:

Giảsửa,a>1.Khiđótheobổđề(1.2.1)acóítnhấtmộtướcnguyênt

ốp1nàođóvàtacóa=p1.a1,a1

Nếua1=1thìa=p1làcáchphântíchtầmthườngcủaa

Nếua1>1theolýluậntrên,a1c óướcnguyêntốp2nàođóvà

12 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

thứt ự củac á c thừas ố nêncóthểcoip1=q1t ừđótađượcp2.p3…

pn=q2.q3 qm.Talấyp2vàlặplạichođếnkhiởmộtvếkhôngcònthừasốnguyêntố nàonữa.Nhưnglúcđó,ởvếcònlạicũngkhôngcònthừasốnguyêntốnàovìnếungượclạisẽxảyrahoặc1=qn+1.qn+2…qmh o ặ cpm+1.pm+2…pn=1làkhôngthể

được.Vìvậyphảicóm=nvàpi= q i,i=1,2,…,nnghĩalàphântíchcủa alàduynhất

Chúý:

- Nếutrongsựphântíchrathừasốnguyêntốcủamộtsốtựnhiêna,mộtthừasốnguyêntốpiđượclặplạiilầnthìtaviết:

13 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

+)Cho(a,b)=1.Khiđó:

d | ab   d = xy với x| a, y | b và (x , y) = 1

1.3.2 ớcchunglớnnhất(ƯCLN):

- Mộtsốnguyêncđượcgọilàướcchungcủacácsốnguyêna1,a2,

…,ankhiclàướccủatừngsốđó

- Mộtướcchungdcủacácsốnguyêna1,a2, ,anđượcgọilàước

225 = 32.52

14 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

1000 =23 53Vậy(720,225, 1000) =20.30.5=5

n2+2 -2n=1

n2-2n+1=0

n=1Vớin =1thìn4+4=5 làsốnguyêntố

Kếtluận:n=1thìn4+ 4 l àsốnguyêntố

b n1991+n1990+1=n1991-n2+n1990-n+n2+n + 1

=n2(n1989-1)+n(n1989-1)+n2+n+1n2+n+1

15 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

(Vìn1989-1=(n3)6631n31n2n1)Vậyđển1991+n1990+1 làsốnguyêntốthìn1991+n1990+1=n2+n + 1

Giải:

a Talầnlượtxétcáctrườnghợp:

+)Vớip>5thìpcódạngp=5k1;p=5k2( k)-Nếup=5k+1thìp+ 14= 5p+15=5(k+3)làhợpsố.

18 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

Suyra A



13

b,B = n4+4n Xéthaitrườnghợp:

+)nchẵnthìB2+)nlẻđặtn= 2k+1,k*,Tacó:

18 K30G–SưphạmToán NgôThịMinhDiệu

= 4k+1( v ớ i k=4pq+p +q)Vậytíchcủahaisốcódạng4m+1làsốcódạng4m+1.Nếutanhânthêmvớicácthừasốthứba,thứ4 …códạng4m+1thìsẽchokếtquảlàmộtsốcódạng4m+1

NgôThịMinhDiệu 19 K30G–SưphạmToán

*

- Chứngminhcóvôsốsốnguyêntốcódạng4m+3:

Trướchếtchứngminh:Nếuplàsốnguyêntốthìpchỉbiểudiễnđượcdướidạng4m+1hoặc4m+3

NgôThịMinhDiệu 20 K30G–SưphạmToán

Giải:

p21= (3k1)219k 26k

3(3k22k)3

(1)

+)k 3dãyk+1,k+2,

…,k+10chứa5sốlẻliêntiếp,cácsốlẻnàyđềulớnhơn3nêncómộtsốchiahếtcho3,mà5 sốchẵntrongdãyhiểnnhiênkhônglàsốnguyêntố.Vậytrongdãycó

Chứngminhrằngvớin >1cácsốsaulàhợpsố:

a.3.222n

1(n≥1)

Định nghĩa2.1.2( định nghĩanghịchđảomodulo):

NgôThịMinhDiệu 25 K30G–SưphạmToán

H={0;1;2;…;m-1}làmộthệthặngdưđầyđủmodulomvàđượcgọilàhệthặngdưđầyđủkhôngâmnhỏnhất

Vídụ:m=4thìhệ {0, 1, 2, 3 }làhệthặngdưđầyđủkhôngâmmodulo4nhỏnhất Nhậnxét:Từđịnhnghĩatathấynếu{a1,a2,…,am}là

b) Từ(k,m)=1nêntồntạixsaochokx≡1(modm).Mặtk

hác do(ai,m)=1nêncóbisaochoaibi≡ 1(modm)

Dođó(kai)(xbi) ≡(kx)(aibi)≡1(modm).Điềunàychứngtỏk ail àphần

{ar1,ar2,…,ar(m)}làmộthệthặngdưthugọnmodulom

…,s(m)}làhệthặngdưthugọnmodulomkhôngâmnhỏnhất

Bằngcáchnhânvếvớivếcủacácđồngdưthứctrên,tađược:a(m)r

1r2…

r(m)≡s1.s2 s(m)(modm)Do{r1,r2,…,r(m)}v à {s1,s2,

Theogiảthiếttacó(p)=p-1vàanguyêntốvớipnêntheođịnhlýEulertacóap–1≡1(modp )

*Hệquả:

Choplàmộtsốnguyêntốvàalàmộtsốnguyêntuỳý.Khiđótacó

2vàdopnguyêntốnên(x,p)=1, x = 1,2, ,p-1.

TheođịnhlýFermat,tacóxp-1≡1 (modp)hayxp-1-1≡0 (modp)

Dođó, phươngtrình(*)tươngđươngvớiphươngtrình:

( x -1).(x-2)…[x -( p -1)]≡ 0 ( modp)Phươngtrìnhnàycóp-1nghiệmlà 1;2;3;…;p-1(modp )suyratấtcả cáchệsốcủađathứcở vếtráicủaphươngtrình(*)đềulàbộicủa p.Vì

vậy

sốhạngtựdocũngphảichiahếtchophay

(-1)( -2)…[-(p -1)]+1≡ 0 ( modp)nên(p-1)!+1≡0(modp)(doplẻnênp-1chẵndođó(-1)p-1= 1 )Vậy(p-1)!≡ (-1)

(modp)

2.3 Phươngtrình đồngdư:

Định nghĩa2.3.1:

Giảsửf(x) =anxn+ an-1xn-1+…+a0l àmộtđathức(vớicáchệsốnguyên

).Sốnguyênx0đượcgọi lànghiệmcủa

phươngtrìnhđồngdưf(x)≡0(modm)nếuf(x0)≡0(modm)

Định nghĩa2.3.2:

Chor1,r2,

…,rmlàmộthệthặngdưđầyđủmodulom.Sốnghiệmcủaphươngtrìnhf(x)≡0(modm)đượcđịnhnghĩalàsốcácrithoả mãn:

f(ri) ≡0(modm)

Định nghĩa2.3.3(Bậccủaphươngtrìnhđồngdư ):

Chođathứcf(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

Khiđóbậccủaphươngtrìnhf(x)≡0(modm)đượcđịnhnghĩalàsốnguyênjlớnnhất,j≤nsaochoaj0(modm)

Nếukhôngtồntạisốnguyênjnhưvậyphươngtrìnhđượccoinhưkhôngcóbậc

Vớin=0phươngtrìnhcóbậc0tứclàf(x)≡ao  p.Khiđóphương

trìnhf(x)≡0(modp)vônghiệm

Giảsửkhẳngđịnhđúngvớimọiphươngtrìnhđồngdưcóbậcnhỏhơnn.Tachứngminhnóđúngvớiphươngtrìnhđồngdưcóbậcn.Taxétđathức:

Nếuphươngtrìnhg(x)≡0(modp ) cóbậcthìbậcđóbéhơnn.Tuynhiên, phươngtrìnhnàycó nnghiệmphânbiệtmoduloplàx1,x2,

…,xn.Mâuthuẫntráivớigiảthiếtquynạp

Nếuphươngtrìnhg(x)≡0(modp )khôngcóbậc,tứclàmọihệsốcủag(x)đềuchiahếtchophayg(x) ≡0(modp ) vớimọisốnguyênx,tachọn

cócùngmộttậphợpnghiệm.Từlýdođó,tacóđịnhlýsau:

Địnhlý2.3.5:

Chophươngtrìnhđồngdưf(x)≡0(modp )

cóbậcn≥p.Khiđóchỉcóhaikhảnăngsau:

a) Mọisốnguyênđềulànghiệmcủaphươngtrình

b) Tồntạiđathứcg(x)códegg<pvớihệsốcaonhấtbằng1saochophươngtrìnhf(x)≡0(modp ) vàg(x)≡0(modp ) cócùngtậphợpnghiệm

Chứngminh:

Giảsửf ( x ) = (xp-x) q(x)+r(x)trongđódegr< p

Nếur(x)≡0hoặcmọihệsốcủar(x)đềuchiahếtchopthìtacómọisốnguyênđềulànghiệmcủaphươngtrìnhf(x)≡0(modp )

Nếur(x)cóítnhấtmộthệsốkhôngchiahếtchop

Giảsửdegr= m<p,gọiamlà

hệsốbậccaonhấtkhôngchiahếtchop.Khiđór(x)códạng:

r(x) =p(bnxn+bn-1xn-1+…+bm+1xm+1)+amxm+am-1xm-1+…+a0Dễthấy:

f(x)≡r(x)≡amxm+am-1xm-1+…+a0( modp)x

Do(am,p) =1nêntồntạisốnguyênumsa ochoum.am≡ 1 (modp)

Đặtum.am= p k+1,g(x)=um(amxm+am-1xm-1+…+a0)

Chođathứcf(x)cóbậcnvớihệsốcaonhấtan=1.Khiđóphươngtrìnhf(x)≡0(modp)cónnghiệmnếuvàchỉnếutacóbiểudiễn:

xp-x=f(x).q(x)+p.s(x)trongđóq(x),s(x)làcác đathứccóhệsốnguyên, degq =p-

Dophươngtrìnhxp-x ≡ 0 (modp )cópnghiệm,f(x)

≡0(modp )cónnghiệm,nênphươngtrìnhr(x)≡ 0 ( modp )cũngcónnghiệm

Vìdegr<nnênnếuphươngtrìnhr(x)≡0(modp)cóbậcthìbậcbéhơnnvàcónnghiệm,tứclàsốbậcbéhơnsốnghiệm(vôlý).Vậyphươngtrìnhr(x)≡0(modp)khôngcóbậc,tứclàr(x)códạng:r(x)=ps(x).Dođótacó:

xp-x=f(x)q(x)+ps(x)Ngượclại, nếuf(x)cóbiểudiễnnhư

trênthì:f(x)q(x)= ( xp-x) -p s(x)tứclàphươngtrìnhf(x)q(x)≡ 0 (modp )có pnghiệm

Nếux0v àx1l àhainghiệmthoảmãnhệphươngtrìnhtrênthìx0≡ x 1(modm)vớim=[m1,m2,…,mn].Tứclà

hệphươngtrìnhđồngdưtrêncónghiệmthìnghiệmđólàduynhấtmodulom

Chứngminh:

Trướchết,giảsửhệphươngtrìnhđãchocónghiệmx0

Đặt(mi,mj) =d,ta có : x0–ri≡0(modmi), x0–rj≡0(modmj)

Vớin =2đặt: (m1,m2) =d,m1= d d 1,m2=d.d2

suyra( d1,d2)=1vàri≡rj≡ r(modd).Đặt

r1= r+ k1.d , r2= r+k2.dTacó :

2 và cáclớpthặngdưdươngnhỏnhấtcủachúng.Gọinlàsốcác lớpthặngdưvượtquáp

2Khiđó:

p1{p -r1,p-r2,…,p -rn,s1,s2,…,sk}= {1,2,…, }

2Docácphầntửcủatậphợp{p-r1,p -r2,…,p -rn,s1,s2,…,sk} đều

nằmtrongtập{1,2,…,p1}vàn+k=

2nêntachỉcầnchứngminh

2Dođó (-r1)(- r2)…(-rn)s1s2…sk≡ (

1)r

sk≡(

p ).

)! (mo

dp )

(-1)n(p1)!a(p-1)/2≡(p1)!(modp)

2Từđósuyra(-1)n≡a(p-1)/2=

{p -r1,p -r2,…,p -rn,s1,s2,…,sk}= {1,2,…,

p1}2nên

(p1)/2ja

j

 1

q1}

Từ địnhlýtrêntathấy:

pq

Chocácphươngtrìnhđồngdư:x2≡p(modq)vàx2≡ q (modp)với

NgôThịMinhDiệu 44 K30G–SưphạmToán

Tìmdưtrongphépchia32005chiacho100

Gi ải :

3(100)≡

1(mod100)Mà100=22.52,dođó:(100)=100(11).(11

)40

Suyra340≡1(mod100 )

Vậy32005=340.50+5≡35(mod100 ) ≡43(mod100)

Dođó32005chiacho100dư43

Bài2:

Choa,b làcácsốnguyêndươngnguyêntốcùngnhau Chứngminhrằngtồntạicácsốnguyêndươngm,nsaocho:am+bn-1ab.

Mộtsốcó6nchữ

sốvàchiahếtcho7.Chứngminhrằngnếuchuyểnchữsốtậncùnglênđầucủasốđóthìđượcmộtsốcũngchiahếtcho7

Giải:

Gọisốbanđầulà N= 10x + avớialàchữsốtậncùngcủaNvàx có6n– 1chữ số

SaukhichuyểnalênđầutađượcsốM=a.106n-1+ x

NgôThịMinhDiệu 46 K30G–SưphạmToán

Bài5:

a.b vớia=

3

1vàb=3 1

làsốchẵn.Đặt:x =1.2.3… p1.

2

1≡-(p -1),2 ≡ -(p-2),3≡-(p-3),…, p1 ≡-(p1 (modp)nênx≡(1)

p  

12(p–1)(p–2)(p–3)…(p1

2

(modp )Từđó,do p1

2làsốchẵnvàtheođịnhlýWilsontacó:

2(p1.p3

(p1))2 2

≡- 1 (modp )

Ngượclại, giảsửplàmộtsốnguyêntốlẻvàtồntạisốnguyênxsaochox2≡1(modp ),khiđótheođịnhlýnhỏcủaFermat:

Bài9:

x(x-1)≡0(modpi)đềucóhainghiệmmodulo inênphươngtrìnhđãchocó2knghiệm.

b Tacó :

(1).1,p7(mod8)

Chứngminhrằngvớimỗisốtựnhiênk≥1cósốtựnhiênnsaochotổngcácchữsốcủanbằngkvànk.

Bài5: Chứngminhrằngtồntạimộtdãytănga cácsốtựnhiênsao

chovớik

n chỉchứahữuhạncácsốnguyêntố.

Emxinchânthànhcảmơn!

1 NguyễnVũLương(chủbiên),NguyễnLưuSơn,NguyễnNgọcThắng,

PhạmVănHùng(2006),Cácbàigiảngvềsốhọctập2,NXBĐHQGHàNội

2 NguyễnVũThanh(2004),Chuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏitoántrungh ọccơsở:sốhọc,NXBGD

3 NguyễnVũThanh(1992),Chuyênđềbồidưỡngchuyêntoánchuyêntoánc ấp2và3:sốhọc,NXBGD

4 VũDươngThụy,NguyễnVănNho,TrầnHữuNam(2004),Lýthuyếtsố các địnhlý cơbảnvàbàitậpchọnlọc,NXBGD