Một số kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz holder vào toán sơ cấp

12 Chương 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP ..... Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó của toán học

CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014

CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

Th.s PHẠM LƯƠNG BẰNG

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện để giúp em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khóa luận cho em

Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em hy vọng sẽ nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khóa luận của em hoàn chỉnh hơn

Sinh viên

Trần Thị Bích Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực của tự bản thân tôi và

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER 3

1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy, Schwarz, Holder 3

1.1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy 3

1.1.2 Tiểu sử tóm tắt về Schwarz 3

1.1.3 Tiểu sử tóm tắt về Holder 4

1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 5

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tổng quát 5

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số (dạng Engel). 6

1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-schwarz dạng căn thức 7

1.2.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng bình phương của một tổng 7

1.3 Bất đẳng thức Holder 8

1.3.1 Bất đẳng thức Holder dạng tổng quát 8

1.3.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder 9

1.3.3 Mở rộng 2 của bất đẳng thức Holder 11

1.3.4 Mở rộng 3 của bất đẳng thức Holder 12

Chương 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 14

2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz 14

2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-schwwarz 14

2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel của bất đẳng thức Cauchy-Swcharz 16

2.1.3 Kỹ thuật lân dần 20

2.1.4 Kỹ thuật nâng lên lũy thừa và điều chỉnh hệ số 25

2.2 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Holder 28

2.2.1 Điểm rơi đối xứng trong bất đẳng thức Holder 28

2.2.2 Điểm rơi Holder với các biểu thức chứa biến 29

Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 33

3.1 Hệ thống bài tập 33

3.2 Hướng dẫn giải 34

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó của toán học sơ cấp, đòi hỏi tính tư duy và sáng tạo cao Bất đẳng thức luôn giữ vị trí quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học, Olympic quốc gia và quốc

tế Điểm đặc biệt và ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán học sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó nhưng luôn có thể giải được bằng những kiến thức cơ sở, chủ yếu sử dụng các phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu được kết quả

Ngày nay, có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng như: phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp dùng đạo hàm, phương pháp vec tơ, phương pháp tọa độ … Trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức không thể không kể đến phương pháp chứng minh sử dụng các bất đẳng thức kinh điến Một trong những bất đẳng thức được sử dụng khá phổ biến là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz- Holder

Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn

đề tài: “Một số kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz- Holder vào giải toán sơ cấp” làm đề tài nghiên cứu cho mình

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Schwarz-Holder và kỹ thuật sử dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Holder vào giải toán sơ cấp

Cauchy-3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, nghiên cứu tài liệu

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức

Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập

Chương 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER

1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy, Schwarz, Holder

1.1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy

Augustin Louis Cauchy là một nhà toán học người Pháp sinh

ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857

cũng tại Paris Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École

Polytechnique) lúc 16 tuổi Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên

lo về toán học Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp

Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học

1.1.2 Tiểu sử tóm tắt về Schwarz

Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 - 30/11/1921) là một

nhà toán học người Đức, nổi tiếng với công trình về giải tích phức Ông sinh ra ở Hermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) và qua đời tại Berlin Ông đã kết hôn với Marie Kummer, một con gái của nhà toán học Ernst Eduard Kummer và vợ Ottilie Họ có sáu người con

Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học ở Berlin, nhưng Kummer và Weierstrass thuyết phục ông chuyển sang toán học Giữa năm 1867 và năm 1869 ông làm việc tại Halle, sau đó tại Zürich Từ 1875 ông làm việc tại Đại học Göttingen, giao dịch với các đối tượng của lý thuyết chức năng, hình học vi phân và các phép tính của các biến thể Tác phẩm

của ông bao gồm Bestimmung Minimalfläche speziellen einer, được trao

vương miện bởi Học viện Berlin vào năm 1867 và được in vào năm

1871, và Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890) Năm 1892

ông trở thành một thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin và là

giáo sư tại Đại học Berlin Ông qua đời tại Berlin

1.1.3 Tiểu sử tóm tắt về Holder

Holder Ludwig Otto(1859-1937) là học trò của nhà Toàn học

Đức nổi tiếng Karl Weierstrass Sau khi bảo vệ thành công luận án tiến sĩ năm 1882 ở Đại học Tubingen, Holder dạy ở đại học Gottingen từ năm

1884 Ông quan tâm đến nhiều lĩnh vực của Toán học, nhưng ông đã biết

tiếp tục tinh thần của Thầy học nên đã đóng góp sức mình hy vọng góp

phần làm cho Toán học có một tầm vóc mới; ông đã làm cho Toán học

tách ra khỏi phép tính hình thức, trở nên chặt chẽ hơn Nhưng với bản

chất trầm tĩnh, và tính tình hòa nhã, độ lượng nên ông được nhiều người

mến mộ

Otto Holder nghiên cứu hàm biến thực và phức Ông say mê Lý

thuyết Galois và Lý thuyết Nhóm Năm 1889, ông phát biểu lại Định lý

phân tích của Jordan với khái niệm mới này và chứng minh tính duy nhất

của nhóm thương trong định lý mới từ nay mang tên hai người: Holder

và Jordan Từ năm 1892 đến năm 1895 ông nghiên cứu chi tiết các nhóm

hữu hạn, đặc biệt là tất cả các nhóm của một thứ tự cho trước Từ năm

1914 đến năm 1923, Holder hướng suy nghĩ của ông về Triết học trong

Logic toán

1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tổng quát

Định lý 1.1(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với 2 dãy số thực

tùy ý a1,a2, ,an và b1,b2, bn, ta luôn có bất đẳng thức:

Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng cả n vế bất đẳng thức lại ta có kết quả.

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số (dạng Engel)

Hệ quả 1.1 Với 2 dãy số (a1,a2, ,an ) và (b1,b2, bn) , bi≥0 i=1,2, ,n

n n

Vậy bất đẳng thức (1.2) đúng với mọi n≥1.

1.2.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng bình phương của một tổng

Hệ quả 1.3 Với mọi số thực a1,a2, an ta có:

1 2 n ( 1 2 n)

a a  a n a a  a

CHỨNG MINH:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz với 2 bộ số (a1,a2, an),

n n

n n

a

1 1 2 2 n n 1p 2p n p p 1q 2q n q q(1) 0

a b a b  a b  a a  a b   b b  pq

, , ,

n n

m m

m m

, , ,

n n

Chương 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT

ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN

SƠ CẤP 2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz

2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-schwwarz

Ví dụ 2.1.1 Cho các số thực dương x1,x2, ,xn có tổng bằng 1 Hãy tìm giá

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=d=a+b 

Ví dụ 2.1.4 Giả sử x≥y≥z ≥ 0 Chứng minh:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.

Ví dụ 2.1.5 Với mọi x,y,x≥0, chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel của bất đẳng thức Cauchy-Swcharz

Ví dụ 2.1.6 Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng:

  2  2 2  

94

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Ví dụ 2.1.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ đó ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.

Ví dụ 2.1.10 Cho các số thực dương a,b,c có tổng bằng 1 Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a,b,c có một số bằng 1 và 2 số bằng 0.

Ví dụ 2.1.11 Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương

Với mọi số thực dương k, theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel

x yzt y xzt z yxt t yzx

xy  yz  zx  xt  ty  zt   xyz  yzt  ztx  txy 

2.1.4 Kỹ thuật nâng lên lũy thừa và điều chỉnh hệ số

Ví dụ 2.1.17 Xét hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện 2x23y2 5

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p=2x+3y

1

21

Từ những bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.1.20 Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ví dụ 2.2.2 Cho các số dương a1,a2, ,an Chứng minh rằng:

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2.2.2 Điểm rơi Holder với các biểu thức chứa biến

Ví dụ 2.2.4 Cho a,b,c>0 Chứng minh:

3(1)4

 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2

m n  p m m  m np n p m n p 

Bất đẳng thức này luôn đúng suy ra (1) đƣợc chứng minh

Đẳng thức xảy ra  a b c hoặc a,b,c thỏa mãn a ,b

b    c và các hoán vị.

Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 4:( Bất đẳng thức Nesbitt 6 biến)

Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d, c, e, f là các số thức dương

4 3

321

Gọi mẫu số của phân thức trên là S ta có:

122

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c>0 hoặc (a,b,c) là một hoán vị của (x,0,0) với x>0

ak  c 

Bài 12

KẾT LUẬN

Sau khi nghiên cứu xong đề tài này, đã bổ sung cho em rất nhiều kiến thức về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Holder , qua đó có thêm những phương pháp độc đáo để áp dụng giải các bài toán về bất đẳng thức Đồng thời đây cũng là cơ hội tốt để em hoàn thiện hơn kiến thức của mình phục vụ cho việc giảng dạy ở trường trung học phổ thông sau này

Về cơ bản khóa luận đã hoàn thành được các nhiệm vụ đề ra: Nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz- Holder và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Holder vào giải toán sơ cấp Tuy nhiên, vì kiến thức còn hạn chế nên em chưa xây dựng được hệ thống bài tập đa dạng, phong phú

Đề tài của em đã hoàn thành được các mục đích đề ra, nhưng lần đầu tiên tiếp cận với công tác nghiên cứu khoa học nên gặp phải rất nhiều khó khăn, vì thế không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận dược sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn để đề tài của em được hoàn chỉnh hơn, làm tài liệu tham khảo cho các em khóa sau

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Kim Hùng Sáng tạo bất đẳng thức Nhà xuất bản Tri thức

[2] Phạm văn Thuận – Lê Vĩ Bất đẳng thức suy luận và khám phá Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[3] Trần Phương Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học Nhà xuất bản Tri thức

[4] Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh Bất đẳng thức và những lời giải hay Nhà xuất bản Hà Nội

[5] Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam Bất đẳng thức và ứng dụng Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam