tóm tắt luận án toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyếttoán tử đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đào Văn Dương

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ

TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2013

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Minh Chương

Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Học viện Quản lý giáo dụcPhản biện 2: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Viện Toán họcPhản biện 3: PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội, vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư viện Trường Đại học Sưphạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát triểnrất mạnh Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để giải quyếtnhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong Khoa học,Công nghệ nói chung Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyếttoán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-Zygmund hay

lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian phiếm hàm, từ đó

đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian phiếm hàm quan trọngnhư H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO, Ngược lại, cũng cóthể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệttrong việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc Ngày nay, sựphát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các toán tử giả vi phân

và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụngcủa chúng ngày càng cao

Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyếtsóng nhỏ Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong những công

cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Toán học, Vật lý,Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, địa chấn, nén dữ liệu,sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã có nhiều nhà toán học nhưYves Meyer, Ingrid C Daubechies, David L Donoho, Ronald R Coifman,Nguyễn Minh Chương, P R Massopust, A Rieder, R S Pathak, G Strang tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình về lĩnh vực lý thuyếtsóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ

Năm 2004, Ram S Pathak đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ xácđịnh bởi (Wψφ)(b, a) = R

Rnφ(t)ψ t−ba
dt

2toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi phân với biểu trưngσ(a, ω) = ˆψ(aω) Với nhận xét tinh tế này, Ram S Pathak đã sử dụng lýthuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ trênkhông gian các phân bố Ngày nay do nhu cầu của thực tiễn ứng dụng, lýthuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên trường số thực, phức mà đã đượcchuyển sang nghiên cứu trên trường số p-adic, hoặc tổng quát hơn trên cáctrường địa phương Năm 2002, các tác giả C Minggen, G Gao và P Chung

đã nghiên cứu các kết quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trêntrường p-adic mà ý tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực.Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue, Sobolev(kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các hàm suy rộng, trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tínhđẳng cấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ Tính bịchặn của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyếntính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và cónhiều ứng dụng Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một số trườnghợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệm của phươngtrình Thậm chí Charles Fefferman đã đưa ra được một chứng minh mới cho

sự hội tụ từng điểm của chuỗi Fourier trong không gian Lq[0, 2π] (q > 1)bằng cách nghiên cứu tính bị chặn của một lớp toán tử cực đại Đối với toán

tử tích phân sóng nhỏ, việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dángđiệu tiệm cận ứng với tham biến a nhỏ, trên một số không gian hàm đang

là vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trườngthực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu Một trong những toán tử quan trọng trong giải tích điềuhòa là toán tử Hardy-Littlewood Năm 1920, G H Hardy đã thiết lập mộtbất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức tích phân Hardy),

từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về chuỗi kép của Hilbert.Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết phươngtrình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các không gian phiếm hàm Năm

1984, các tác giả C Carton-Lebrun và M Fosset đã giới thiệu toán tử tíchphân Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood

từ một chiều lên nhiều chiều Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có trọng

đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong đó cácnhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện cần và đủ chohàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị chặn trên các khônggian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin và đánh giá chuẩn của toán

tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không gian hàm, Trên trườngp-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood cótrọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian hàmnhư Lq, BM O, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz chỉ mớinghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1) Đặc biệt, gần đây toán tửtích phân Hardy-Cesàro có trọng cũng được nghiên cứu trên các không gianLebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và có thể áp dụng chúng đểnghiên cứu các bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực

Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyểnsang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic Tuy nhiên đối với lý thuyếtcác hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988, V S.Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier,tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic Dα Đến năm 1994, các tác giả

V S Vladimirov, I V Volovich và E I Zelenov đã đề cập một cách có hệthống giải tích p-adic và vật lý toán Như đã nói ở trên, việc nghiên cứu vàphát triển một số kết quả từ trường thực sang trường p-adic đã được nhiềunhà toán học trên thế giới quan tâm Tuy nhiên đối với giải tích điều hòap-adic, còn rất nhiều bài toán quan trọng chưa được nghiên cứu Chẳng hạn,

mở rộng nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phânHardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trêntrường p-adic

Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng,thâm nhập lẫn nhau Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ dị (giả

vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ, đã có rất nhiềucông trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng Ở đây, chúng tôi chỉgiới thiệu mối quan hệ giữa toán tử tích phân Dα với một cơ sở sóng nhỏp-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này Cụ thể, năm 2002nhà toán học người Nga S V Kozyrev lần đầu tiên đã phát hiện mối liên quanđặc biệt giữa giải tích phổ trên trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường

4thực nhờ phép biến đổi p-adic liên tục nhưng không 1 − 1 từ Qp sang R+như sau: ρ : Qp → R+, ρ(P∞

i=γaipi) =P∞

i=γaip−i−1, ở đó ai= 0, , p − 1,

γ ∈ Z Hơn nữa, ánh xạ ρ là một song ánh từ tập Qp/Zp (gồm các số p-adic

có dạng P−1

i=γxipi) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không Ngoài ra, S

V Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ∗ : L2

(R+) → L2

(Qp)xác định bởi ρ∗f (x) = f (ρ(x)) Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một cơ

sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L2(R+) thành một cơ sở trực chuẩn trong

L2

(Q2) gồm các véctơ riêng của toán tử Vladimirov Dα Cũng nhờ ánh xạ

ρ∗, S V Kozyrev đã định nghĩa được toán tử Vladimirov trên L2(R+), cụthể là ∂α

pf (x) = ρ∗−1Dαρ∗f (x) Như vậy, nhờ toán tử Vladimirov mà S V.Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm riêng của Dα, đặc biệtvới p = 2 tồn tại một song ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏtrên trường thực Bởi lý do này, S V Kozyrev gọi cơ sở gồm các hàm riêngcủa toán tử Dαvừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic Rõ ràng, đây là mộtphát hiện rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán họckhác nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ Từ đó giải tích sóngnhỏ và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song

Kể từ khi S V Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng nhỏ

và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã được nhiềunhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S Albeverio, J

J Benedetto, R L Benedetto, A Yu Khrennikov, V M Shelkovich, M.Skopina, S V Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong đó các nhà toán họcchủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải p-adic, phương trìnhlọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic, bài toán Cauchy đối vớiphương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi phân p-adic và những ứngdụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ Việc nghiên cứu, phát triển

lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các hàm trong nhữngkhông gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi phân p-adic, đang làmột trong những chủ đề được quan tâm hiện nay

Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho tôinghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tíchphân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàmriêng của toán tử Vladimirov Dαtrên một số không gian hàm

IV Bố cục của Luận án

Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,gồm 4 chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue, trường

số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier Đây là những kiến thứccần thiết cho việc trình bày các chương sau

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận ứngvới tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các khônggian Besov, BMO và Hardy H1cũng như trên các không gian Besov và BMO

có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng đểcác toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng

là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trườngp-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phânHardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàmLipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic.Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedycủa hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov Dαtrong không gian Lr

(Qn

p) với 1 < r < ∞

Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc củaGS.TSKH Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho tác giảnhững kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học Nhân dịp này, tác giả xinbày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhậnđược sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích Tác giả xin chânthành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy Tác giả xin chân thành cảm

ơn các Thầy, Cô cùng các anh chị em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán

tử giả vi phân, sóng nhỏ trên các trường thực, p-adic" của Giáo sư NguyễnMinh Chương và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu và trong cuộc sống

Chương 1

Một số khái niệm và kết

quả cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ được

sử dụng trong toàn bộ luận án Bởi vì luận án nghiên cứu một số kết quảđồng thời trên trường số thực và trên trường số p-adic, cho nên một số kiếnthức cơ sở như không gian Lebesgue, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳngthức H¨older sẽ được trình bày trên không gian đo được tổng quát và sẽđược sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường số thực và trên trường sốp-adic Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơ lược về trường số p-adic, lý thuyếttích phân và biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân trên trường số p-adic

1.3 Trường số p-adic

Cho p là một số nguyên tố, ta định nghĩa chuẩn p-adic | · |p như sau Đặt

|0|p= 0 Với mọi số hữu tỷ x ∈ Q khác không có biểu diễn x = pγm

n, trong

đó m, n là các số nguyên không chia hết cho p, ta đặt |x|p = p−γ Dễ thấyrằng chuẩn p-adic | · |p cảm sinh một metric tự nhiên ρ(x, y) = |x − y|p trêntrường các số hữu tỷ Q Làm đầy trường Q bởi metric ρ ta được trường các

số p-adic và ký hiệu là Qp Trường số p-adic có một số tính chất quan trọngsau đây

Mệnh đề 1.3.1 (a) Mọi số p-adic khác không đều biểu diễn được duy nhấtdưới dạng chính tắc sau đây

x = pγ(x0+ x1p + x2p2+ · · · ), (1.3)

trong đó γ = γ(x) ∈ Z phụ thuộc vào x, x06= 0 và xj ∈ {0, 1, , p − 1}.(b) Nếu số p-adic x có biểu diễn (1.3) thì |x|p= p−γ Chuẩn | · |p thỏa mãncác tính chất sau đây:

(i) |x|p≥ 0 với mọi x ∈ Qp và |x|p= 0 ⇔ x = 0;

(ii) |xy|p= |x|p|y|p với mọi x, y ∈ Qp;

6

(iii) |x + y|p≤ max(|x|p, |y|p) với mọi x, y ∈ Qp Đặc biệt, trường hợpkhi |x|p6= |y|p ta có đẳng thức |x + y|p= max(|x|p, |y|p).

(c) Qp là một trường tôpô compact địa phương, đầy đủ, khả ly, Hausdorff

và hoàn toàn không liên thông

1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic

Bởi vì (Qp, +) là một nhóm tôpô giao hoán và compact địa phương, cho nêntồn tại một độ đo Haar, đó là độ đo dương dx, bất biến với phép tịnh tiếnd(x + a) = dx Độ đo Haar dx trên Qp được chuẩn hóa bởi R

B0

dx = 1 Cho

n là một số nguyên dương Ký hiệu Qn

p là không gian véctơ n chiều trên Qp,

Qnp = {x = (x1, , xn) : xj∈ Qp, j = 1, , n} Với mọi x = (x1, , xn), y =(y1, , yn) thuộc Qnp ta có x + y = (x1+ y1, , xn+ yn) và tx = (tx1, , txn)với mọi t ∈ Qp Ký hiệu xy = x1y1+ · · · + xnyn là tích vô hướng trong

Qnp Trên không gian Qnp trang bị chuẩn p-adic |x|p = max

1≤j≤n|xj|p Khi đóchuẩn p-adic | · |p trên Qn

p cũng có những tính chất như chuẩn p-adic trên

Qp Tôpô tích trên Qn

p trùng với tôpô sinh bởi chuẩn | · |p Hơn nữa, (Qn

p, +)cũng là một nhóm tôpô giao hoán, compact địa phương Độ đo Haar trên

Qnp là dx = dx1· · · dxn, ở đây dxk là các độ đo Haar chuẩn hóa của khônggian tọa độ thứ k của Qn

p Với mọi t 6= 0 thuộc Qp, ta có d(tx) = |t|n

pdx Kýhiệu Sγ(a) =x ∈ Qn

Z

S γ (a)

f (x)dx (1.6)

Chương 2

Toán tử tích phân sóng nhỏ trên một số không

2.1 Giới thiệu

Từ lâu, người ta đã ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào lĩnh vực phântích và xử lý tín hiệu Để tìm hiểu về thông tin phổ của tín hiệu, người ta sửdụng biến đổi tích phân Fourier của hàm f ∈ L2

(R) (gọi là một tín hiệu cónăng lượng hữu hạn) có công thức bf (ξ) =R

R

e−iξtf (t)dt, ở đó t, ξ được hiểu

là biến thời gian và tần số tương ứng của tín hiệu Nếu sử dụng phép biếnđổi Fourier để lấy ra được thông tin về phổ của tín hiệu f thì ta phải quansát tín hiệu f trên toàn bộ biến thời gian t, nghĩa là thông tin nhận được từviệc quan sát tín hiệu trong một khoảng thời gian nào đó không đủ để kếtluận về phổ của tín hiệu

Để khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier, từ đầu những năm thập

kỷ 40 của thế kỷ trước, Dennis Gabor đã đưa ra phép biến đổi Fourier cửa

sổ (còn gọi là biến đổi Gabor), mục đích là đưa việc nghiên cứu phổ từ chỗkhắp trên toàn bộ đường thẳng thời gian về một cửa sổ thời gian "tốt" theomột nghĩa nào đó, bằng cách nhân thêm biểu thức dưới dấu tích phân của

8

Phép biến đổi Gabor (Gα

bf )(ξ) đã địa phương hoá biến đổi Fourier của fxung quanh thời gian t = b Hơn nữa từ R

R(Gα

bf )(ξ)db = bf (ξ) dẫn đến tậphợp {Gα

bf : b ∈ R} cho ta một phân tích chính xác về phổ của tín hiệu f Tuy nhiên khi sử dụng biến đổi Gabor để nghiên cứu về phổ của tín hiệu,người ta thấy rằng mặc dù đã đưa về nghiên cứu trên một cửa sổ thời gian,song cửa sổ thời gian ấy lại có độ rộng không thay đổi với bất kỳ tần số nào

Do vậy đối với những tín hiệu có tần số thấp hoặc tần số cao việc nghiên cứuphổ sẽ có hiệu quả thấp Như vậy, cần phải xây dựng một phép biến đổi màsao cho cửa sổ tần số - thời gian linh hoạt, nghĩa là cửa sổ thời gian tự độnggiãn ra khi phân tích các tín hiệu có tần số thấp và sẽ co lại đối với các tínhiệu có tần số cao Xuất phát từ những ý tưởng đó, C K Chui trong quyểnsách chuyên khảo của mình đã giới thiệu khái niệm phép biến đổi tích phânsóng nhỏ mà được đề xuất bởi A Grossman, J Morlet, T Paul cho các hàm

V Perrier và C Basdevant đã mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóngnhỏ trong các không gian Lebesgue Đặc biệt, họ đã đưa ra một đặc trưngmới cho không gian Besov theo các biến đổi tích phân sóng nhỏ Một điều rất

lý thú là gần đây, năm 2004, Ram S Pathak đã nêu ra mối quan hệ giữa toán

tử tích phân sóng nhỏ và toán tử giả vi phân Từ ý tưởng mở rộng nghiêncứu toán tử tích phân sóng nhỏ của các nhà toán học A Rieder, V Perrier

và C Basdevant, Nguyễn Minh Chương, R S Pathak, trên các không gianhàm, chúng tôi cũng nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận của toán

tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO, Hardy và các khônggian Besov, BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa

Trong chương này, chúng tôi xét các sóng nhỏ cơ sở ψ là các hàm khôngtầm thường thuộc không gian L1

(Rn) Khi đó toán tử tích phân sóng nhỏđược xác định bởi

(Wψf )(a, b) = 1

p|a|nZ

trong đó a là số thực khác không và b thuộc không gian Rn

2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy

Với bất kỳ f ∈ L`(Rn), 1 ≤ ` ≤ ∞, L`(Rn)-môđun liên tục của một hàm fđược định nghĩa bởi ω`(f, h) = kf (· + h) − f (·)k`

Định nghĩa 2.2.1 Cho 0 < α < 1, 1 ≤ ` ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ Không gianBesov B`α,q(Rn) được định nghĩa như là tập hợp tất cả các hàm f ∈ L`

(Rn)sao cho

kf kBα,q

` = kf k`+



Z

Với α = 1, không gian B`1,q(Rn) cũng được định nghĩa tương tự như trên,nhưng lúc này L`(Rn)-môđun liên tục của hàm f là ω`(f, h) = kf (· + h) +

` →Bα,q` = 0

Định lý 2.2.4 Nếu ψ, φ là các sóng nhỏ cơ sở và f, g ∈ B`α,q(Rn) thìk(Wψf )(a, ·) − (Wφg)(a, ·)kBα,q

trong

Rn

(supt>0

Định nghĩa 2.2.6 Không gian BM O(Rn) là tập hợp tất cả các hàm f ∈

L1loc(Rn) sao cho

f (x)dx

12Một kết quả kinh điển của Charles Fefferman chỉ ra rằng không gian BM O(Rn)

là đối ngẫu của không gian Hardy H1(Rn) Có thể nói không gian BM O(Rn)

là một mở rộng thực sự của không gian L∞(Rn) Chúng ta cũng biết rằng

H1(Rn) là một trong những ví dụ về không gian Banach khả ly và khôngphản xạ

Định lý 2.2.8 Cho ψ ∈ L1(Rn) Khi đó với mỗi a 6= 0 cố định, toán tử

Định lý 2.2.11 Cho ψ ∈ L1(Rn) có giá compact Khi đó với mỗi a 6= 0 cốđịnh, toán tử

k(Wψf )(a, ·)−(Wφg)(a, ·)kBM O ≤ |a|n2(kψ−φk1kf kBM O+kφk1kf −gkBM O)

Nhận xét Từ Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.11, ta thu được dáng điệutiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến a nhỏ trongcác không gian H1(Rn) và BM O(Rn), nghĩa là lima→0kWψ(a, ·)kH 1 →H 1

= lima→0kWψ(a, ·)kBM O→BM O= 0