Vận Dụng từ bài toán tính tổng Bài toán 1. Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3. Tính giá trị của B Lời Giải Theo đề bài ta có: B = (1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9+9.10).3 = 1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+4.5(6-3)+5.6(7-4)+6.7(8-5)+7.8(9-6) +8.9(10-7)+9.10(11-8) = 1.2.3 - 1.2.3 +2.3.4 - 2.3.4 + . 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 =990 Qua đây ta nghĩ ngay đến bài toán tính A, ta có A = B/3 = 330. Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 990 mà ta chỉ chú ý đến tích cuối cùng 9.10 11. Trong đó 9.10 là hai số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả sau Nếu : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + (n-1).n thì giá trị của B = 3.A = (n-1).n.(n + 1) Một số bài toán khác BT2:Ta có lời giải cho bài toán trên B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + .+ 9.(8+10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + 9.9.2).3 = (1.1 + 3.3 + 5.5 + 7.7 + 9.9).2.3 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).6 . Đến đây ta chỉ việc tìm tổng bình phơng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Liên hệ với lời giải 1 để suy ra lời giải của bài toán tính tổng: S = 1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 Ta có: (1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 ).6 = 9.10.11 suy ra 1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 = 6 9.10.11 Hoàn toàn hợp lí khi giải bài toán tổng quát: S = 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + .+ (2n + 1) 2 = 6 3)2)(2n1)(2n(2n +++ Một số bài vận dụng bài toán trên Bài toán 3: Tính tổng : Q = 11 2 + 13 2 + 15 2 + . + (2n + 1) 2 Bài toán 4: Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 9.10 và C = A + 10.11. Tìm C ? Theo lời giải hai của bài toán 1 ta đi đến kết quả: C = 2.( 2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + 10 2 ). Tình cờ ta lại có kết quả của bài toán. Tính tổng bình phơng các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2. Kết quả là: 2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + + (2n) 2 = 6 2)1)(2n2n.(2n ++ Bài toán 5: Cho n N * . Tính tổng n 2 + (n + 2) 2 + (n + 4) 2 + + (n + 100) 2 H ớng dẫn giải : Xét hai trờng hợp n chẵn và n lẻ, áp dụng cách giải của những bài toán trên. Chú ý rằng: Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n. Bài toán 6: Chứng minh rằng: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + + n 2 = 6 1)1)(2nn.(n ++ Lời giải: Ta có hai cách: Cách 1: Xét trờng hợp n chẵn 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + + n 2 = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (n-1) 2 + 2 2 + 4 2 + 6 2 + + n 2 = 6 2)1).(nn.(n1)1).n.(n(n ++++ = 6 1)1)(2nn.(n ++ Tơng tự ta chứng minh đợc trờng hợp n lẻ. Cách 2: Ta có: 1 3 = 1 3 .1 2 3 = (1+1) 3 = 1 3 +3.1 2 .1+3.1.1 2 +1 3 3 3 = (2+1) 3 = 2 3 +3.2 2 .1+3.2.1 2 +1 3 (n+1) 3 = (n+1) 3 = n 3 +3.n 2 .1+3.n.1 2 +1 3 Cộng từng vế các đẳng thức trên ta đợc 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + + n 3 + (n+1) 3 = (1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + .+ n 3 )+ 3.( 1 2 + 2 2 + 3 2 + .+ n 2 ) + 3.(1 + 2 + 3 + .+ n)+(n + 1) => (n+1) 3 = 3.( 1 2 + 2 2 + 3 2 + .+ n 2 ) + 3.(1 + 2 + 3 + .+ n)+(n + 1) => 3.( 1 2 + 2 2 + 3 2 + .+ n 2 ) = (n+1) 3 - 3.(1 + 2 + 3 + .+ n) - (n + 1) = (n + 1) 2 (n + 1) - 3. 2 1)n.(n + - (n + 1) = 2 1)2.(n1)3n.(n1).(n1)2.(n 2 ++++ = 2 2])3n1)[2.(n1)(n 2 ++ = 2 2])3n[2.(n1)(n +++ )12 2 n = 2 n)(2n1)(n ++ 2 = 2 1).n.(2n1)(n ++ Vậy: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + + n 2 = 6 1)1)(2nn.(n ++ .đpcm Bài toán 7 Tính giá trị biểu thức: A = -1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2 - -19 2 + 20 2 Lời Giải: Ta có thể tách: A = -1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2 - -19 2 + 20 2 = (2 2 + 4 2 + 6 2 + + 20 2 ) - (1 2 + 3 2 +5 2 + +19 2 ) Ta áp dụng các bài giải trên để giải. Còn có thể giải cách khác: A = (1 2 - 2 2 ) + (4 2 - 3 2 ) + + (20 2 - 19 2 ) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + (20 + 19)(20 - 19) = 3 + 7 + 11 +15 + 19 +23 +27 + 31 + 35 + 39 = 2 39).10 (3 + = 210. Từ bài toán 1. Bài toán cho B = A.3. Vì 3 là số tự nhiên liền sau của 2 trong nhóm 1.2. Nếu thế thì ta suy nghĩ ngay để giải bài toán sau: Bài toán 8. Tính: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời Giải: Ta có: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10). 4 4 = [1.2.3(4 - 0) + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + 4.5.6(7 - 3) + 5.6.7(8 - 4) + 6.7.8(9 - 5) + 7.8.9(10 - 6) + 8.9.10(11 - 7] : = [1.2.3.4 -1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 3.4.5.6 + . + 7.8.9.10 -7.8.9.10 + 8.9.10.11] : 4 = 8.9.10.11 : 4 = 1980. Nếu ta tiếp tục suy nghĩ ta có ngay cách giải tổng quát và kết quả là rất dễ dàng. VD: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + (n - 1).n.(n + 1) = 4 2)1)(n1).n.(n(n ++ . (n + 1) = 2 1)2.(n1)3n.(n1).(n1)2.(n 2 ++++ = 2 2])3n1)[2.(n1)(n 2 ++ = 2 2])3n[2.(n1)(n +++ )12 2 n = 2 n )(2 n1)(n ++ 2 = 2 1).n .(2 n1)(n ++ Vậy: 1 2 +. bài ta có: B = (1 .2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9+9.10).3 = 1. 2(3 -0)+2. 3(4 -1)+3. 4(5 -2)+4. 5(6 -3)+5. 6(7 -4)+6.7 (8 -5 )+7. 8(9 -6) +8. 9(1 0-7)+9.1 0(1 1-8) = 1.2.3