................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1Phßng gd - ®t
n¨m häc 2008 - 2009
M«n : To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Câu I (2,5 điểm):
1 Tìm điều kiện xác định của x để phân thức:
1 6 12 8
2
2 3
x
x
xác định Giải:
Điều kiện: 8x3 + 12x2 + 6x + 1 0
(2x + 1)(4x2 + 4x + 1) 0
(2x + 1)2 0
2x + 1 0
x 21
7 4
4 3 2
2
8 4
2 1
1
y x
x y
x
x y
x
x y x y
x = 8 8
7 4
4 3 2
2 2 2
8 4
2 2
y x
x y
x
x y
x
x y
x
x
= 8 8
7 4
4 3 4
4
3
8 4
4
y x
x y
x
x y
x
x
= 8 8
7 8
8
7
8 8
y x
x y
x
x
= 16 16
15
16
y x
x
Câu II (2.5 điểm):
1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = 0
a Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1
b Giải phương trình ứng với các giá trị m vừa tìm được
2- Từ một phần tường bao quanh trường, một lớp học sinh dùng một sợi dây dài 40m căng ba phía để thành một vườn trồng hình chữ nhật Em hãy giúp các bạn căng dây để
có diện tích vườn cây lớn nhất?
Giải:
1 Phương trình: x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = 0 (1)
a Phương trình (1) có nghiệm x = 1
1 – m2 + m – 7 – 3m2 + 3m + 6 = 0
-4m2 + 4m = 0
-4m(m - 1) = 0
1
0
m
m
Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình nhận x = 1 là nghiệm của phương trình
b Với m = 0 A bờ tường B (1) x3 – 7x + 6 = 0
(x - 1).(x - 2).(x + 3) = 0 a
Trang 2
3 2 1 0
3 0 2 0 1
x x x x
x
x
D
C
b
Với m = 1
(1) x3 – 7x + 6 = 0 (Giống trường hợp trên)
2 Gọi a (m) là chiều rộng
b (m) là chiều dài
(0 ab 40)
Theo bài ra ta có: 2a + b = 40 => b = 40 – 2a
Diện tích vườn trồng cây:
SABCD = a.b = a.(40 – 2a) = 2(20 – a2) = 200 – 2(a2 – 20a + 100)
SABCD = 200 – 2(a - 10)2
200
ABCD
S
Max dấu “=” xảy ra khi a = 10
Câu III (5, 0 điểm):
1 Chứng minh rằng: 10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (nN)
Chứng minh:
Ta có: 10n – 9n – 1 = (10n - 1) – 9n =
n
99
n
1
Ta có: Tổng của n số 1 bằng n
Gọi số 11 11:3
n:3 dư m
n
1
11 ) chia hết cho 3 =>9( n
n
1
11 ) chia hết cho 27 do đó:
10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (đfcm)
2 Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc 4 cạnh hình vuông
a Chứng minh rằng: S ABCD ACMNNPPQQM
4 1
b Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
Giải:
a Ta có:
a>0; b>0 thì: ( 1 )
2
2
2 a b b
a Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1)
0 ) (
2 2
2
2 2 2 2
b a
ab b a b a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng định lý Pitago và BĐT (1) ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
AM AQ
AM AQ
QM
QP PD
Q P PD
PQ
PC NC
PC NC
NP
NB MB
N B
M B
M N
d
ấu “=” xay ra khi và chỉ khi
AM
A Q
QP PD
PC
N C
NB MB
Trang 3A M B
N
C P
D
Q
2
4
2
4 2
2
AC AB QM PQ NP
MN
AC
AB AD
CD BC AB QM PQ
NP
MN
QD AQ PD PC NC NB MA MB QM PQ
NP
MN
Mặt khác: AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 => AC = AB 2
Thay vào BĐT (2) ta được:
MN NP PQ QM
AC S
QM PQ NP MN AC
AB
QM PQ NP MN AC AB
AB
4 4
4 2
2
.
2
b Theo câu a
MN, NP, PQ, QM nhỏ nhất MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM = AB2
Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ nhất M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, AD
(Lời giải mang tính chất tham khảo)