PP tính tổng

Dạng 12 Một số bài toán về tính tổng... Sử dụng phép tính tích phân... Dạng 12ASử dụng phép tính đạo hàm... Dạng 12BSử dụng phép tính tích phân... Ta thường gặp bài toán với một trong ha

Dạng 12 Một số bài toán về tính tổng

Nội dung

 Dạng 12: Một số bài toán về tính tổng

• Dạng 12A Sử dụng phép tính đạo hàm

• Dạng 12B Sử dụng phép tính tích phân

Dạng 12A

Sử dụng phép tính đạo hàm

Bài tập mẫu

Giải

T nh t ng : S CÝ æ = −2C +3C − + − ( 1) (n 1)C+

+

−

n

0 1 2 2 3 n n 1

n n n n

0 1 2 2 n n

0 1 2 n n

X t a th c : p(x) x(1 x) ; ta có :

p(x) C x C x C x C x

p'(x) C 2C x 3C x (n 1).C x

p'( 1) C 2C 3C ( 1) (n 1)C S

M t kh c : p(x) x(1 x) p'(x) (1 x) nx(1 x)

V y S p'( 1) 0

Ð ® ø

Ë

Lưu ý:

 Tính các tổng:

 Hướng dẫn:

 Xét đa thức p(x) = x(1 + x)n và chứng tỏ rằng S1 = p’ (a)

 Xét đa thức p(x) = x(1 + x)2n và chứng tỏ rằng 2S2 = p’ (a) + p’ (-a) ; 2S3 = p’ (a) - p’ (-a)

− −

0 1 2 2 n n

0 2 2 4 4 2n 2n

2 2n 2n 2n 2n

1 3 3 5 5 2n 1 2n 1

3 2n 2n 2n 2n

Bài tập tương tự 1

Giải

Xét đa thức p(x) = (1 + x)n, ta có:

2 1 2 2 2 n

n n n

T nh t ng : S 1 CÝ æ = +2 C + + n C

−

−

−

0 1 2 2 n n

n n n n

1 2 n n 1

n n n

1 2 2 n n

1 2 2 2 n n 1

1 2 2 2 n

n n n

M t khác:

Æ

−

−

+

n 1

n 1 n 2

n 1 n 2 n 2

n 2

nx(1 x)

V y : S n(n 1)2 Ë

Bài tập tương tự 2

Giải

Xét đa thức p(x) = x(1 + x)2n, ta có:

T nh t ng : S CÝ æ = +3.C +5.C + + (2n 1)C+

+

0 1 2 2 3 2n 2n 1

2n 2n 2n

p(x) C x C x C x C x

p'(x) C 2C x 3C x 2n 1 C x

Ta c :

p'(1) C 2C 3C 2n 1 C

p'( 1) C 2C 3C 2n 1 C

Ta c :

p'(1) p'( 1) 2 C 3C 5.C

ã

®­î

−

−

−

= +

2n 2n

2n 1

2n 1 C 2S

M t kh c :

p(x) x(1 x) p'(x) (1 x) 2nx(1 x)

2S p'(1) p'( 1) (n 1).2 S (n 1).2

V y : S (n 1).2

Ë

Dạng 12B

Sử dụng phép tính tích phân

Bài tập mẫu

Giải

Xột đa thức p(x) = (1 + x)n, ta cú:

T nh t ng : S C C C C

+

í ổ

+

+

∫

∫

0 1 2 2 n n

n n n n

1 1

0 1 2 2 n n

n n n n

0 0

1

0 1 2 2 3 n n

0

1 n 1 n 1

n 0

p(x) C C x C x C x

p(x)dx C C x C x C x dx

1

p(x)dx C x C x C x C x

1

Do : S (1 x) dx

n 1 0 n 1

đó

Lưu ý:

Hướng dẫn

Hãy chứng tỏ rằng với p(x) = (1 + x)n

Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc ± 1 Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức p(x) = xk(1 + x)n với k = 1; 2; …

2 2 3 3 n 1 n 1

+ +

+

b a

Bài tập tương tự 1

Giải

Xét đa thức p(x) = x(1 + x)n, ta có:

T nh t ng : S C C C C

+

Ý æ

+

+

+

+

+

∫

∫

0 1 2 2 3 n n 1

0 1 2 2 3 n n 1

1

0 2 1 3 2 4 n n 2

0

1

n 0

1

Bài tập tương tự 1 (tt)

n 2 n 1 n 2 n 1

n 2 n 1

2

§Æ

Bài tập tương tự 2

Giải

Xét đa thức p(x) = (1 + x)n, ta có:

+

+

+ +

+

+

+

∫

0 1 2 2 n n

n n n n

2 2

0 1 2 2 n n

n n n n

1 1

2

0 1 2 2 3 n n 1

1

n 1 n 1 n

2

2

n 1 1

1