KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ
NĂM H C 2013 - 2014 Ọ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN H C L P 11 Ọ Ớ
Câu 1(4 đi m ể ):
Gi i h phả ệ ương trình:
3 3
2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1
x 0
>
(Qu ng Tr ) ả ị
3 3
2 2 2 2 1 1 (1)
3 1 8 2 1 (2)
(1) ⇔ (2x+ −1) (2 y+ +1) (2x+1) (y+ =1) 0
ĐK: (2x + 1)(y + 1) ≥ 0 Mà x > 0
2 1 0
1 0
x y
+ >
⇒ + ≥
(1) ⇔( 2x+ −1 y+1)( 2x+ +1 2 y+ =1) 0 ⇔ 2x+ −1 y+ =1 0
2
⇔ =
Thay vào (2): 36x+ =1 8x3−4x−1 ( ) 3 ( )3
6x 1 6x 1 2x 2x
Hàm s f(t) = tố 3 + t đ ng bi n trên Rồ ế
(3) ⇔ 36 x + = 1 2 x ⇔4x3−3x= 12
NX: x >1 không là nghi m c a phệ ủ ương trình
Xét 0< ≤ x 1: Đ t x = cosặ α v i ớ 0 2
π α
≤ <
Ta có:
1 cos3
2
α =
2
2
k k
α
α
= +
⇔
= − +
(k∈ Z) Do 0 2
π α
≤ ≤
9
π α
⇒ =
V y h có nghi m ậ ệ ệ
cos ;2cos
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu 2 (4 đi m ể ): Cho dãy ( ) an n∞=1:
2
5
n
n
a
Đ S 1 Ề Ố
Trang 2a) Ch ng minh dãy ứ ( ) an h i t và tính ộ ụ lim an.
b) Ch ng minh ứ
1 2
n
n n
+ + + < − ∀ ≥
(H i Phòng) ả
a) B ng ph ằ ươ ng pháp ch ng minh qui n p ta có: ứ ạ 1 3
2
n
.
Đ t A= ặ
2
−
và xét hàm
− +
5
x
= − < ∀ ∈
− , nh v y ư ậ f x ( ) ngh ch bi n trên ị ế
đo n ạ [ 1 ;1].
2
1,0
D n đ n ẫ ế
k k
−
< < < < < <
> > > > > >
2 1 2
lim lim
k k
−
K t h p công th c xác đ nh dãy ta đ ế ợ ứ ị ượ c
2
2
5
2
5
b
c
b
= − +
− +
=
V y ậ lim an=
2
−
.
1,0
b) Nh n xét: ậ
2
∀ ∈
thì t + f t ( ) 5 < − 5.
D n đ n ẫ ế a2k−1+ a2k < − 5 5 ∀ ≥ k 1
1 2 2 1 2
2
⇒ + + + + <
(1)
Nh v y b t đ ng th c đúng v i ư ậ ấ ẳ ứ ớ n = 2 k.
Tr ườ ng h p ợ n = 2 k + 1, chú ý 2 1
2
k
, k t h p v i (1) thu đ ế ợ ớ ượ c:
1 2 2 1 2 2 1
2
a + + + a a − + a + a + < k + −
.
V y b t đ ng th c đ ậ ấ ẳ ứ ượ c ch ng minh ứ
1,0
Trang 3Câu 3 (4 đi m ể ): G i ọ AD BE CF, , là ba đường phân giác trong c a tam giác ủ ABC vuông ở A.
Đo n th ng ạ ẳ AD c t ắ EF t i ạ K Đường th ng qua ẳ K song song v i ớ BC c t ắ AB AC, l n lầ ượt
ở M N, Ch ng minh r ng:ứ ằ
2 2
2
MN≥ − AB AC+
(Chu Văn An-Hà N i) ộ
Đ t ặ BC a CA b AB c= , = , = ta có ( )2
2 2 2
2
b c
= + ≥
suy ra 2
b c a
+ ≤
1,0
Dùng tính ch t đấ ường phân giác tính được ,
0,5
Dùng phương pháp di n tích, ho c công th c đệ ặ ứ ường phân giác trong tính được
,
2
b c AE AF a b c
1,0
1,0
Suy ra:
2
2 2 2
b c a
−
+ +
0,5
Câu 4(4 đi m) ể : Tìm t t c các hàm s ấ ả ố f :¡ →¡ tho mãnả
f x +y =xf x +yf y ∀x y∈¡
(Thái Bình)
Đáp án:
Cho x=0, t ừ ( )1 suy ra f y( )2 = yf y( ),∀ ∈y ¡
Cho y=0, t ừ ( )1 suy ra f x( )2 =xf x( ),∀ ∈x ¡ .
Do đó (1) tr thành:ở
f x +y = f x + f y ∀x y∈ ⇒¡ f x y+ = f x + f y ∀x y≥
thay y b i ở −y t ừ ( )1 ta đ c :ượ
Trang 4( ) ( ) ( )
2 2
f x y xf x yf y
⇒ − − = ∀ ∈ ⇒¡ − = − ∀ ∈¡
− − = ∀ ∈ ⇒¡ − = − ∀ ∈¡ , ch ng t ứ ỏ f là hàm s l ố ẻ Do đó v i m iớ ọ
0, 0
x≥ y≤ ta có
( ) ( ) ( ), 0, 0 ( )**
f x f x y f y
f x y y f x y f y
V i m i ớ ọ x≤0,y≤0 ta có
f x y+ = − − −f x y = − f − +x f −y = − −f x − f y = f x + f y
K t h p ế ợ ( ) ( )* , ** , (***) và ta đ c ượ f x y( + )= f x( )+ f y( ),∀x y, ∈¡
tính ( ( )2)
1
f x+
theo hai cách Ta có
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 ,
x f x f x f x f
x f x f xf x f x f
f x xf x
f x ax x a
¡
Câu 5 (4 đi m) ể : Cho 100 s t nhiên không l n h n 100 có t ng b ng 200 Ch ng minh r ngố ự ớ ơ ổ ằ ứ ằ
t các s đó có th ch n đừ ố ể ọ ược m t s s có t ng b ng 100.ộ ố ố ổ ằ
(Yên Bái)
Đáp án:
N u t t c các s b ng nhau thì t t c các s là 2 Khi đó ta l y 50 s 2 sẽ cóế ấ ả ố ằ ấ ả ố ấ ố
Gi s ả ử a1 ≠ a2 ta xét 100 s có d ngố ạ
N u có m t s chia h t cho 100 thì s đó b ng 100 vì s đó bé h n 200.ế ộ ố ế ố ằ ố ơ 1,0
N u không có s nào chia h t cho 100 thì trong 100 s ph i có hai s đ ng dế ố ế ố ả ố ồ ư
trong phép chia cho 100 (vì các s d nh n giá tr t 1 đ n 99) suy ra hi u c aố ư ậ ị ừ ế ệ ủ
chúng chia h t cho 100 và hi u hai s đó chính là t ng c n tìmế ệ ố ổ ầ
1,0
H T Ế