DA toan lop 10 (so 1)

Do đó ta có TM TD TATB.. Nh ng ư TM TD TATB.

KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ

NĂM H C 2013 - 2014 Ọ ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN H C L P 10 Ọ Ớ

Câu 1 (4 đi m ể ):

Gi i phả ương trình sau trên t p s th cậ ố ự

6x3 7 3 x15 6 x 3x 2 2 9x227x14 11 .

(Qu c h c Hu ) ố ọ ế

Đi u ki n: ề ệ

2 3

7 3

x

� �

Đ t ặ a 7 3 ,   x b 3x2 (a b, �0) Suy ra

5

2 1 2 1 2 11

�  

�

�

1,0

2 2 5      

�  

� �   

2

2 5      

p s

�  

�

� �     

�

2

2 5      

4 6 0

p s

�  

� �    

�

s a b p ab  ,   

1,0

2 2

2 5      

p s

�  

�

� �    

�

2 3

p s



�

� � 

�

2 1 1 2

a b a b



��

�

� �

�

� �

�� 

��

�

1,0

1 2

x x



�

� � �

Th l i th a mãn V y nghi m phử ạ ỏ ậ ệ ương trình là x1 ho c ặ x2.

1,0

Câu 2 (4 đi m ể ):

Cho tam giác ABC (BC AC  ) G i ọ M là trung đi m c a ể ủ AB, AP vuông góc v i ớ BC t iạ

P, BQ vuông góc v i ớ AC t i ạ Q Gi s đả ử ường th ng ẳ PQ c t đắ ường th ng ẳ AB t i ạ T

Ch ng minh r ng ứ ằ TH  CM , trong đó H là tr c tâm tam giác ự ABC.

(B c Ninh) ắ

G i ọ CD  AB t i ạ D Khi đó AP BQ CD , , đ ng quy nên ồ T B D A , , , là hàng đi m đi u hòa (ể ề

( TBDA )   1).

Đ S 1 Ề Ố

Do đó ta có TM TD TATB  .

Xét hai đường tròn ngo i ti p hai tam giác ạ ế CDM và ngo i ti p t giác ạ ế ứ ABPQ, tâm c a hai ủ

đường tròn này đ u n m trên ề ằ CM

Nh ng ư TM TD TATB  và HP HA HQ HB  nên H T , n m trên tr c đ ng phằ ụ ẳ ương c a ủ hai đường tròn nói trên

Do đó ta có TH  CM (ĐPCM)

Bài 3 (4 đi m ể ): Cho hàm s ố f : � � � (� là t p s th c) th a mãn ậ ố ự ỏ   3 3

( )

4

f f x   x x

v i m i ớ ọ x �� Ch ng minh r ng t n t i 3 s th c phân bi t ứ ằ ồ ạ ố ự ệ a b c , , sao cho

f a  f b  f c  .

(Vĩnh Phúc)

Đ t ặ

( )

4

g x  x x

thì f f x ( ) g x( ) Suy ra f g x ( )  f f f x  ( )  g f x ( ).

D th y ễ ấ g x( ) là đ n ánh nên t ơ ừ f f x ( ) g x( ) suy ra f x( ) cũng là đ n ánh.ơ 1,0

G i ọ x0 là m t đi m c đ nh c a hàm ộ ể ố ị ủ 0 0 0

1 1

2 2

g x �g x x �x ���  ��

Ta có f x( )0  f g x ( )0  g f x ( )0 , suy ra f x cũng là m t đi m c đ nh c a hàm( )0 ộ ể ố ị ủ

( )

( )

f x là m t song ánh trên t p ộ ậ

1 1 0; ;

2 2

D ��  ��

� nên

f � �� �  f  f � �� �    

T đó ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứ

1,0

Bài 4 (4 đi m) ể :

Q

H B

C

A

T

D

P

M

Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ k đ b t đ ng th c sau đúng v i m i giá tr ể ấ ẳ ứ ớ ọ ị a b c , , :

a b c abc a b c k ab bc ca

(Lê Quí Đôn - Đà N ng) ẵ

Vì b t đ ng th c đúng v i m i ấ ẳ ứ ớ ọ giá tr ịa b c , , nên ph i đúng v iả ớ

2 1

3

ޣ = = =

Ta ch ng minh ứ

2 3

k =

Xét

2 3

k =

b t đ ng th c tr thànhấ ẳ ứ ở

3

(1) ( 4 4 4) ( 2 2 2 2 2 2) ( )

3 a b c 2 a b b c c a abc a b c

Áp d ng bđt AM – GM ta cóụ

( a4+ b4) ( + b4+ c4) ( + b4+ c4) � 2 a b2 2+ 2 b c2 2+ 2 c a2 2

Suy ra 3 ( a4+ + b4 c4) ( � 3 a b2 2+ b c2 2+ c a2 2)

M t khác ặ a b2 2+ b c2 2+ c a2 2- abc a b c ( + + )

0

2 ab bc 2 bc ca 2 ca ab

(3)

T (2) và (3) suy ra (1) đừ ược ch ng minh ứ

V y s ậ ố k l n nh t ớ ấ

2 3

k =

1,0

Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013n- 1 chia hết cho 22014

(Nam Định)

Xét n = 2 ktvới k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.

Đặt 2013n- = 1 an- 1

a - = a - = a - = a - a - + + a +

Do t là số lẻ nên an- 1 2 M2014 � a2k - 1 2 M2014

Ta có

1

2k 1 ( 2 1)( 2 1)( 4 1) ( 2k 1)

a - = a - a + a + a - +

a chia 4 dư 1 nên

1

2i 1

a - + chia 4 dư 2

Do đó an- 1 2 M2014 � ( k - 1) 3 2014 + �

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là n = 22012.